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1、第十章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程(全国卷5年4考),【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l_之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴_时,规定它的倾斜角为0(或0).,向上方向,平行或重合,(2)范围:直线l倾斜角的取值范围是_.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=_,倾斜角是90的直线斜率不存在.,0,)(或|00,bc0,bc0C.ab0D.ab0,bc0,bc0.,4.(2018荆州模拟)两直线与(其中a是不为零的常数)的图象可能是(),【解析】
2、选B.直线方程可化为y=x-na,直线可化为y=x-ma,由此可知两条直线的斜率同号.,【规律方法】求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点:(1)2个步骤:求出斜率k=tan的取值范围.利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角的取值范围.,(2)1个注意点:求倾斜角时要注意斜率是否存在.,考点二求直线的方程【典例】(1)过点A(1,3),斜率是直线y=-4x斜率的一半的直线方程为_.,(2)若A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为_.,【解析】(1)所求直线的斜率k=-2,直线方程为y-3=-2(x-1),整理得2x+
3、y-5=0.答案:2x+y-5=0(2)设直线l在x轴、y轴上的截距均为a.由题意得M(3,2).,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),所以直线l的方程为y=x,即2x-3y=0;若a0,设直线l的方程为=1,因为直线l过点M(3,2),所以=1,所以a=5,此时直线l的方程为=1,即x+y-5=0.,综上,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.答案:2x-3y=0或x+y-5=0,【答题模板微课】本例(2)的求解过程可模板化为:建模板:“设直线l在x轴、y轴上的截距均为a.”设元“由题意得M(3,2),若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),所以直线l的方程为y=x,即2x-
4、3y=0;若a0,设直线l的方程为=1,因为直线l过点M(3,2),所以,=1,所以a=5,此时直线l的方程为=1,即x+y-5=0.”分类讨论“综上,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.”总结,答案:2x-3y=0或x+y-5=0套模板:已知直线l过点P(2,-1),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍,则直线l的方程为_.,【解析】设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.设元若b=0,则直线过原点(0,0),此时直线斜率k=-,直线方程为x+2y=0.,若b0,设直线方程为=1.由于点P(2,-1)在直线上,所以b=-.从而直线方程为-x-3y=1,即x+3y+1=
5、0.分类讨论综上所述,所求直线方程为x+2y=0或x+3y+1=0.总结答案:x+2y=0或x+3y+1=0,【误区警示】在选用直线方程时,常易忽视的情况有:(1)选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线.(2)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况.(3)选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.,【互动探究】若将本例(1)中的“斜率是直线y=-4x斜率的一半”改为“斜率是直线y=-4x斜率的四分之一”,其他条件不变,则直线方程为_.,【解析】所求直线的斜率k=-1,直线方程为y-3=-(x-1),整理得x+y-4=0.答案:x+y-4=0,【规律方法】求直线方程的注意
6、事项:(1)选形式:在求直线方程时,根据题目的条件选择适当的形式.,(2)讨论斜率:对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若釆用截距式,应先判断截距是否为零).(3)一般式:重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.,【对点训练】1.(2019邯郸模拟)过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是()A.x=2B.y=1C.x=1D.y=2,【解析】选A.因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为.由已知,所求直线的倾斜角为斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.,2.(2018哈尔滨模拟)一条
7、直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为_.,【解析】设所求直线的方程为因为A(-2,2)在直线上,所以又因为直线与坐标轴围成的三角形的面积为1,所以|a|b|=1.由得或,由得或方程组无解.所以所求的直线方程为或即x+2y-2=0或2x+y+2=0.答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0,3.求经过点P(2,-2),并且在y轴上的截距比在x轴上的截距大l的直线l的方程.,【解析】显然直线不过原点,截距不为0,设直线l的方程为因为直线l过点P(2,-2),所以解得a=-2或1,所以直线l的方程为或即x+2y+2=0或2x+y-2=0.,【一题多解】(点
8、斜式)由题意知所求直线斜率存在,则设方程为y+2=k(x-2),且k0.令x=0,得y=-2k-2,令y=0,得x=+2,所以-2k-2=+2+1,解得k=-或-2.所以直线l的方程为y+2=-(x-2)或y+2=-2(x-2),即x+2y+2=0或2x+y-2=0.,考点三直线方程的综合应用【明考点知考法】直线方程的综合应用多以选择题或填空题的形式出现,常考查与基本不等式相结合求最值问题,由直线方程求参数问题,解题过程中常用到数形结合思想.,命题角度1与直线方程有关的最值问题【典例】(2018潍坊模拟)直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点,当|O
9、A|+|OB|最小时,求直线l的方程.,【解析】由已知,直线l的斜率存在且斜率为负,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-4=k(x-1)(k0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为_.,【解析】A,B两点确定直线的方程为又C(-2,-2)在该直线上,所以-2(a+b)=ab,又ab0,所以a0,b0.由基本不等式ab=-2(a+b)4,所以0(舍去)或4,ab16,当且仅当a=b=-4时取等号,即ab的最小值为16.答案:16,3.(2018临沂模拟)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求证:不论m为何实数,直线l过一定点M.(
10、2)过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.,【解析】(1)直线l的方程整理得(2x+y+4)+m(x-2y-3)=0,由解得所以无论m为何实数,直线l过定点M(-1,-2).,(2)过定点M(-1,-2)作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,则直线l1过点(-2,0),(0,-4),设直线l1的方程为y=kx+b,把两点坐标代入得解得则直线l1的方程为y=-2x-4,即2x+y+4=0.,数学能力系列22直线斜率问题中直观想象的核心素养【能力诠释】以学习过的直线相关知识为基础,借助几何直观想象并构建相应的几何图形,然后利用图形理解和解决问题
11、.,【典例】直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是()A.0,)B.C.D.,【解析】选B.由题意知,直线的斜率存在.,因为直线xsin+y+2=0的斜率k=-sin,又-1sin1,所以-1k1.设直线xsin+y+2=0的倾斜角为,所以-1tan1,而0,),故倾斜角的取值范围是.,【技法点拨】在已知斜率表达式的情况下,研究倾斜角的范围,应首先求出斜率的取值范围,然后借助正切函数的图象求解.,【即时训练】设直线l的方程为x+ycos+3=0(R),则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,),【解析】选C.当cos=0时,方程变为x+3=0,倾斜角为;当cos0时,斜率k=-.因为cos-1,1且cos0,所以k(-,-11,+),即tan(-,-11,+),又0,),所以,综上,l的倾斜角的取值范围是.,