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1、1第四章第四章平平 面面 弯弯 曲曲2本章内容本章内容:1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念2 梁的简化梁的简化3 平面弯曲时梁的内力平面弯曲时梁的内力4 剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系弯矩、剪力和载荷集度间的关系36 平面弯曲时梁横截面的正应力平面弯曲时梁横截面的正应力7 截面的惯性矩及抗弯截面模量截面的惯性矩及抗弯截面模量8 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件9 提高梁的弯曲强度的措施提高梁的弯曲强度的措施44. 1 平面弯曲平面弯曲的概念的概念工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。5l 弯曲
2、变形弯曲变形载荷载荷垂直于垂直于杆的轴线，杆的轴线，以以弯曲变形弯曲变形为主的杆件为主的杆件轴线由轴线由直线直线曲线曲线称为称为梁梁。l 对称弯曲对称弯曲若梁若梁(1) 具有纵向对称具有纵向对称面面;(2) 所有外力都作所有外力都作用在纵向对称用在纵向对称则轴线变形后也是该对称面内的曲线。则轴线变形后也是该对称面内的曲线。面内。面内。64. 2梁的简化梁的简化1 支座的几种基本形式支座的几种基本形式u 固定铰支座固定铰支座桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。71 支座的几种基本形式支座的几种基本形式u 固定铰支座固定铰支座u 可动铰支座可动铰支座1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴
3、承等8u 固定端约束固定端约束FAxFAy2 载荷的简化载荷的简化u 集中力集中力u 集中力偶集中力偶u 分布载荷分布载荷游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力作用在梁上的载荷形式103 静定梁的基本形式静定梁的基本形式主要研究主要研究等直梁等直梁。u 简支梁简支梁u 外伸梁外伸梁u 悬臂梁悬臂梁114. 3 平面弯曲时梁的内力平面弯曲时梁的内力下面求解梁弯曲时的内力。下面求解梁弯曲时的内力。u 例子例子已知已知：q = 20 kN/m, 尺寸尺寸如图。如图。求求：D截面处的内力。截面处的内力。x求内力的方法求内力的方法解解：建立建立
4、x坐标如图。坐标如图。(1) 求支座反力求支座反力RAyRAxRC取整体，受力如图。取整体，受力如图。0X0AxR12(1) 求支座反力求支座反力取整体，受力如图。取整体，受力如图。0X0AxRxRARCRAx0)(FCMkN80AR0YkN40CR(2) 求求D截面内力截面内力从从D处截开，取左段。处截开，取左段。xRAQD横截面上的内力如图。横截面上的内力如图。RAxNMD130XAxRN0)(FDM2/xqxxRMAD0YqxRQAD(2) 求求D截面内力截面内力从从D处截开，取左段。处截开，取左段。横截面上的内力如图。横截面上的内力如图。0 xRAQDMDNRAxx208021080
5、xx14xRARCRAx若从若从D处截开，取右段。处截开，取右段。横截面上的内力如图。横截面上的内力如图。xRAQDMDNRAxRCQDMD计算可得计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。的数值与取左段所得结果相同。但从图上看，它们的方向相反。但从图上看，它们的方向相反。 剪力剪力和和弯矩弯矩的正负号规则如何？的正负号规则如何？15l 剪力剪力和和弯矩弯矩的正负号规定的正负号规定QQu 剪力剪力使其作用的一使其作用的一段梁产生顺时段梁产生顺时针转动的剪力针转动的剪力为正。为正。u 弯矩弯矩使梁产生上凹使梁产生上凹(下凸下凸)变形的变形的弯矩为正。弯矩为正。16lFl2FlACDB试确定
6、截面C及截面D上的剪力和弯矩CsFlACAFAMAFAMFFCsCMFlMCFl2FlCDBCsFCMFFCs02FlFlMCFlMCBFDDsFDMFFDs0DM174. 4 剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图u 剪力方程剪力方程xRARAxRC)(xQQ u 弯矩方程弯矩方程)(xMM 2/xqxxRMADqxRQADF 上例中上例中u 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图18例例 2已知已知：简支梁如图。：简支梁如图。解解：求求：剪力方程，弯矩：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和方程，并作剪力图和弯矩图。弯矩图。(1) 求支反力求支反力,lPbRA需分段求解。需分
