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1、选修45 不等式选讲第一节绝对值不等式2019考纲考题考情1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立。定理2：如果a，b，c是实数，那么|ab|ac|cb|，当且仅当(ac)(cb)0时，等号成立。2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa或xax|xR且x0R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc。1|ab|与|a|b|，|ab|与|a|b|，|a|b|之间的关系：(1)|ab|a|b|
2、，当且仅当ab0且|a|b|时，等号成立。(2)|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且ab0时，左边等号成立，当且仅当ab0时，右边等号成立。2解绝对值不等式的两个要点：(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号。(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”。 一、走进教材1(选修45P20T7改编)不等式3|52x|9的解集为()A2,1)4,7)B(2,1(4,7C(2，1)4,7)D(2,14,7)解析由题意得即解得不等式的解集为(2,14,7)。故选D。答案D2(选修45P20T8改编)不等式|x1|x5|2的解集是_。解析当x1时，原
3、不等式可化为1x(5x)2，所以42，不等式恒成立，所以x1；当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，所以x4，所以1x4；当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立。综上，原不等式的解集为x|x4。答案x|x1x的解集。解(1)因为f(x)|x4|，所以yf(2xa)f(2xa)|2xa4|2xa4|2xa4(2xa4)|2a|，又yf(2xa)f(2xa)的最小值为4，所以|2a|4，所以a2。(2)f(x)|x4|所以不等式f(x)1x等价于解得x2或x1x的解集为x|x2或x0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a。(2)(2019石家庄模拟)若f(x)3|xa|的最
4、小值为4，求a的值。解(1)证明：由|x1|可得|2x2|，|2xy4|2x2|y2|a有解f(x)maxa。2f(x)a恒成立f(x)mina。3f(x)a恰在(c，b)上成立c，b是方程f(x)a的解。 【变式训练】已知f(x)|ax1|，若实数a0，不等式f(x)3的解集是x|1x2。(1)求a的值；(2)若0，所以x，因为不等式f(x)3的解集是x|1x2，所以解得a2。(2)因为，所以要使，解得k或k5|x2|的解集；(2)若g(x)f(xm)f(xm)的最小值为4，求实数m的值。解(1)因为f(x)5|x2|可化为|2x3|x2|5，所以当x时，原不等式化为(2x3)(x2)5，解
5、得x2，所以x2；当2x5，解得x0，所以2x5，解得x5|x2|的解集为(，0)(2，)。(2)因为f(x)|2x3|，所以g(x)f(xm)f(xm)|2x2m3|2x2m3|(2x2m3)(2x2m3)|4m|。所以依题意有4|m|4，解得m1。2(配合例3使用)已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2。(1)解不等式|g(x)|5；(2)若对任意x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围。解(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，所以7|x1|3，即|x1|3，解得2x4，故不等式|g(x)|5的解集为x|2x4。(2)因为对任意x1R，都有
6、x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)，又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a1或a5。3(配合例3使用)已知函数f(x)|xa|(aR)。(1)当a2时，解不等式f(x)1；(2)设不等式f(x)x的解集为M，若M，求实数a的取值范围。解(1)当a2时，原不等式可化为|3x1|x2|3。当x时，原不等式可化为3x12x3，解得x0，所以x0；当x2时，原不等式可化为3x12x3，解得x1，所以1x2；当x2时，原不等式可化为3x1x23，解得x，所以x2。综上所述，当a2时，不等式的解集为x|x0或x1。(2)不等式f(x)x可化为|3x1|xa|3x，依题意不等式|3x1|xa|3x在恒成立，所以3x1|xa|3x，即|xa|1。所以a1xa1，可得则a，所以a。