初级中学数学三角形证明题练习提高及其答案解析.doc

三角形证明题练习 1．如图，在△ABC中，∠C=90，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（　　） 　 A． 13 B． 10 C． 12 D． 5 2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　） 　 A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个 3．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（　　） 　 A． 4：3 B． 3：4 C． 16：9 D． 9：16 4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（　　） 　 A． 70 B． 80 C． 40 D． 30 5．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（　　） 　 A． 30 B． 36 C． 40 D． 45 6．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35，则∠BOD等于（　　） 　 A． 145 B． 110 C． 70 D． 35 7．如图，在△ABC中，∠ACB=90，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60的角的个数是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 8．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 6 D． 不能确定 9．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90，∠CAB=60，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（　　） 　 A． 3.8cm B． 7.6cm C． 11.4cm D． 11.2cm 10．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40，则∠BOC=（　　） 　 A． 110 B． 120 C． 130 D． 140 11．如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（　　） 　 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 12．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（　　） 　 A． 13cm B． 14cm C． 15cm D． 16cm 13．如图，∠BAC=130，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　） 　 A． 50 B． 75 C． 80 D． 105 14．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） 　 A． AC=A′C′，BC=B′C′ B． ∠A=∠A′，AB=A′B′ 　 C． AC=A′C′，AB=A′B′ D． ∠B=∠B′，BC=B′C′ 15．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（　　） 　 A． BC＞PC+AP B． BC＜PC+AP C． BC=PC+AP D． BC≥PC+AP 16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（　　） 　 A． 90﹣∠A B． 90﹣∠A C． 180﹣∠A D． 45﹣∠A 17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（　　） 　 A． △ABD≌△ACD B． AD是△ABC的高线 　 C． AD是△ABC的角平分线 D． △ABC是等边三角形 三角形证明中经典题2 1.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F． （1）求证：OE是CD的垂直平分线． （2）若∠AOB=60，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 2.如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数． 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：（1）∠B=∠C． （2）△ABC是等腰三角形． 4如图，AB=AC，∠C=67，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数． 5.如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30，求∠C的度数． 6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE． 7.如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形． 　  2015年05月03日初中数学三角形证明组卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共20小题） 1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（　　） 　 A． 13 B． 10 C． 12 D． 5 考点： 线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13． 解答： 解：∵∠C=90， ∴AE=， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE=AE=13； 故选：A． 点评： 本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键． 　 2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　） 　 A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个 考点： 等腰三角形的判定；三角形内角和定理．菁优网版权所有 专题： 证明题． 分析： 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 解答： 解：共有5个． （1）∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线 ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD， ∵△ABC是等腰三角形， ∴∠EBC=∠ECB， ∴△BCE是等腰三角形； （3）∵∠A=36，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=（180﹣36）=72， 又BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠ABC=36=∠A， ∴△ABD是等腰三角形； 同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形． 故选：A． 点评： 此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 　 3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（　　） 　 A． 4：3 B． 3：4 C． 16：9 D． 9：16 考点： 角平分线的性质；三角形的面积．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积． 解答： 解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分） ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，…（3分） ∴S△ABD=•DE•AB=12， ∴DE=DF=3…（5分） ∴S△ADC=•DF•AC=36=9…（6分） ∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3． 故选A． 点评： 此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 　 4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（　　） 　 A． 70 B． 80 C． 40 D． 30 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 专题： 几何图形问题． 分析： 由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案． 解答： 解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40， ∴∠ABC=∠C==70， ∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=40， ∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30． 故选：D． 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 　 5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（　　） 　 A． 30 B． 36 C． 40 D． 45 考点： 等腰三角形的性质．菁优网版权所有 分析： 求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180，求∠B， 解答： 解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AB=BD， ∴∠BAD=∠BDA， ∵CD=AD， ∴∠C=∠CAD， ∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180， ∴5∠B=180， ∴∠B=36 故选：B． 点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系． 　 6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35，则∠BOD等于（　　） 　 A． 145 B． 110 C． 70 D． 35 考点： 角平分线的定义．菁优网版权所有 分析： 首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70，再根据邻补角的性质可得∠BOD的度数． 解答： 解：∵射线OC平分∠DOA． ∴∠AOD=2∠AOC， ∵∠COA=35， ∴∠DOA=70， ∴∠BOD=180﹣70=110， 故选：B． 点评： 此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 　 7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60的角的个数是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考点： 线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 根据已知条件易得∠B=30，∠BAC=60．