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1、多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系3.6曲率在在3.4节中节中, 我们研究了平面曲线的弯曲方向（凸我们研究了平面曲线的弯曲方向（凸或凹）而没有考虑弯曲程度，本节我们将研究或凹）而没有考虑弯曲程度，本节我们将研究表示表示曲线弯曲程度的量曲线弯曲程度的量曲率曲率曲率在研究物体运动及机械运动时，有很重要的曲率在研究物体运动及机械运动时，有很重要的应用价值应用价值如火车铁轨由直道转入如火车铁轨由直道转入圆弧形弯道之前，需要在圆弧形弯道之前，需要在直道线路的末端处接上一直道线路的末端处接上一段适当的曲线铁轨，以使段适当的曲线铁轨，以使火车转弯时能平稳行驶火车转弯时能平稳行
2、驶一、一、弧微分弧微分( )yf xAx如图如图3.6，在函数，在函数曲线上取定点曲线上取定点作为作为增大的方向为弧的正向，增大的方向为弧的正向， 度量弧长的起点，并规定依度量弧长的起点，并规定依,M x yAM设设为曲线上任一点，为曲线上任一点，s表示曲线表示曲线弧长弧长 NRTA0 xMxxx xyo,M x ys显然，弧长显然，弧长是由是由确定的，确定的， ( )SS x，因此，因此，sx是是的函数，记为的函数，记为( )f xs.ds下面我们用函数下面我们用函数表示弧长表示弧长的微分的微分NRTA0 xMxxx xyoxxxdx （），yRN ，sMN，给定给定的增量的增量相应增量相应
3、增量有增量有增量由导数的定义由导数的定义0limxMNMNdssdx0limxsx0limxMNxMNxlimMNMNMN22MNxy ，因为因为 又因为又因为0limxMNMN1 ，所以所以21y0limxMNx20lim1xyxNRTA0 xMxxx xyo故故0limxMNMNMNxdssdx 0limxsx0limxMNx21y0limxMNx220limxxyx 211y 即即 ds 21y dx22dxdy(3.8) f x.ds(3.8)式称为函数式称为函数s表示弧长表示弧长的弧微分的弧微分cosyx21sin xdx例例1 求余弦函数求余弦函数解解 由弧微分公式由弧微分公式的弧
4、微分的弧微分ds21y dx二、曲率的概念及计算公式二、曲率的概念及计算公式我们可以直观地观察到直线不弯曲，圆的半径越大我们可以直观地观察到直线不弯曲，圆的半径越大弯曲程度越小，曲线在不同部分弯曲程度不一样，圆弯曲程度越小，曲线在不同部分弯曲程度不一样，圆锥曲线靠近顶点的部分要比其他部分弯曲程度大锥曲线靠近顶点的部分要比其他部分弯曲程度大在工程技术中，设计曲线构件时对它们的弯曲程在工程技术中，设计曲线构件时对它们的弯曲程度要有一定限制，因此，需要定量研究曲线的弯曲程度要有一定限制，因此，需要定量研究曲线的弯曲程度度s ，MMT，MNMTNNP，1 ，MNMN2 ，21. 设曲线上一弧度的长为设
5、曲线上一弧度的长为在在点作曲线点作曲线当点沿当点沿变到点变到点时，切线时，切线相应变成相应变成点切线点切线记切线转过角度为记切线转过角度为而对于与而对于与同样弧长的弧同样弧长的弧(如图如图3.8)，它比，它比弧弯曲程度大，其弧弯曲程度大，其显然显然切线切线切线转过角度为切线转过角度为如图如图3.7, )MNPTOyx图图3.83.82 )yxoN图图3.73.7TP1 M由此，我们有结论：由此，我们有结论：当弧长相等时，转角越大，当弧长相等时，转角越大，曲线的弯曲程度就越大曲线的弯曲程度就越大.可见可见曲线弯曲程度与转角有关曲线弯曲程度与转角有关MMNN 但另一方面，若两端弧但另一方面，若两端
6、弧与与转角相同都是转角相同都是那么曲线弯曲程度与弧线长短成反比那么曲线弯曲程度与弧线长短成反比, (如图如图3.9), 因此，我们又有结论：因此，我们又有结论：当转角不变时，弧长越长，曲当转角不变时，弧长越长，曲线的弯曲程度越小，可见曲线弯曲程度还与弧长有关线的弯曲程度越小，可见曲线弯曲程度还与弧长有关 MM 1S 2S NN )以上研究，可以看出，确定以上研究，可以看出，确定曲线的弯曲程度时，必须同曲线的弯曲程度时，必须同时考虑弧段的长度和切线的时考虑弧段的长度和切线的转角两个因素转角两个因素下面我们引入曲率的概念下面我们引入曲率的概念如图如图3.7，设曲线是光滑的（每点有切线，切线随切，设
7、曲线是光滑的（每点有切线，切线随切点连续移动），点连续移动），C( , )M x y( )s x ，设曲线设曲线上点上点对应弧对应弧 M ，N在点在点处切线的倾角为处切线的倾角为曲线上另外一点曲线上另外一点对应对应于弧于弧 ( )s xs ()s xx ，N ，在点在点处切线的倾角为处切线的倾角为MNSN则弧段则弧段长度长度与动点移动到与动点移动到切线转过的角度切线转过的角度 时时 MN的的的的比值称为弧段比值称为弧段平均弯曲程度平均弯曲程度.)MyxoN图图3.73.7TP1 定义定义MNk，ks 弧段弧段的平均曲率，记作的平均曲率，记作即即0s NMCMk0limsdksds 当当时（即时
