初二数学动点问答题学习总结.doc

+\ 初二动点问题 1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速 度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 分析： （1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ． （2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE． （3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC． 所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可． 解答： 解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形 ∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6 即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形． （2）过D作DE⊥BC于E 则四边形ABED为矩形 ∴BE=AD=24cm ∴EC=BC-BE=2cm ∵四边形PQCD为等腰梯形 ∴QC-PD=2CE 即3t-（24-t）=4 解得：t=7（s） 即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形． （3）由题意知：QC-PD=EC时， 四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s） 即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形． 点评： 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中． 2. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E． （1）试说明EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论． 分析： （1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO． （2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （3）利用已知条件及正方形的性质解答． 解答： 解：（1）∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE， ∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠ECB， ∴∠OEC=∠OCE， ∴OE=OC， 同理，OC=OF， ∴OE=OF． （2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形． 如图AO=CO，EO=FO， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE= ∠ACB， 同理，∠ACF= ∠ACG， ∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= 180=90， ∴四边形AECF是矩形． （3）△ABC是直角三角形 ∵四边形AECF是正方形， ∴AC⊥EN，故∠AOM=90， ∵MN∥BC， ∴∠BCA=∠AOM， ∴∠BCA=90， ∴△ABC是直角三角形． 点评： 本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用． 3. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． 分析： 以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值． 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式． 如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形． 解答： 解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）． 因为BQ+CM=x+3x=4（ -1）＜20，此时点Q与点M不重合． 所以x= -1符合题意． ②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5． 此时DN=x2=25＞20，不符合题意． 故点Q与点M不能重合． 所以所求x的值为 -1． （2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时， 由20-（x+3x）=20-（2x+x2）， 解得x1=0（舍去），x2=2． 当x=2时四边形PQMN是平行四边形． ②当点P在点N的右侧时， 由20-（x+3x）=（2x+x2）-20， 解得x1=-10（舍去），x2=4． 当x=4时四边形NQMP是平行四边形． 所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F． 由于2x＞x， 所以点E一定在点P的左侧． 若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF， 即2x-x=x2-3x． 解得x1=0（舍去），x2=4． 由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形． 点评： 本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点． 4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？ 分析： （1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值； （2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可． 解答： 解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形； （2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形 点评： 考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容． 5. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）． （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系； （2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 分析： （1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PMQB=96-6t； （2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出； ②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出； ③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出． 解答： 解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形． ∴PM=DC=12， ∵QB=16-t， ∴s= •QB•PM= （16-t）12=96-6t（0≤t≤ ）． （2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况 ： ①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 ； ②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ． ③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 ，t2=16（不合题意，舍去）． 综上所述，当 或 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形． 点评： 本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 6. 直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． 分析： （1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标； （2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出， 当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQPD，即可求出答案； （3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标． 解答： 解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6）， （2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10． ∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒）， ∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）． 当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时， OQ=t，OP=2t，S=t2． 当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时， OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t， 如图，做PD⊥OA于点D， 由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5． ∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t． （3）当S= 485时，∵ 485＞1236∴点P在AB上 当S= 485时，- 35t2+245t= 485 ∴t=4 ∴PD= 48-645= 245，AD=16-24=8 AD= 82-(245)2= 325 ∴OD=8- 325= 85 ∴P（ 85， 245） M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245） 点评： 本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．