根据线段垂直平分线的性质进一步求解． 解答： 解：∵∠ACB=90，AB=10，AC=5， ∴∠B=30． ∴∠BAC=90﹣30=60 ∵DE垂直平分BC， ∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90﹣30=60． ∴∠BDE对顶角=60， ∴图中等于60的角的个数是4． 故选C． 点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏． 　 8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 6 D． 不能确定 考点： 三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可． 解答： 解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD=CD， ∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2． 故选A． 点评： 本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键． 　 9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90，∠CAB=60，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（　　） 　 A． 3.8cm B． 7.6cm C． 11.4cm D． 11.2cm 考点： 角平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 由∠C=90，∠CAB=60，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解． 解答： 解：∵∠C=90，∠CAB=60， ∴∠B=30，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6， 又∵AD平分∠CAB， ∴DC=DE=3.8， ∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4． 故选C． 点评： 本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键． 　 10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40，则∠BOC=（　　） 　 A． 110 B． 120 C． 130 D． 140 考点： 角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 解答： 解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心， 即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB， ∠ABC+∠ACB=180﹣40=140 ∠OBC+∠OCB=70 ∠BOC=180﹣70=110 故选A． 点评： 此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题． 　 11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（　　） 　 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长． 解答： 解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE， ∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO， PO为公共边，∴△POE≌△POF， ∴PF=PE=6． 故选C． 点评： 此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF． 　 12．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm， △ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（　　） 　 A． 13cm B． 14cm C． 15cm D． 16cm 考点： 线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得． 解答： 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，AB=2AE=2 又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm． 故选B 点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键． 　 13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　） 　 A． 50 B． 75 C． 80 D． 105 考点： 线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案． 解答： 解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC， ∴BP=AP，CQ=AQ， ∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC， ∵∠BAC=130， ∴∠B+∠C=180﹣∠BAC=50， ∴∠BAP+∠CAQ=50， ∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130﹣50=80， 故选：C． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角． 　 14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） 　 A． AC=A′C′，BC=B′C′ B． ∠A=∠A′，AB=A′B′ 　 C． AC=A′C′，AB=A′B′ D． ∠B=∠B′，BC=B′C′ 考点： 直角三角形全等的判定．菁优网版权所有 分析： 根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案． 解答： 解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， 如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′， Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等， 故选C． 点评： 此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题． 　 15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（　　） 　 A． BC＞PC+AP B． BC＜PC+AP C． BC=PC+AP D． BC≥PC+AP 考点： 线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案． 解答： 解：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB． ∵BC=PC+BP， ∴BC=PC+AP． 故选C． 点评： 本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 　 16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（　　） 　 A． 90﹣∠A B． 90﹣∠A C． 180﹣∠A D． 45﹣∠A 考点： 等腰三角形的性质．菁优网版权所有 分析： 由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF． 解答： 解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠BFD=∠CDE， ∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180﹣∠B=180﹣=90+∠A， 则∠EDF=180﹣（∠FDB+∠EDC）=90﹣∠A． 故选B． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 　 17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（　　） 　 A． △ABD≌△ACD B． AD是△ABC的高线 　 C． AD是△ABC的角平分线 D． △ABC是等边三角形 考点： 等腰三角形的性质．菁优网版权所有 分析： 利用等腰三角形的性质逐项判断即可． 解答： 解： A、在△ABD和△ACD中，，所以△ABD≌△ACD，所以A正确； B、因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC边上的高，所以B正确； C、由条件可知AD为△ABC的角平分线； D、由条件无法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等边三角形，所以D不正确； 故选D． 点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 　 18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（　　） 　 A． 点P在∠ABC的平分线上 B． 点P在∠ACB的平分线上 　 C． 点P在边AB的垂直平分线上 D． 点P在边BC的垂直平分线上 考点： 线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上． 解答： 解：∵PB=PC， ∴P在线段BC的垂直平分线上， 故选D． 点评： 本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 　 19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75，则∠ECF的度数为（　　） 　 A． 15 B． 20 C． 25 D． 30 考点： 等腰三角形的性质．菁优网版权所有 分析： 根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数． 解答： 解：∵BC=BD=DA， ∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD， ∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75， ∴3∠ECF=75， ∴∠ECF=25． 故选：C． 点评： 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用． 　 20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 角平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O，答案可得． 解答： 解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D， ∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP， ∴△OPM≌△OPN， ∴MP=NP，OM=ON， 又OD=OD ∴△OMD≌△OND， ∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O， ∴OP⊥MN ∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确． 