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1、第12讲函数与方程,1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.,1.函数的零点(1)方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有_,函数yf(x)有零点.,交点,(2)如果函数yf(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，且有f(a)f(b)_0，那么函数yf(x)在区间(a，b)上有零点.一般把这一结论称为零点存在性定理.,2.二分法,如果函数yf(x)在区间m，n上的图象是一条连续不断的曲线，且f(m)f(n)0，通过不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端
2、点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,1.如图2-12-1所示的是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)零,点的区间是(,),B,图2-12-1,A.2.1，1C.4.1,5,B.1.9,2.3D.5,6.1,2.为了求函数f(x)2x3x7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值如下表：,则方程2x3x7的近似解(精确到0.1)可取为(,),A.1.32,B.1.49,C.1.4,D.1.3,C,3.(2017年山东济南历城区统测)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上不间断，由表知函数yf(x
3、)g(x)在下列区间内一定有,零点的是(,),A.(1,0),B.(0,1),C.(1,2),D.(2,3),解析：当x1时，f(1)g(1)0；当x0时，f(0)g(0)0；当x1时，f(1)g(1)0；当x2时，f(2)g(2)0；当x3时，f(3)g(3)0，,且函数f(x)与g(x)的图象在R上不间断，,由零点存在性定理可得，函数y在(0,1)内存在零点.故选B.,答案：B,包含f(x)的零点的区间是(A.(0,1)C.(2,4),)B.(1,2)D.(4，),C,考点1,函数零点的判定,例1：(1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(x,),c)(xc)(xa)的两个零
4、点分别位于区间(A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内,解析：f(a)(ab)(ac)0；f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.故选A.,答案：A,为_.,图D15,答案：2,解析：方法一，由f2(x)5f(x)40，得f(x)1或4.若f(x)1，当x0时，即5|x1|11,5|x1|2，解得x1log52；当x0时，即x24x30，解得x1或3.若f(x)4，当x0时，5|x1|14，|x1|1，解得x0或2；当x0时
5、，即x24x0，解得x4.故所求实根个数共有7个.故选D.,图D16,方法二，由f2(x)5f(x)40，得f(x)1或4.作出f(x)的图象如图D16.由f(x)的图象，可知f(x)1有4个根，f(x)4有3个根.方程f2(x)5f(x)40有7个根.故选D.,答案：D,【规律方法】判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下三种方法：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上如第(3)题；利用函数零点的存在性定理进行判断如第(1)题；通过函数图象，观察图象给定区间上的交点来判断如第(2)题.,考点2根据函数零点的存在情况，求参数的值,答案：C,解析：g(x)f(x
6、)xa0，得f(x)xa.若g(x)存在2个零点，即直线yxa与f(x)的图象有2个交点.如图D17，实数a的取值范围是a1，a1.,图D17,答案：C,考点3,二分法的应用,例3：已知函数f(x)lnx2x6.(1)求证：函数f(x)在其定义域上是增函数；(2)求证：函数f(x)有且只有一个零点；,(1)证明：函数f(x)的定义域为(0，)，设x1x2，则lnx1lnx2,2x12x2.lnx12x16lnx22x26.f(x1)f(x2).f(x)在(0，)上是增函数.,【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方,法，它只能用来求函数的变号零点；,(2)给定精度，用二分法求函数
7、yf(x)的零点近似值的步骤,如下：,确定区间m，n，验证f(m)f(n)0，给定精度；求区间m，n的中点x1；,计算f(x1)：)若f(x1)0，则x1就是函数yf(x)的零点；)若f(m)f(x1)0，则令nx1此时零点x0(m，x1)；)若f(x1)f(n)0，则令mx1此时零点x0(x1，n)；,判断是否达到精度：若|mn|，则得到零点近似值,m(或n)；否则重复步骤.,【互动探究】,答案：A,思想与方法运用函数与方程的思想判断方程根的分布,例题：已知当x(1，)时，关于x的方程,xlnx(2k)xk,1有唯一实数解，则k值所在的范围是(,),A.(3,4)C.(5,6),B.(4,5)D.(6,7),答案：B,【互动探究】,答案：D,