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1、人教版初中数学八年级下册全册教案教学设计 16.1二次根式 本课通过现实问题提出二次根式要研究的问题，通过用字母表示算术平方根中的被开方数，把算术平方根一般化，得到二次根式的概念、二次根式有意义的条件、二次根式的非负 性结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质 1. 根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由； 2. 能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系 3. 经历探索性质2 a = a （ a 0）和2)(a = a （a 0）的过程，并理解其意义； 4. 会运用性质2a = a （a 0）和2)(a = a （a
2、 0）进行二次根式的化简； 5. 了解代数式的概念 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念. 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简 二次根式有意义的条件. 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简 课件 第一课时 一、导入新课： 导入一 唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.猪八戒很好奇，通过查阅资料算了人参果下落的时间t 与h 之间的关系式为t= 9.4h ,你知道式子9.4h 表示的什么?式子t=9 .4h 中h 表
3、示什么意义？ 设计意图 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础. 导入二： 1.教师出示复习题: (1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 . (2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 . 学生口答:(1)4的平方根是2；0的平方根是0；-16没有平方根. (2)5的平方根是5的算术平方根是. 2.教师出示教材第2页“思考”题: 用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点: (1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S 的正方形的边长为 . (2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m 2,则它的宽为 m
4、. (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t 2.如果用含有h 的式子表示t,那么t 为 . 学生思考后回答,教师补充得出答案:(1)S ；3(2)65(3) 5 h . 设计意图 以回顾练习和思考的形式引导学生回顾前面学习的算术平方根和平方根，为下面的学习奠定基础，并引入新课. 二、二次根式的概念 问题1.上面问题中，得到的结果分别是：3；S ；65；5 h （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 设计意图 教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示
5、的非负数)的算术平方根. 问题2.学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义: 一般地,我们把形如a (a0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a0”? 教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道a 表示a 的算术平方根，只有正数和零才有算术平方根，故被开方数必须是非负数. 设计意图 让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解. 练习1 指出下列哪些是二次根式？ （1）
6、5； （2）3-； （3）321； （4）12 +x ； （5）)2(2-a a ； （6）)(b a b a - 设计意图 再次强调二次根式的两要素：根指数为2、被开方数非负，两者缺一不可. 三、二次根式有意义的条件： 问题3.例1 当x 是怎样的实数时，1-x 在实数范围内有意义？ 解：要使1-x 在实数范围有意义，必须x+20， x-2 练习2：a 取何值时，下列根式有意义？ （1）1+a ；（2） a 2-11 ；（3）2)1(-x 解：（1）由a+10，得 a-1； （2）由1-2a 0，得a 2 1 ； （3）由（x-1）20，得x 为任何实数 四、巩固练习： 练习3.下列式子中，
7、二次根式的个数是（ ） （1） 3 1；（2）5-；（3）22+x ；（4）3x ；（5）35 A. 1 B.2 C.3 D. 4 练习4.当x 是怎样的实数时2 x 在实数范围内有意义？3 x 呢？ 练习5.当x 是什么实数时，下列各式有意义 （1）x 4-3；（2）1 -x x ；（3）2 -x ；（4）x x -22 五、课堂小结： 师生共同回顾本节课所学主要内容: 知识要点 关键点 注意事项 二次根式的 概念 形如0(a0)的式子叫做 二次根式,其中被开方数 是a 被开方数也可以是含有字母的单项 式、多项式、分式等 二次根式有 意义的条件 被开方数必须是非负数 求解二次根式中字母的取值
8、范围,要注意根号下的式子整体不小于零 第二课时 一、导入新课： 导入语：在上节课的学习中，我们学习了二次根式的概念，以及二次根式有意义的条件。现在，我们来复习一下吧。 1. 判断下列各式中哪些是二次根式？ 328,10,5,04.0+-a a 2. 填空： 当a 0时，a 表示 ，因此； 当a=0时，a 表示 ，因此 综上所述，当a 0即a （a 0）是 数. 二、新课讲解： 问题1：探究 2 ）（a （a 0）的值. 根据算术平方根的意义填空： =2)4( ；=2)2( ；=2 )3 1( ；=2)0( . 探究：把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：2 ）（a = （a 0）. 你能说说
9、 2 ）（a =a （a 0)的依据吗？ 例1 计算下列各式： （1）2)5.1( ；（2） 2 52）（ 强调：第二问中52表示25，这里 2 52）（即为2 52）（?，需用到（ab ）2=a 2b 2这个结论. 练习1：化简 （1）2)18(；（2）2)0(；（3）2 )8 74(；（4）2)53( 问题2：探究2 a 的值. 填空：2 2= ；21.0= ；2 )3 2(= ；20= ； 探究1：把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：2 a = （a 0）. 例2：计算下列各式：（1）16；（2）23.0；（3）2 10-. 填空：2)2(-= ；2)1.0(-= ；2 )3 2 -