7、段求解。lPaRB(2) 求求剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程分为两段：分为两段：AC和和CB段。段。u AC段段 取取x截面，左段受力如图。截面，左段受力如图。19需分段求解。需分段求解。lPbxQ)(2) 求求剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程分为两段：分为两段：AC和和CB段。段。u AC段段取取x截面，左段受力如图。截面，左段受力如图。QM由平衡方程，可得由平衡方程，可得:)0(ax xlPbxM)()0(axu CB段段x取取x截面，截面，20lPaxQ)(由平衡方程，可得由平衡方程，可得:)(lxa)()(xllPaxM)(lxau CB段段x取取x截面，截面，xQM左段受力
8、如图。左段受力如图。(3) 画画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图21(3) 画画剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图lPbxQ)()0(ax xlPbxM)()0(axlPaxQ)()(lxa)()(xllPaxM)(lxa22例例 3已知已知：悬臂梁如图。：悬臂梁如图。解解：求求：剪力方程，弯：剪力方程，弯矩方程，并作剪力矩方程，并作剪力图和弯矩图。图和弯矩图。(1) 求支反力求支反力,qlRA为使计算简单，为使计算简单，221qlMA(2) 求求剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程取取x截面，右段受力如图。截面，右段受力如图。23为使计算简单，为使计算简单，(2) 求求剪力方程和剪力方程和弯矩方程弯矩
9、方程取取x截面，右段截面，右段受力如图。受力如图。QM)()(xlqxQ由平衡方程，可得由平衡方程，可得:)(xM2xl2)(21xlq )(xlq 24)()(xlqxQ2)(21)(xlqxM(3) 画画剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图25l 作剪力图和弯矩图的作剪力图和弯矩图的步骤步骤(1) 求支座反力；求支座反力；(2) 建立坐标系建立坐标系(一般以梁的左端点为原点一般以梁的左端点为原点)；(3) 分段分段 在在载荷变化处载荷变化处分段；分段；(4) 列出每一段的剪力方程和弯矩方程；列出每一段的剪力方程和弯矩方程；(5) 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和
10、弯矩图。弯矩图。26例例 4 已知已知：外伸梁如图。：外伸梁如图。解解：求求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图.(1) 求支反力求支反力kN,10ARkN5BR27(1) 求支反力求支反力kN,10ARkN5BR需分段求解。需分段求解。(2) 求求剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程分为分为3段：段：CA, AD和和DB段。段。PxQ)(u CA段段取取x截面，截面，左段左段受力如图。受力如图。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:m)6 . 00( xPxxM)(m)6 . 00( xxkN3x328u CA段段取取x截面，截面，左左段段受力如图。受
11、力如图。由平衡方程，由平衡方程，可得可得:m)6 . 00( xxxM3)(m)6 . 00( xxkN3)(xQPRxQA)(u AD段段取取x截面，截面，左段左段受力如图。受力如图。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:m)2 . 16 . 0(xPxxM)(m)2 . 16 . 0(xkN767 x)6 . 0( xRA29xPRxQA)(u AD段段取取x截面，截面，左段左段受力如图。受力如图。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:m)2 . 16 . 0(x)6 . 0()(xRPxxMAm)2 . 16 . 0(xkN767 xu DB段段取取x截面，右段受力如图。截面，右段受力如图。)4
12、 . 2()(xqxQm)4 . 22 . 1 (xx1019BR30 xu DB段段取取x截面，右段受力如图。截面，右段受力如图。BRxqxQ)4 . 2()(m)4 . 22 . 1 (xx1019)4 . 2()(xRxMBm)4 . 22 . 1 (x2)4 . 2( 5512xx2)4 . 2(21xq(3) 画画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图31(3) 画画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图END324. 5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系弯矩、剪力和载荷集度间的关系对图示的直梁对图示的直梁,考察考察dx 微段的微段的受力与平衡。受力与平衡。33考察考察dx微段的受力与微段的受力与平衡平衡0