8、（即时），上述平均曲率时），上述平均曲率在点在点处的曲率处的曲率, 记作记作，即，即的极限称为曲线的极限称为曲线例例2 求半径为求半径为R的圆的曲率的圆的曲率ABOR AB ，ssR sR 0limsks 解解 如图如图,弧弧 长度为长度为于是于是利用曲率的定义计算曲线的曲率是比较困难的，下面研利用曲率的定义计算曲线的曲率是比较困难的，下面研究曲率的计算公式究曲率的计算公式( )yf x1dsy dx设设二阶可导二阶可导, 前面我们已求出前面我们已求出下面我们求下面我们求.d ( )yf xtany 由由导数的几何意义知导数的几何意义知， tany x2secdydx 将将两边对两边对求导，得
9、求导，得,则则 ddx 21yddxy 1dsy dx于是于是，再由，再由,知知322(1)ydkdsy (3.9)(3.9)式就是曲率计算公式式就是曲率计算公式2secy 21tany 21yy2(0)yaxa(0,0)(1, )a例例3 求抛物线求抛物线在在点与点与点处的曲率点处的曲率2,yax 2ya ，2(0)yaxa, x y解解抛物线抛物线上任意点上任意点处曲率为处曲率为322(1)yky32222(14)aa x2(0)yaxa(0,0)2ka；故抛物线故抛物线在点在点处处(1, )ak3222(14)aa2 . a在点在点处处 例例3说明抛物线说明抛物线2yax在顶点处曲率最大
10、在顶点处曲率最大三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径( )yf x( , )M x y如图如图3.11, 的曲线在点的曲线在点曲率为曲率为 处处(0)k k ，MO，1OMRk，ORM 在曲线凹向的一侧过在曲线凹向的一侧过点该曲线的点该曲线的使使以以为圆心，为圆心，为半径的圆称为曲线在点为半径的圆称为曲线在点处的处的曲率圆曲率圆 法线上取一点法线上取一点以以)(xfy Mk1 xyoOOM曲率圆的圆心曲率圆的圆心叫曲线在点叫曲线在点处的处的曲率中心曲率中心， RM把曲率圆的半径把曲率圆的半径曲线在点曲线在点处的处的曲率半径曲率半径 称为称为设函数设函数这样我们有这样我们有3221(1)yR
11、ky(3.10)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点的曲率互曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点的曲率互为倒数为倒数.曲率半径越大，曲率越小，反之曲率越小，曲率曲率半径越大，曲率越小，反之曲率越小，曲率半径越大半径越大例例4 设工件内表面的截线为抛物线设工件内表面的截线为抛物线20.4yx现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才（如图（如图3.12），），比较合适？比较合适？分析：分析：为了在磨削时，砂轮与工件接触处附近的部分为了在磨削时，砂轮与工件接触处附近的部分不受磨损，不受磨损，砂轮半径必须小于抛物线上各砂轮半径必须小于抛物线上各点的曲率半
12、径，即要小于抛物点的曲率半径，即要小于抛物线各点曲率半径最小值线各点曲率半径最小值例例4 设工件内表面的截线为抛物线设工件内表面的截线为抛物线20.4yx现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才（如图（如图3.12），），比较合适？比较合适？分析：分析：为了在磨削时，砂轮与工件接触处附近的部分为了在磨削时，砂轮与工件接触处附近的部分不受磨损，不受磨损，砂轮半径必须小于抛物线上各砂轮半径必须小于抛物线上各点的曲率半径，即要小于抛物点的曲率半径，即要小于抛物线各点曲率半径最小值线各点曲率半径最小值例例4 设工件内表面的截线为抛物线设工件内表面的截
13、线为抛物线20.4yx砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？解：解：由例由例3知抛物线在顶点处曲率半径最小知抛物线在顶点处曲率半径最小对抛物线对抛物线20.4，yx0.8yx ，0.8y ，00 xy ，00.8xy，20.4yx在顶点在顶点(0,0)处的曲率半径为处的曲率半径为 R322(1)yy11.250.8现在要用现在要用所以所以, 用直径不超过用直径不超过1.2522.50单位长的砂轮比较适合单位长的砂轮比较适合问题讨论：问题讨论：1椭圆椭圆2cos ,3sin (02 )xt ytt 上哪一点处曲率最大？上哪一点处曲率最大？2曲率与曲率半径有何关系？曲率与曲率半径有何关系？本节引入了弧微分、曲率，曲率圆与曲率半径本节引入了弧微分、曲率，曲率圆与曲率半径的概念，推得了计算曲率和曲率半径的公式：的概念，推得了计算曲率和曲率半径的公式：3221.(1)ykRy