10、(= ；2)0(-2= . 探究2：把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：2 a = （a 0）. 例3：（1）2)5.0(-= （2）2)6(-= 综合2 a =a （a 0）和2 a =-a （a 0）两种情况，我们知道2 a =|a|. 即 ? ? ?=0000 2a a a a a a 练习2.（1）2 )10 9(；（2）2)4(-；（3）2)(-；（4）2)1.3(- 问题3：回顾我们学过的式子，如5，a ，a+2b ，m-n ，-ab ，t s ，-x 3，3，a ，这些式子有哪些共同特征？ 学生在教师引导下总结：（1）这些式子都含有数字或字母；（2）这些式子都含有加、减、乘、
11、除、乘方或开方这些运算. 总结得出：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式 练习3：下列各式:m 2-3;a 5 (a0);a-1=6;3x-50;25;66.其中代数式的个数是( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析: a-1=6是方程,不是代数式;3x-50是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C. 三、随堂训练： 四、课堂小结： 师生共同回顾本节课所学主要内容: 知识要点 关键点 注意事项 ()2=a (a 0) 任何非负数的算术平方根的被开方数a 是非负数 平方,其结果仍然是它本身 2 a =|a|
12、 任何实数的平方的算术平方 根是它的绝对值 底数a 可以是任何实数 代数式 用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式 式子中不能出现“=,”; 单个的数字或单个的字母也是代数式 略。 二次根式 模式介绍 “探究式教学”是以自主探究为主的教学.它是指教学过程是在教师的启发诱导下，以 学生独立自主探究或合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的一种教学形式.学生对当前教学内容中的主要知识点进行自主学习、深入探究并进行小组合作交流，以自我获取，自我求证的方式深化知识的理解和运用.从而较好地达到课程标准中关
13、于认知目标与情感目标要求的一种教学模式.其中认知目标涉及与学科相关知识、概念、原理与能力的掌握；情感目标注重科学素养与道德品质的培养. 探究式教学的课程环节： 创设情境启发思考自主探究协作交流总结提高 思路说明 由实际问题引出二次根式的定义，引导学生理解为什么二次根式中被开方数必须是非负 数；联系非负数a a a 、2 加强理解与应用.本节知识的主要学习方法是 ：思考与交流，归纳与总结；加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法. 第一课时 教材分析 本章内容“二次根式”是数学课程标准中“数与代数”领域的重要内容，它与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”紧
14、密联系，同时也是以后将要学习的“解直三角形”、“一元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学的不等式、函数以及解析几何等大部分做好准备.通过本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等探究，发现学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律.本章内容无论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的. 教学目标 1.通过实例,了解二次根式的含义,体会二次根式与实际生活的联系. 2.理解二次根式的定义,熟记其性质. 3.通过联系实际发现问题,独立思考,培养合作探究的能力,培养良好的数学思维习惯. 学会通过学生猜想、讨论、验证等探究式
15、学习，充分让学生认识体会过程性的学习，使学生逐渐形成科学的学习方法. 1.提高学生学习数学的好奇心和探究欲望，激发和发展学生学习的兴趣. 2.通过探究活动，培养学生求实、创新、严谨、合作的科学品质，集体协作的团队精神. 教学重难点 对二次根式的定义的理解，以及二次二次性质的灵活应用. 二次根式性质的理解和应用. 课前准备 教学PPT 课时安排 1课时 教学过程 （一）知识回顾 （1）面积为3的正方形的边长为_，面积为S 的正方形的边长为 ； （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m 2，则它的宽为 m ； （3）一雨滴从天而降，落到地面所用的时间t （单位：s ）与下落的高度h(
16、单位：m)满足关系式h=21 gt2.如果含有h ，g 的式子表示t ，则t= . （二）探究新知 1.以上四个问题的结果分别是3，S ，65，2h g 它们都表示一些正数的算术平方根，我们把这样的式子叫做二次根式. 学生总结并展示：形如a （a0）的式子叫做_ 对式子a （a0），我们有以下进步认识： 当a 是正数时，a 表示a 的_，即正数a 的_平方根 当a 是零时，a 等于_，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a 是负数时，a _ 因此，a （a0）表示非负数a 的_，也就是说，a （a 0）是一个_数，它的平方等于a 即有： （1）a _（a0）；（2）2)(a =_（a
17、0） 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a 0，即被开方数必须是_ （三）尝试应用 1.x 是怎样的实数时，二次根式x +2有意义？ 分析：要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数 （四）拓展应用 52x x -x 的取值范围 分析52x x -x 中的0x 52x -025-x （五）总结分享 1什么是二次根式？怎样判断一个式子是二次根式？ 2二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ 3.二次根式与算术平方根有什么关系？ （六）巩固新知 1使1x -有意义的x 的取值范围是（ ） A 、1x B 、1x C 、1x B 03x x 且 C 3x D 03x x 且
18、3下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a 1的是（ ） A.1a - B. 1a - C. 2(1)a - D. 11a - 4若x 、y 满足2212(1)0x y -+-=，则y x +的值等于（ ） A.1 B.32 C.2 D.52 5已知a 、b 满足997b a a =-+-，求a = ，b = 6使函数2 x y += 有意义的x 的取值范围是 7.已知x 、y 为实数，且334y x x =-+，求代数式 ) ()() (2 y x x y x y x y x -+-的值 板书设计 16.1.1 二次根式 一、二次根式的定义 二、二次根式的性质 教学反思 本节课以实际问题出发，提出问题，通过知识的学习去解决问题。让学生学会提出问题， 自主学习，解决问题的思维方式。 在探究活动中，更关注学生的情绪体验，并适时给与给予鼓励，让学生积极思考，大胆