13、Y)(xQ)(d)(xQxQ0)(dd)(xQxxq)(d)(dxqxxQ0)(FCMC)(xMxxQd)()(d)(xMxM2dd)(xxxqxxqd)(0034)(d)(dxqxxQ0)(FCMC)(xMxxQd)()(d)(xMxM02dd)(xxxq略去高阶微量略去高阶微量)(dxMxxQd)(0)(d)(dxQxxM还可有：还可有：)(d)(d22xqxxM35)(d)(dxqxxQ)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxMl q(x)、Q(x)和和M(x)间的间的微分关系微分关系上次例上次例 3l 由由微分关系微分关系可得以下可得以下结论结论36l 由由微分关系微分关系可得以
14、下可得以下结论结论(1) 若若q(x) = 0上次例上次例 2 (书例书例4. 2) Q(x) =常数，常数，剪力图为剪力图为水平线水平线；M(x) 为一次函数为一次函数，弯矩图为弯矩图为斜直线斜直线。(2) 若若q(x) = 常数常数Q(x)为一次函数为一次函数，剪力图为剪力图为斜直线斜直线；M(x) 为二次函数为二次函数，弯矩图为弯矩图为抛物线抛物线。37上次例上次例 3(2) 若若q(x) = 常数常数Q(x)为一次函数为一次函数，剪力图为剪力图为斜直线斜直线；M(x) 为二次函数为二次函数，弯矩图为弯矩图为抛物线抛物线。当当q(x) 0(向上向上)时时,抛物线抛物线是是下凸下凸的；的；
15、当当q(x) 5 的梁称为的梁称为细长梁细长梁。70l 最大正应力最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。横力弯曲时，弯矩是变化的。zIyMmaxmaxmax引入符号：引入符号：maxyIWz则有：则有：WMmaxmax 抗弯截面系数抗弯截面系数l 比较比较 拉压拉压:ANmaxmaxtWTmaxmax扭转扭转:71l 两种常用截面的抗弯截面系数两种常用截面的抗弯截面系数u 矩形截面矩形截面,123bhIz62bhW 2maxhyu 圆形截面圆形截面,644dIz323dW2maxdy72长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截
16、面上a、b、c各点的正应力。2lF2lABCbh6h2habcFLFLMB21123bhIZZaBaIyM123213bhhFLMPa65. 10bZcBcIyM122213bhhFLMPa47. 2（压）73试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。m4mkNq210020020010082qL竖放ZWMmaxmax6822bhqLMPa6横放ZWMmaxmax6822hbqLMPa1274拉压正应力拉压正应力ANdAA扭转切应力扭转切应力pITApdAI2弯曲正应力弯曲正应力zIMyAzdAyI2应力的计算通常用要到构件应力的计算通常用要到构件 截面的几何参数截面的几
17、何参数，例如：，例如：4. 7 截面的几何性质截面的几何性质751 形心位置形心位置2 2 惯性矩和平行移轴公式惯性矩和平行移轴公式4. 7 截面的几何性质截面的几何性质76对称图形形心的位置对称图形形心的位置有一个对称轴：有一个对称轴：形心形心C位于该轴上位于该轴上yCz77 有两个对称轴：有两个对称轴：两个对称轴的交点就两个对称轴的交点就是形心是形心C的位置的位置zyC78Czy对某点对称（中心对称）对某点对称（中心对称）形心形心C位于对称中心位于对称中心79yASxddxASyddAAyyAAxxAxSSAySSdddddAxyyxPnPnWMGIMANmaxmaxmaxmax ; ;
18、1 面积矩与形心位置面积矩与形心位置80二、形心：二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)AAyyAAxxiiiiiixiiyyAyASxAxASdAxyyx等厚均质mmyymmxxmmdd质心：xy累加式81将将图图形截面分割为三部分，形截面分割为三部分，每部分都是矩形。设坐标每部分都是矩形。设坐标Oxy，它们的面积和坐标分别为：它们的面积和坐标分别为：A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）82)(2 cmSAxxi