故选D． 点评： 本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决． 　 二．解答题（共10小题） 21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线． （1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC． （2）如果∠BOC=90，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？ 考点： 角平分线的定义．菁优网版权所有 分析： （1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC； （2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC． 解答： 解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β， ∴∠AOB=α﹣β， ∵ON是∠AOB的平分线， ∴∠AON=（α﹣β）， ∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）； （2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB， ∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=90=45． 点评： 本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键． 　 22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F． （1）求证：OE是CD的垂直平分线． （2）若∠AOB=60，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 考点： 线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 专题： 探究型． 分析： （1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线； （2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60可得出∠AOE=∠BOE=30，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论． 解答： 解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， ∴DE=CE，OE=OE， ∴Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD=OC， ∴△DOC是等腰三角形， ∵OE是∠AOB的平分线， ∴OE是CD的垂直平分线； （2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60， ∴∠AOE=∠BOE=30， ∵EC⊥OB，ED⊥OA， ∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60， ∴∠EDF=30， ∴DE=2EF， ∴OE=4EF． 点评： 本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 　 23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长． 考点： 角平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题． 解答： 解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠C， ∴BD=CD， ∵BD平分∠ABC， ∴DE=DF， ∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12． 点评： 本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键． 　 24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数． 考点： 等腰三角形的性质．菁优网版权所有 分析： 由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数． 解答： 解：∵AD=BD ∴设∠BAD=∠DBA=x， ∵AB=AC=CD ∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x，∠DBA=∠C=x， ∴∠BAC=3∠DBA=3x， ∵∠ABC+∠BAC+∠C=180 ∴5x=180， ∴∠DBA=36 ∴∠BAC=3∠DBA=108． 点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键． 　 25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α． （1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）； （2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30，求∠BDE的度数． 考点： 等腰三角形的性质．菁优网版权所有 分析： （1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小； （2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解． 解答： 解：（1）∠ABC的大小为（180﹣α）=90﹣α； （2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=90﹣α=90﹣30=75， 由题意得：BC=BD=BE， 由BC=BD得∠BDC=∠C=75， ∴∠CBD=180﹣75﹣75=30， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75﹣30=45， 由BD=BE得． 故∠BDE的度数是 67.5． 点评： 本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键． 　 26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：（1）∠B=∠C． （2）△ABC是等腰三角形． 考点： 等腰三角形的判定．菁优网版权所有 分析： 由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论． 解答： 证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE=DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF）， ∴∠B=∠C； （2）由（1）可得∠B=∠C， ∴△ABC为等腰三角形． 点评： 本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键． 　 27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数． 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 分析： 求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案． 解答： 解：∵AB=AC，∠C=67， ∴∠ABC=∠C=67， ∴∠A=180﹣67﹣67=46， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=46， ∴∠DBC=67﹣46=21． 点评： 本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好． 　 28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30，求∠C的度数． 考点： 等腰三角形的性质．菁优网版权所有 分析： 首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30，求得∠B=∠ADB=75，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105，求得∠C即可． 解答： 解：∵AB=AD=AE，DE=EC， ∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC， ∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C， ∵∠DAB=30， ∴∠B=∠ADB=75， ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105， ∴∠C=35． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数． 　 29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE． 考点： 等腰三角形的性质．菁优网版权所有 专题： 证明题． 分析： 由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，CE=EF．便可得出结论． 解答： 证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知）， ∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB； 又∵DE平行BC（已知） ∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）， ∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换） ∴DF=DB，EF=EC（等角对等边） ∴DE=BD+CE． 点评： 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题． 　 30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形． 考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题： 证明题． 分析： 根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形． 解答： 证明：∵AD是△ABC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD，（3分） 又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F ∴∠DEA=∠DFA=90（6分） 又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分） ∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分） 点评： 本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△AD