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1、课时规范练7函数的奇偶性与周期性一、基础巩固组1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.(2017河北武邑中学模拟,理3)在下列函数中,既是偶函数,又在区间0,1上单调递增的函数是()A.y=cos xB.y=-x2C.y=12|x|D.y=|sin x|3.(2017河北百校联考)已知f(x)满足对任意xR,f(-x)+f(x)=0,且当x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为()A.4B.-4C.6D.-64.(2017福建名校模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-,0上f(x)是减函数
2、.若f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.(2,+)5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x0,1)时,f(x)=2x-2,则f(log1242)的值为()A.0B.1C.2D.-26.(2017江西三校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2(-,0)(x1x2),都有f(x1)-f(x2)x1-x20,则下列结论正确的是()A.f(0.32)f(20.3)f(log25)B.f(log25)f(20.3)f(0.32)C.f(log25)f(0.32)f(20.3)
3、D.f(0.32)f(log25)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)8.(2017河南南阳模拟)已知函数f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在-1,3上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)=.10.(2017湖南衡阳三次联考,理16)已知函数f(x)=log1ex2+1e-xe,则使得f(x+1)0的解集为.12.(2017河北衡水模拟)已知
4、y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=.二、综合提升组13.已知偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x0),则x|f(x-2)0=()A.x|x4B.x|x4C.x|x6D.x|x214.(2017山东青岛模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A.2B.1C.-1D.-215.(2017安徽安庆二模,理10)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1x0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于()A.14B.-14C.-15D.15导学号2
5、150051116.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=3x.若12a34,则在区间-3,2上,关于x的方程ax+3a-f(x)=0不相等的实数根的个数为.三、创新应用组17.如果存在正实数a,使得f(x-a)为奇函数,f(x+a)为偶函数,那么我们称函数f(x)为“和谐函数”.给出下列四个函数:f(x)=(x-1)2+5;f(x)=cos 2x-4;f(x)=sin x+cos x;f(x)=ln|x+1|.其中“和谐函数”的个数为.导学号21500512课时规范练7函数的奇偶性与周期性1.Cf(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),
6、且定义域为(-,0)(0,+),f(x)为奇函数.f(x)的图象关于坐标原点对称.2.D四个函数都是偶函数,在0,1上递增的只有D,而A,B,C中的三个函数在0,1上都递减,故选D.3.B由题意知函数f(x)是奇函数.因为f(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln 5)=-f(ln 5)=-eln 5+1=-5+1=-4,故选B.4.B由题意知f(-2)=f(2)=0,当x(-2,0时,f(x)f(-2)=0.由对称性知,当x0,2)时,f(x)为增函数,f(x)f(2)=0,故x(-2,2)时,f(x)0,故选B.5.A因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(log1
7、242)=f(-log2252)=f-52=-f52.又因为f(x+2)=f(x),所以f52=f12=212-2=0.所以f(log1242)=0.6.A对任意x1,x2(-,0),且x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x20,f(x)在(-,0)内是减函数,又f(x)是R上的偶函数,f(x)在(0,+)内是增函数.00.3220.3log25,f(0.32)f(20.3)f(10).8.Cf(x)的部分图象如图所示.当x-1,0)时,由xf(x)0,得x(-1,0);当x0,1)时,由xf(x)0,得x;当x1,3时,由xf(x)0,得x(1,3).故x(-1,0)(1,3).9.6
8、由f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,且周期T=6.因为f(x)为偶函数,所以f(919)=f(1536+1)=f(1)=f(-1)=61=6.10.(0,2)由题意得函数f(x)的定义域是R,f(-x)=log1ex2+1e-xe=f(x),函数f(x)是偶函数.偶函数f(x)在(0,+)内单调递减,且f(x+1)|2x-1|,解得0x2.11.x-12x12由奇函数y=f(x)在(0,+)内单调递增,且f12=0,可知函数y=f(x)在(-,0)内单调递增,且f-12=0.由f(x)0,可得x12或-12x0等价于f(|x-2|)0=f(2).f(x)=x3-8在0,+)内为
9、增函数,|x-2|2,解得x4.14.Af(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.15.D由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x+1)+1=f(x),f(x)是周期为2的周期函数.log232log220log216,4log2205,f(log220)=f(log220-4)=flog254=-f
10、-log254.当x(-1,0)时,f(x)=2x-1,f-log254=-15,故f(log220)=15.16.5f(x+2)=f(x),函数f(x)是周期为2的函数.当x-1,0时,-x0,1,此时f(-x)=-3x.由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间-3,2上的图象,如图所示.因为12a34,且当a=12和a=34时,对应的g(x)为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.17.1因为对任意xR,都有f(x)5
11、,所以当x=a时,f(x-a)5,不满足f(0)=0,所以无论正数a取什么值,f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”;因为f(x)=cos2x-2=sin 2x,所以f(x)的图象左右平移4时为偶函数,f(x)的图象左右平移2时为奇函数,故不是“和谐函数”;因为f(x)=sin x+cos x=2sinx+4,所以fx-4=2sin x是奇函数,fx+4=2cos x是偶函数,故是“和谐函数”;因为f(x)=ln|x+1|,所以只有f(x-1)=ln|x|为偶函数,而f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a,使得函数f(x)是“和谐函数”.综上可知,都不是“和谐函数”,只有是“和谐函数”.故答案为1.