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1、5从力做的功到向量的数量积内容要求1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)知识点1向量的夹角与投影(1)夹角：定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角；范围：0180；大小与向量共线、垂直的关系；(2)投影：定义：如图所示：a，b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos .|b|cos 叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)大小与夹角的关系：夹角0锐角90
2、钝角180射影|b|正值0负值|b|【预习评价】等边ABC中，与的夹角是多少？与，与的夹角又分别是多少？提示与的夹角就是ABC的一个内角(ABC)，因此与的夹角是.与首尾相接，由BAC知它的补角为，因此与的夹角是.与有共同的终点C，若延长AC，BC，则可知所得的角的大小与ACB的大小相等，均是，因此与的夹角是.知识点2向量的数量积(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为，我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cos
3、的乘积(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs.(4)性质：若e是单位向量，则eaae|a|cos ；abab0(其中a，b为非零向量)；|a|；cos (|a|b|0)；对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|.(5)运算律：交换律：abba.结合律：(a)b(ab)a(b)分配律：a(bc)abac.【预习评价】1已知三角形ABC中，0，则三角形ABC的形状为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形解析|cos B0，cos B0，又B为ABC的内角B.答案A2已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_解析|a2b|2(a
4、2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2222222244412，|a2b|2.答案2题型一数量积的基本概念【例1】下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的射影长其中正确的是_（填序号）解析由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以错；对于，应有|a|b|ab，所以错；对于，应
5、该是aaa|a|2a，所以错；对于，a2b22|a|b|2ab，故正确；对于，当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；对于，|b|cos 表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故错综上可知正确答案规律方法对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等【训练1】给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0.其中正确结论的序号是_解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确；当a0，b
6、c时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确答案题型二数量积的运算【例2】已知|a|3，|b|6，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab，a(ab)解当ab时，若a与b同向，则它们的夹角0，ab|a|b|cos 036118，a(ab)a2ab91827.若a与b反向，则它们的夹角180，ab|a|b|cos 18036(1)18，a(ab)a2ab9189.当ab时，它们的夹角90.ab0，a(ab)a29.当a与b的夹角是60时，有ab|a|b|cos 60369.
7、a(ab)a2ab18.规律方法(1)向量的数量积在表示时，a与b之间必须用实心圆点“”来连接而不能用“”连接，也不能省略(2)求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，分别求|b|和|a|.求它们的数量积，即ab|a|b|cos .【训练2】已知|a|3，|b|4，a与b的夹角120，试求：(1)ab；(2)(ab)(ab)；(3)(ab)(ab)；(4)(a2b)(3ab)解(1)ab|a|b|cos 34cos 1206.(2)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|27.(3)(ab)(ab)a22abb2|a|22|a|b|cos |b|213.(4)(a2b)(3ab)3a25a
8、b2b225.方向1求向量的模【例31】已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|3a4b|；(3)|(ab)(a2b)|.解由已知ab|a|b|cos 42cos 1204，a2|a|216，b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412.|ab|2.(2)|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b291624(4)164304，|3a4b|4.(3)(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412，|(ab)(a2b)|12.方向2求向量的夹角【例32】设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m
9、的夹角解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos 6011.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，180，120，故a与b的夹角为120.方向3数量积的综合应用【例33】设两个向量e1，e满足|e12，|e2|1，向量e1与e2的夹角为60，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得cos 0，(2te17e2)(e1te2)0.化简，得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹
10、角不是钝角设2te17e2(e1te2)，0，则故实数t的取值范围是.规律方法1.求向量夹角时要注意：(1)当已知ab是非坐标形式时，需求得ab及|a|，|b|或它们之间的关系；(2)当已知a，b的坐标时，可直接利用公式求解(3)注意夹角的范围0，2对于a2|a|2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路.课堂达标1已知向量a，b和实数，下列选项中错误的是()A|a|B|ab|a|b|C(ab)abD|ab|a|b|解析因为|ab|a|b|cos |(为向量a与b的夹角)|a|b|cos |，当且仅当0或 时，使|ab|a|b|，故B错答案B2已知|a|1，|b|，且(ab)与a垂直
11、，则a与b的夹角是()A60B30C135D45解析(ab)aa2ab0，aba21，设a与b的夹角为，cos .又 0，180， 135.答案C3若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.解析aaab1211cos 120.答案4已知向量a在向量b方向上的射影是，|b|3，则ab的值为_解析ab|a|b|cosa，b|b|a|cosa，b32.答案25已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？解要想(kab)(a2b)，则需(kab)(a2b)0，即k|a|2(2k1)ab2|b|20，52k(2k1)54cos 60242
12、0，解得k，即当k时，向量kab与a2b垂直课堂小结1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2向量数量积的性质及作用：设a和b是非零向量，a与b的夹角为.(1)abab0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.即当a与b共线时，|ab|a|b|.此性质可用来证明向量共线(3)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(4)cos ，此性质可求a与b的
13、夹角.基础过关1下面给出的关系式中正确的个数是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1B2C3D4解析正确，错误，错误，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2 a2b2，选C.答案C2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()A1B2C3D5解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左右两边分别相减，得4ab4，ab1.答案A3若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30B60C120D150解析由(2ab)b0，得2abb20，设a与b的夹角为，2|a|b|c
14、os |b|20.cos ，0180，120.答案C4已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_.解析由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos，即23400，解得8或5.答案8或55已知ab，(3a2b)(kab)，若|a|2，|b|3，则实数k的值为_解析由已知ab0，a24，b29，由(3a2b)(kab)03ka2(2k3)ab2b20，12k180，k.答案6已知非零向量a，b，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角解由向量垂直得即化简得设a与b的夹角
15、为，cos ，又0，a与b的夹角为.7已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的射影解(2ab)(ab)2a22ababb22a2abb221211cos 12012.|ab|1.设向量2ab与向量ab的夹角为，|2ab|cos .|2ab|.向量2ab在向量ab方向上的射影为.能力提升8已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A0，B，C，D，解析因为a24|a|b|cos (为向量a与b的夹角)若方程有实根，则有0即a24|a|b|cos 0，又|a|2|b|，4|b|28|b|2cos 0，cos ，
16、又0，.答案B9设为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为1.()A若确定，则|a|唯一确定B若确定，则|b|唯一确定C若|a|确定，则唯一确定D若|b|确定，则唯一确定解析|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cos t|b|2.因为|bta|min1，所以|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin21，所以|b|sin 1，即|b|.即确定，|b|唯一确定答案B10已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.解析bcbta(1t)btab(1t)b2t1t1t0，解得t2.答案211在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_解析因为E为CD的中点，所以，.因为1，所以()221，即12|cos 601，所以2|0，解得|.答案12已知单位向量e1，e2的夹角为，求向量ae1e2，be22e1的夹角解e1，e2为单位向量且夹角为，e1e211cos.ab(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a|，|b|，cos .又0，.a与b的夹角为.13.(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD中，|2，|1，DAB60.求：(1)；(2)与夹角的余弦值解(1)|cosDAB21.(2)，22413，22221427，|，22224123，|3.cos .