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1、课后限时集训(五十二)圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题(建议用时：60分钟)1(2018北京高考)已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解(1)因为抛物线y22px过点(1,2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而
2、k3.所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2.直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2.由，得1yM，1yN.所以2.所以为定值2已知椭圆Q：y21(a1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点(1)求椭圆Q的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求|AB|的最小值解(1)由题意可知cb1，则a.故椭圆的方程为y21.(2)设直
3、线l方程为yk(x1)(k0)，代入y21，得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，x1x2，x1x2.x0(x1x2)，y0k(x01).AB的垂直平分线方程为yy0(xx0)令y0，得xPx0ky0，xP，0.0k2.|AB|x2x1|2，|AB|的最小值|AB|min.3已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且23，求直线l的斜率k的取值范围解(1)根据题意，设椭圆C的标准方程为1(ab0)，则解得所以椭
4、圆C的方程为1.(2)根据题意可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得消去x，得y2y90，1440.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又，所以y1y2.把代入得y1，y2，并结合可得y1y2，则，即2.因为23，所以2，即，且k0，解得0k.故直线l的斜率k的取值范围是.4(2019四川模拟)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，EAB90.(1)求p的值；(2)已知点P的纵坐标为1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的另两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为1，试问直线QR是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由解(1)由题意及抛物线定义，得|AF|EF|AE|4，AEF为边长为4的正三角形，设准线l与x轴交于点D，|AD|p|AE|42.(2)设直线QR的方程为xmyt，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)由得y24my4t0，则16m216t0，y1y24m，y1y24t.又点P在抛物线C上，则kPQ ，同理可得kPR.因为kPQkPR1，所以1，解得t3m.由解得m(1，)所以直线QR的方程为xm(y3)，则直线QR过定点.