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1、课时规范练52古典概型基础巩固组1.(2017安徽马鞍山一模,文6)从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是()A.13B.25C.12D.352.同时抛掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是()A.118B.112C.19D.163.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.9254.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为()A.16B.112C.536D.195.从集合2,3,
2、4,5中随机抽取一个数a,从集合1,3,5中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为()A.16B.13C.14D.126.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.7.将一颗质地均匀的骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使直线l1:x+ay=3,l2:bx+6y=3平行的概率为p1,不平行的概率为p2,若点(p1,p2)在圆(x-m)2+y2=6581的内部,则实数m的取值范围是.8.(2017江西宜春中学3月模拟,文19)一个袋
3、中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求nm+2的概率.9.(2017辽宁鞍山一模,文18)上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组40,50);第二组50,60);第六组90,100,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这次月考数学成绩的平
4、均分和众数;(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间90,100内的概率.导学号24190953综合提升组10.设a1,2,3,4,b2,4,8,12,则函数f(x)=x3+ax-b在区间1,2上有零点的概率为()A.12B.58C.1116D.3411.(2017湖北武昌1月调研,文14)已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,所以以每4个随机数为一组,代表射击
5、4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.12.抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过423的概率为.13.(2017湖南邵阳一模,文19)空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.指数级别类别户外活动建议050优可正常活动51100良1
6、01150轻微污染易感人群症状有轻度加剧,健康人群出现刺激症状,心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体力消耗和户外活动151200轻度污染201250中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧,运动耐受力降低,健康人群中普遍出现症状,老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动251300中度重污染301500重污染健康人运动耐受力降低,由明显强烈症状,提前出现某些疾病,老年人和病人应当留在室内,避免体力消耗,一般人群应尽量减少户外活动现统计邵阳市市区2017年10月至11月连续60天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这60天中属轻度污染的天数;(2)求这60天空气质量指数的平均值;(3)将
7、频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,第五组.从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为x,y,求事件|x-y|150的概率.导学号24190954创新应用组14.已知M=1,2,3,4,若aM,bM,则函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数的概率是()A.916B.716C.416D.31615.(2017北京丰台一模,文18)某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送.学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度,采用问卷的形式,随机抽取了40名学生对两家公司分别评分.根据收集的80份问卷的评分,得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公
8、司满意度评分的频数分布表.满意度评分分组频数50,60)260,70)870,80)1480,90)1490,1002(1)根据A公司的频率分布直方图,估计该公司满意度评分的中位数;(2)从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份,求这两份问卷都是给A公司评分的概率;(3)请从统计角度,对A,B两家公司做出评价.答案：1.C从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点,基本事件总数为n=10,它们作为顶点的三角形是锐角三角形的方法种数为5,故以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是P=510=12.故选C.2.C同时抛掷两枚骰子,基本事件总数为36,记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A,则事件A包
9、含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4个,故P(A)=436=19.3.B从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为410=25.4.B依题意,以(x,y)为坐标的点共有66=36个,其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率P=336=112.5.A由题意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.因为mn,即mn=0,所以a1+b(-1)
10、=0,即a=b,满足条件的有(3,3),(5,5),共2个,故所求的概率为16.6.56(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为3036=56.(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记A表示“向上的点数之和小于10”,则A表示“向上的点数之和不小于10”,A的基本事件共有6个,所以P(A)=636=16,P(A)=1-P(A)=56.7.0,29由题意可知直线l1的斜率k1=-1a,直线l2的斜率k2=-b6.l1l2,k1=k2.-1a=-b6.ab=6.能使l1l2的情况有(1,
11、6),(2,3),(3,2),(6,1),共4种.又总的基本事件有36种,能使l1l2的概率为p1=436=19,不平行的概率为p2=89.由19-m2+8926581,解得m的取值范围是0,29.8.解 (1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1,4和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3,共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1,3和2,1两个.因此所求事件的概率P=26=13.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2
12、),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.又满足条件nm+2的事件为:(1,3),(1,4),(2,4),共3个,所以满足条件nm+2的事件的概率为P1=316.故满足条件n0,所以函数f(x)在区间1,2上为增函数.若存在零点,则f(1)f(2)0,解得a+1b8+2a.因此,可使函数在区间1,2上有零点的有:a=1,2b10,故b=2,b=4,b=8,共有3种情况;a=2,3b12,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=3,4b14,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=4,5b16
13、,故b=8,b=12,共有2种情况.所以有零点共有3+3+3+2=11种情况.而构成函数共有44=16个,根据古典概型可得有零点的概率为1116.11.0.75由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:572702939857034743738636964746986233261680453661959774244281,共15组随机数,故所求概率约为1520=0.75.12.19由题意可知抛掷两枚质地均匀的骰子得到的点数(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(6,6),共36种.因为直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相
14、交,且所得弦长不超过423,所以11a2+b213,即10,所以=(2b)2-43a=4b2-12a0在R上恒成立,即ab23.当b=1时,有a13,故a可取1,2,3,4,共4个数;当b=2时,有a43,故a可取2,3,4,共3个数;当b=3时,有a3,故a可取3,4,共2个数;当b=4时,有a163,故a无可取值.综上,事件A包含的基本事件有4+3+2=9种.又a,b1,2,3,4,所以所有的基本事件共有44=16种.故所求事件A的概率为P(A)=916.故选A.15.解 (1)设A公司调查的40份问卷的中位数为x,则有0.01510+0.02510+0.03(x-70)=0.5,解得x7
15、3.3,所以,估计该公司满意度得分的中位数为73.3.(2)满意度高于90的问卷共有6份,其中4份评价A公司,设为a1,a2,a3,a4,2份评价B公司,设为b1,b2.从这6份问卷中随机取2份,所有可能的结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共有15种.其中2份问卷都评价A公司的有以下6种:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4).设两份问卷均是评价A公司为事件C,则有P(C)=615=25.(3)由所给两个公司的调查满意度得分知:A公司得分的中位数低于B公司得分的中位数,A公司得分集中在70,80)这组,而B公司得分集中在70,80)和80,90)两个组,A公司得分的平均数低于B公司得分的平均数,A公司得分比较分散,而B公司得分相对集中,即A公司得分的方差高于B公司得分的方差.