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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料不等式学问点归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一.1解不等式是求不等式的解集， 最终务必有集合的形式表示。不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解分式不等式f xg xa a0的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）。 3含有两个肯定值的不等式如何去肯定值
2、？一般是分类争论、平方转化或换元转化。 4解含参不等式常 分类等价转化 ，必要时需分类争论 .留意：按参数争论，最终按参数取值分别说明其解集，但如按未知数争论，最终应求并集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、 利用重要不等式 ab2ab以及变式 ab ab 2 等求函数的最值时， 务必留意 a，bR 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或 a ，b 非负），且“等号成立 ”时的条件是积ab 或和 a b 其中之一应是定值 一正二定三等四同时 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、.常用不等式有：a2b 2abab2 ab可编辑资料 - - -
3、欢迎下载精品名师归纳总结2211ab依据目标不等式左右的运算结构选用、 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cR， a2b 2c2abbcca （当且仅当 abc 时，取等号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 3b 3c 33abc （ abc0等式即可成立， abc或abc0时取等 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3333 abc abc 3abc
4、abc 3 abc 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、最值定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（积定和最小）x, y0,由xy 2xy ，如积xyP 定值 ，就当 xy 时和 xy 有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2p 。（和定积最大 ） x, y0,由xy 2xy ，如和xyS 定值 ，就当 xy 是积 xy 有最大值1 s2 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【推广】：已知a, b, x, yR, 如 axby11 ，就有就x1的最小值为：y可编辑资料 - - -
5、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111 axby byaxab ab2ab2ab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyxyxy精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料等式到不等式的转化：已知x0， y0，x2y2xy 8，就 x2y 的最小值是 可编辑资料 - - - 欢迎
6、下载精品名师归纳总结2xy8 x2 yx2y8 x2 y x2 y 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x2 y 2即4 x2 y80 x2 y8 x2 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 x2 y（8 舍）或 x2 y4故 x 2y 的最小值是 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如求 xy 的最大值， 就2xy8 x2 yx2 y82 xy22xy ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
7、归纳总结然后解关于xy 的一元二次不等式，求xy 的范畴，进而得到xy 的最大值六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有： 差比较法 、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和 放缩法 留意：对 “整式、分式、肯定值不等式 ”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响 .七、含肯定值不等式的性质：a、b 同号或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab |。a、b 异号或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab |.八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机的结合起来，其以掩盖学问点多，
8、综合性强，解法敏捷等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的 “函数与方程 ”、“化归与转化 ”、“数形结合 ”、“分类争论 ”等数学思想对锤炼同学的综合解题才能，培育其思维的敏捷性、制造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、函数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）一次函数f xkxb, x m, n 有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0恒成立f mf n0, f x00恒成立f m0f n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可
9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）一元二次函数f xax 2bxc0a0, xR) 有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1） fx0 对 xa0R 恒成立;0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料a0可
10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） fx0 对 xR 恒成立.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）不等式中 x 的取值范畴有限制，就可利用根的分布解决问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 设f xx 22mx2 ，当 x1, 时，f xm 恒成立，求实数 m 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设F xx 22mx2m ，就当 x1, 时，F x0 恒成立yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当4
11、m1m20即2m1时，F x0 明显成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当0 时，如图，F x0 恒成立的充要条件为：-1 Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0F 10解得3m2m122 。综上可得实数m 的取值范畴为3,1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、最值法：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） f xa 恒成立af x min可编辑资料 - - -
12、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） f xa 恒成立af x max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知两个函数f x8x16xk，g x2x5x4x ，其中 k 为实数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如对任意的 x3，3，都有f xg x 成立，求 k 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如对任意的x1、x23，3，都有f x1 g
13、 x2 ，求 k 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3如对于任意 x13,3,总存在x03,3使得 g x0 f x1 成立，求 k 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1 令 F xg xf x2 x33x212xk ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题转化为F x0在x3,3上恒成立 ,即 F x min0 即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料
14、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由题意可知当 x3，3时,都有f x maxg xmin .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）于任意 x13,3,总存在x03,3使得 g x0 f x1 成立，等价于 fx 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 gx 的值域的子集，精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精