19、ic)(27 cmSAyyiicA1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）83AyAzId2AzAyId211. 3 为计算弯曲正应力与弯曲变形，必须知道为计算弯曲正应力与弯曲变形，必须知道截面的惯性矩截面的惯性矩84一、简单截面的惯性矩一、简单截面的惯性矩1 矩形截面的惯性矩Iz b/2b/2 b/2b/2C Cy ydydyz zy yh/2h/2根据惯性矩定义有： 1232222bhbdyydAyIhhAz852 圆形
20、截面的惯性矩Iz dzyyzczyzAAAPIIIdAzdAydAI22226424dIIPz同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为)1 (64244DIIPz式中D为空心圆截面的外径，为内、外径的比值86二、二、 组合公式组合公式 将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单图形面积分别为A1、A2、An。 根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：nizziII1)(惯性矩的组合公式 87CCybyxax 以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图0CxCyASAbbSIAbbyyAbyAyIxCxCCACACAx222222 d)2( d
21、)( dAbIIxCx2dAxyyxabCxCyC三、平行轴定理三、平行轴定理88图所示为图所示为T T字形截面，求截面对形心轴字形截面，求截面对形心轴zCzC的惯性矩的惯性矩IzIz。20204060COyyCZZC212211AAyAyAyccCmm2280020040800101200解：（解：（1 1）确定界面形心）确定界面形心C C的位置的位置建立坐标系建立坐标系Oyz,Oyz,将截面分为两个矩形将截面分为两个矩形、， 其面积及各自的形心纵坐标分别为：其面积及各自的形心纵坐标分别为：A A1 1606020201200mm1200mm2 2y yC1C120/220/21010mmm
22、mA A2 2=40=402020800 mm800 mm2 2y yC2C240/240/2202040mm40mm由形心计算公式，组合截面形心由形心计算公式，组合截面形心C C的纵坐标为的纵坐标为8920204060COyyCZZC)()(zCzCzCIII44231028.21206022022122060)(mmIzC 44231059.3620402240124020)(mmIzc441087.57)()(mmIIIzCzCzC（2 2）求截面对形心轴）求截面对形心轴z zC C的惯性矩的惯性矩I Iz z根据组合根据组合公式有：公式有：由平移轴公式有：由平移轴公式有：故有：故有：9
23、0一、惯性矩：一、惯性矩：(与转动惯量类似）与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。 AyAxAxIAyIdd22dAxyyx二、极惯性矩：二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。yxAIIAId22 2 惯性矩和平行移轴公式惯性矩和平行移轴公式91一、平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）CCybyxax以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图0CxCyASAbbSIAbbyyAbyAyIxCxCCACACAx222222 d)2( d)( dAbIIxCx2dAxyyxabCxCyC92注意注意: C点必须为形心点必须为形心AbIIxCx2AaIIyCy
24、293求图示圆对其切线AB的惯性矩。解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分；B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyO941.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttmax,ccmax,3.变截面梁要综合考虑 与MzI zWMmaxmax4. 8 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件MIZ95长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度=215MPa。m5 . 0m2mkNq30AB
25、kNFA9 .46kNFB1 .28159 .311 .28kNkNm75. 316.13 maxMWZ32 .61 cm查表N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm396已知已知：T形截面铸形截面铸铁梁铁梁，t= 30 MPa，c=160 MPa。Iz=763cm4, 且且 |y1|=52mm。解解：求求：校核梁的强度。校核梁的强度。 (1) 求弯矩图求弯矩图u 支反力支反力kN,5 . 2ARkN5 .10BRu 作出弯矩图作出弯矩图97(1) 求弯矩图求弯矩图u 支反力支反力kN,5 . 2ARkN5 .10BRu 作出弯矩图作出弯矩图最大正弯矩为最大正弯矩为:mkN5 . 2CM最大负
