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1、课时跟踪检测(二十七)正弦定理和余弦定理一、题点全面练1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的大小为()A30B45C60 D90解析：选B由正弦定理知，sin Bcos B，B45.2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，2sin Asin B，且b6，则c()A2 B3C4 D6解析：选C由余弦定理得a2b2c22bcb2c2bc，又2sin Asin B，由正弦定理可得，即a2b24c20，则b2c2bcb24c20.又b6，c22c240，解得c4(负值舍去)，故选C.3(2019安徽江南十校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
2、b2ac，a2bcc2ac，则的值为()A. B.C2 D.解析：选D由b2ac，a2bcc2ac，得b2c2a2bc，cos A，则sin A.由b2ac，得sin2Bsin Asin C，.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形解析：选C，bc.又(bca)(bca)3bc，b2c2a2bc，cos A.A(0，)，A，ABC是等边三角形5(2019四平质检)在ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且A60，若SABC且2sin B3sin C，则ABC的周长
3、等于()A5 B12C10 D52解析：选A在ABC中，A60.2sin B3sin C，由正弦定理可得2b3c，再由SABCbcsin A，可得bc6，b3，c2.由余弦定理可得a2b2c22bccos A7，a，故ABC的周长为abc5，故选A.6(2019太原模拟)在ABC中，AB2，AC3，BAC90，点D在AB上，点E在CD上，且ACBDBEDEB，则CD_.解析：设BDx，过点E作EFAB于点F，设ACBDBEDEB，则EDF2，DEx，tan ，tan 2，在RtEFD中，EFxsin 2，DFxcos 2，tan 2，解得x，AD，CD.答案：7在ABC中，角A，B，C所对的边
4、分别是a，b，c，若cos C，c3，且，则ABC的面积等于_解析：，由正弦定理可知tan Atan B，则AB，ABC为等腰三角形，ABC2BC，得2BC，则cos 2Bcos C12sin2B，解得sin B，cos B，tan B.ABc3，C到AB的距离htan B，ABC的面积为ABh.答案：8(2019菏泽模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos Bc0，a2bc，bc，则_.解析：由acos Bc0及正弦定理可得sin Acos Bsin C0.因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以cos Asin B0，因为sin
5、B0，所以cos A，即A.由余弦定理得a2bcb2c2bc，即2b25bc2c20，又bc，所以2.答案：29(2019惠州调研)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos C(acos Cccos A)b0.(1)求角C的大小；(2)若b2，c2，求ABC的面积解：(1)2cos C(acos Cccos A)b0，由正弦定理可得2cos C(sin Acos Csin Ccos A)sin B0，2cos Csin(AC)sin B0，即2cos Csin Bsin B0，又0B180，sin B0，cos C，又0C180，C120.(2)由余弦定理可得(2)2a22
6、222acos 120a22a4，又a0，解得a2，SABCabsin C，ABC的面积为.10(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解：(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B，故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题设得bcsin A，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，解得bc.故ABC的周长为3.二、专项培优练(
7、一)易错专练不丢怨枉分1在ABC中， 若，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：选D由已知，得或0，即或C90.当C90时，ABC为直角三角形当时，由正弦定理，得，即sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B.B，C均为ABC的内角，2C2B或2C2B180，BC或BC90，ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ba，a2，c，则C()A. B.或C. D.解析：选Dba，由正弦定理可得sin Bsin Acos Csin Asin C又sin Bsin(A
8、C)sin Acos Ccos Asin C，cos Asin Csin Asin C由sin C0，可得sin Acos A，tan A.由A为三角形内角，可得A.a2，c，由正弦定理可得sin C，由ca，可得C，故选D.(二)交汇专练融会巧迁移3与数列交汇在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b，则SABC()A. B.C. D2解析：选CA，B，C依次成等差数列，B60，由余弦定理得b2a2c22accos B，得c2，SABCacsin B，故选C.4与三角函数交汇已知函数f(x)cos2xsin(x)cos(x).(1)求函数f(
9、x)在0，上的单调递减区间；(2)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)1，a2，bsin Casin A，求ABC的面积解：(1)f(x)cos2xsin xcos xsin 2xsin，2k2x2k，kZ，kxk，kZ，又x0，函数f(x)在0，上的单调递减区间为和.(2)由(1)知f(x)sin，f(A)sin1，ABC为锐角三角形，0A，2A，2A，即A.又bsin Casin A，bca24，SABCbcsin A.(三)素养专练学会更学通5数学运算已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosBCAa，点M在线段AB上，且ACMBCM.若
10、b6CM6，则cosBCM()A. B.C. D.解析：选B设ACMBCM，则BCA2.又abcosBCA，b6CM6，a6cos 2，CM1.则由面积关系SACMSBCMSABC，得61sin 16cos 2sin 66cos 2sin 2，sin cos (4cos 3)(3cos 2)0.0，cos ，故选B.6数学建模线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点在ABC中，ABAC，A36，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点利用上述结论，可以求出cos 36()A. B.C. D.解析：选B设AB2，ADx，又AB
11、AC，所以CD2x.由黄金分割点的定义可得AD2ACCD，即x22(2x)，解得AD1.在ABD中，由余弦定理得cos 36.故选B.7.直观想象、数学运算如图，在ABC中，点P在BC边上，PAC60，PC2，APAC4.(1)求ACP；(2)若APB的面积是，求sinBAP.解：(1)在APC中，PAC60，PC2，APAC4，由余弦定理得PC2AP2AC22APACcosPAC，所以22AP2(4AP)22AP(4AP)cos 60，整理得AP24AP40，解得AP2，所以AC2，所以APC是等边三角形，所以ACP60.(2)由于APB是APC的外角，所以APB120，因为APB的面积是，所以APPBsinAPB，所以PB3.在APB中，AB2AP2PB22APPBcosAPB2232223cos 12019，所以AB.在APB中，由正弦定理得，所以sinBAP.