15、心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料三、分别变量法如所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分别于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范畴。这种方法本质也仍是求最值，但它思路更清楚，操作性更强。 一般的有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1） f xg aa为参数）恒成立ga f xmax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） f xgaa为参数）恒成立ga f x max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例
16、 3：已知 fx是定义在 -1,1 上的奇函数 ,且 f1=1,如 m, n1,1, mn0 时 f mmf n n0 ， 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xt 22at1对于全部的 x1,1, a1,1恒成立，求实数t 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：题不等式中有三个变量， 因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量， 简单证明 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是定义在 -1,1 上的增函数 ,故 fx 在-1,1 上的最大值为f1=1,就f xt 22at1 对于所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可
17、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 的 x1,1, a1,1恒 成 立1t 22at1 对 于 所 有 的 a1,1恒 成 立 ， 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2tat 20 对 于 所 有 的 a1,1恒 成 立 ， 令g a2tat 2， 只 要g 10，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t2或t2或t0 g 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、变换主元法理含参不等式恒成立的某些问题时，如能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”摸索，往往会使问题降次、简化。可编辑资料 -
18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4：，不等式 x 2a4 x42a0 恒成立，求 x 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但如把a 看成主元，就问题可转化为一次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式 x2 ax24 x40 在 a1,1 上恒成立的问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令f a x2ax24 x4 ，就原问题转化为f a 0 恒成立（ a1,1 ） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -
19、欢迎下载精品名师归纳总结当 x2 时，可得f a0 ，不合题意。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x2 时，应有f 10解之得 x1或x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 x 的取值范畴为 ,13, 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下
20、载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明白数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。函数图象和不等式有着亲密的联系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1） fxg x函数 fx图象恒在函数g x图象上方。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） fxg x函数 f x图象恒在函数g x 图象下上方 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
21、 - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.设函数f xax24 x, g xaxa ,如恒有f xg x 成立,试求实数 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由题意得f xg xx 24 xax2a ,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 y1x24 x , y 2ax2a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可化为 x2 224 0x4, y10 ，它表示以 2,0为圆心，2 为Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1半径
22、的上半圆。表示经过定点-2,0，以 a 为斜率的直线，要使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x 恒成立，只需所表示的半圆在所表示的直线下方就可以了如下列图 当直线与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半圆相切时就有| 2a12a | a 22 ，即 a3，由图可知，要使3f xg x 恒成立，实数a 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结围是 a3 3六、分类争论在给出的不等式中，假如两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，就可利用分类争论的思想来解决。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
23、名师归纳总结2例 6： x2,2时，不等式 x2ax3a 恒成立，求 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设fxxax3a ，就问题转化为当x2,2时， fx的最小值非负。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 当a22 即： a4 时，fx minf273a0a7 又 a34所以 a 不存在。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 当22即 ：4a4 时 ，fx minf3a06
24、a2又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2244a44a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 当a22即： a4时，fx minf27a0a7 又a47a4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所得：7a2精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
25、学习资料例 7：已知 a 是实数，函数f x2ax 22 x3a ，假如函数yf x 在区间1，1上有零点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由函数f x的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结仍是二次函数， 因而需就 a0 和 a0 两类情形进行争论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：函数yf x 在区间 -1，1上有零点
26、，即方程2f x2ax2x3a =0 在-1， 1上有解，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a=0时 ， 不 符 合 题 意 ， 所 以a 0方,程fx= 0在 -1 ， 1 上 有 解 f 1f 10 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结af 10af 1048a311.1a) 01a5 或 a37 或 a52a372或 a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a所以实数 a 的取值范畴是 a37 或 a 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：此题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础学问，考察了数形结合、分类争论的思想方法，以及抽象概括才能、运算求解才能。精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载