26、弯矩为最大负弯矩为:mkN4BM(2) 确定危确定危险截面险截面u B截面截面u C截面截面98(2) 确定危确定危险截面险截面u B截面截面u C截面截面最大正弯矩为最大正弯矩为:mkN5 . 2CM最大负弯矩为最大负弯矩为:mkN4BM(3) 强度校核强度校核u B截面截面zBtIyM11MMPa2 .27MPa30tzBcIyM21MPa2 .46MPa160c99(3) 强度校核强度校核u B截面截面zBtIyM11MMPa2 .27zBcIyM21MPa2 .46u C截面截面zCtIyM22MPa8 .28显然，显然， 2c 1cMPa30tMl 结论结论 满足强度要求。满足强度要
27、求。100梁的梁的强度条件强度条件l 强度条件强度条件弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：正应力最大处，切应力为零，是正应力最大处，切应力为零，是单向拉压单向拉压状态；状态；切应力最大处，正应力为零，是切应力最大处，正应力为零，是纯剪切纯剪切状态。状态。1014. 9 提高梁的弯曲强度的措施提高梁的弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力强度为：弯曲正应力强度为：1 减小最大弯矩减小最大弯矩从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩弯矩Mmax和提高抗弯
28、截面系数和提高抗弯截面系数W。(1) 合理布置支座的位置合理布置支座的位置WMmaxmax1021 减小最大弯矩减小最大弯矩(1) 合理布置支座的位置合理布置支座的位置103u 工程例子工程例子(2) 合理布置载荷合理布置载荷104(2) 合理布置载荷合理布置载荷1052 提高抗弯截面系数提高抗弯截面系数在截面积在截面积A相同的条件下，提高抗弯截面系数。相同的条件下，提高抗弯截面系数。u 矩形截面梁的放置矩形截面梁的放置u 几种常用截面的比较几种常用截面的比较用比值用比值来衡量来衡量AW106u 几种常用截面的比较几种常用截面的比较用比值用比值AW来衡量来衡量可看出：材料远离中性轴的截面可看出
29、：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、环形、槽形、工字形等工字形等)比较经济合理。比较经济合理。107可看出：材料远离中性轴的截面可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、环形、槽形、工字形等工字形等)比较经济合理。比较经济合理。u 根据根据材料特性材料特性选择合理截面选择合理截面108u 根据根据材料特性材料特性选择合理截面选择合理截面F 抗拉和抗压强度抗拉和抗压强度相等相等的材料的材料可采用关于中性轴上下对称的截面，如：可采用关于中性轴上下对称的截面，如：矩形、工字形、圆形等。矩形、工字形、圆形等。F 抗拉和抗压强度抗拉和抗压强度不相等不相等的材料的材料可采用中性轴偏于受拉一侧的截面，如：可
30、采用中性轴偏于受拉一侧的截面，如：109上次例上次例 1已知已知：T形截面铸形截面铸铁梁铁梁，t= 30 MPa，c=160 MPa。Iz=763cm4, 且|y1|=52mm。 求求：校核梁的强度。校核梁的强度。 问题问题：T形截面是否放反了？形截面是否放反了？没放反。没放反。Mmax是是负的。负的。1103 等强度梁的概念等强度梁的概念对如图的简支梁对如图的简支梁:l 等强度梁等强度梁这就是等强度梁的抗弯截面系数应满足的关系。这就是等强度梁的抗弯截面系数应满足的关系。)()(maxxWxM只有中点处的截只有中点处的截面上达到最大正面上达到最大正应力。应力。)()(xMxWl 中点受集中力作
31、用的简支等强度梁中点受集中力作用的简支等强度梁111l 中点受集中力作用的简支等强度梁中点受集中力作用的简支等强度梁弯矩方程为弯矩方程为:PxxM21)()20(lx横截面采用横截面采用矩形截面矩形截面(1) 高度为常数高度为常数h，确定宽度，确定宽度 b = b(x)()(xMxW21Px6)(2hxbxhPxb23)(112(1) 高度为常数高度为常数h，确定宽度，确定宽度 b = b(x)()(xMxW21Px6)(2hxbxhPxb23)(u 根据剪切强度设计根据剪切强度设计最小宽度最小宽度113u 根据剪切强度设计根据剪切强度设计最小宽度最小宽度剪力剪力2PQAQ23maxhbPmin2/2343minhPb114(2) 宽度为常数宽度为常数b，确定高度，确定高度 h = h(x),3)(xbPxh同理可得同理可得43minbPh115鱼腹梁鱼腹梁116叠板弹簧叠板弹簧117l 机械上常用的机械上常用的等强度轴等强度轴