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1、第4讲,函数的奇偶性与周期性,1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.,1.函数的奇偶性,y轴,2.函数的周期性,对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.,1.(2014年新课标)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对,称，f(3)3，则f(1)_.,3,2.(2017年新课标)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，,当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.,12,3.(2018年新课标)下列函数中，其图象与函数ylnx的,图象关于
2、直线x1对称的是(,),B,A.yln(1x)C.yln(1x),B.yln(2x)D.yln(2x),4.已知R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)log2(1x)，,则ff(1)(,),C,A.1,B.2,C.1,D.2,考点1,判断函数的奇偶性,例1：(1)(2014年新课标)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是,(,)A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数,解析：依题意，得对任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(
3、x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A错误；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错误；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错误.故选C.,答案：C,(2)(2015年北京)下列函数中为偶函数的是(,),A.yx2sinxC.y|lnx|,B.yx2cosxD.y2x,答案：B,(3)(2015年湖南)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)
4、是,(,),A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：显然，f(x)的定义域为(1,1)，关于原点对称.又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，f(x)为奇函数.显然，f(x)在(0,1)上单调递增.故选A.答案：A,答案：A,【规律方法】判断函数奇偶性的方法：定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断，即若有f(x),图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇,偶性的判断常用图象法；,复合函数
5、奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”；,抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，,通过合理、灵活的变形配凑来判断.,【互动探究】1.(2016年广东肇庆三模)在函数yxcosx，yexx2，y,),lg，yxsinx中，偶函数的个数是(A.3个B.2个C.1个D.0个,B,解析：yxcosx是奇函数，ylg和yxsinx是偶函数，yexx2是非奇非偶函数.故选B.,考点2,根据函数的奇偶性求参数的值(范围),例2：(1)(2015年新课标)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.答案：1,(2)(
6、2014年湖南)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.,答案：,32,x(2x1)(xa),为奇,(3)(2017年浙江金华模拟)若函数f(x)函数，则a(),A.,12,B.,23,C.,34,D.1,答案：A,【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常用待定系数法：先利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.,方法四，根据奇函数的特点及定义域求解：,考点3,函数奇偶性与周期性的综合应用,例3：(1)(2017年山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.解析：由f
7、(x4)f(x2)，得T6,f(919)f(15361)f(1)f(1)6(1)6.答案：6,(2)(2018年新课标)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3),f(50)(,),A.50,B.0,C.2,D.50,解析：f(1x)f(1x)f(2x)f(x)f(2x)f(x)f(x)f(x4)f(x)，f(x)是定义域为(，)的奇函数，f(0)0，f(1)2，f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2，f(4)0，f(1)f(2)f(3)f(4)0.则f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)f(2)2.答案：C,所以g(x
8、)g(x).所以g(x)为奇函数.由f(a)g(a)14，得g(a)3，,则f(a)g(a)1g(a)1312.答案：2,【规律方法】本题考查函数的奇偶性与周期性，属于基础题.在涉及函数求值问题中，可利用周期性f(x)f(xT)，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间，再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可.,【互动探究】,2,难点突破函数对称性质的判断及应用,A.1个,B.2个,C.3个,D.4个,解析：f(x)f(x)，故不正确；,f(x)f(x)3，f(x)的图象关于点,对称，g(x)图象也,关于点,对称，所以f(x)与g(x)有相同的对称中心，故正,确；,因为f(x)与g(x)有相同的对称中心,，所以函数yf(x),与yg(x)的图象交点的横坐标之和为0，故正确；,答案：C,【互动探究】,答案：2m,