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1、精品名师归纳总结（2021.05.22）经济数学基础复习指导（文本）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 懂得函数概念。第一部 微分学第 1 章 函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结懂得函数概念时，要把握函数的两要素定义域和对应关系，这要解决下面四个方面的问题：（ 1）把握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范畴。同学要把握常见函数的自变量的变化范畴，如分式的分母不为 0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1求函数 yln x21) 的定义域
2、。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ln x1 的定义域是 x1， 2x 的定义域是 x2 ，但由于2x 在分母上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 x2 。故函数 yln x21 的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即1x2。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x（ 2）懂得函数的对应关系f 的含义： f 表示当自变量取值为x 时，因变量 y 的取值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 f x 。例如，对于函数222yf xx2ln2ln x2 ， f 表示运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是，f 1
3、12ln 1213， f 22ln 228ln 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2设f xx1 ，求f f x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于f xx1 ，说明 f 表示运算： 1 ，因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f f x1 f x11 f x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再将 f xx1代入，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f f x1 = x12x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）会判定两函数是否相同。从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定
4、义域相同，对应规章相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。例 3 以下函数中，哪两个函数是相等的函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. f xx与 gtt2x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B. f x与 g xx1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 A中的两个函数定义域相同，对应规章也相同，故它们是相等的函数。B 中的两个函数定义域不同，故它们是不相等的函数。（ 4）明白分段函数概念，把握求分段函数定义域和函数值的方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4设f xx1x1xx1，求函数的定义域及1f 2,f 0 。
5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解函数的定义域是, ，f 2211 ,f 0101。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 把握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。判定函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判定，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如 f xf x ，就f x 为偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如 f xf x ，就f x 为奇函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也可以依据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函数仍
6、为奇函数。偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数”的性质来判定。例 5 以下函数中，（）是偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. f xx3 sin xB. f xx31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. f xaxa xD. f xx2 sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解依据偶函数的定义以及奇函数奇函数是偶函数的原就，可以验证A 中x3 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinx 都是奇函数，故它们的乘积f xx3 sin x 是偶函数，因此 A 正确。既然是单项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
7、名师归纳总结题， A 已经正确，那么其它的选项肯定是错误的。故正确选项是A。3. 明白复合函数概念，会对复合函数进行分解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6将复合函数 ycosln 2x1 分解成简洁函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解ycosu, uln v,v2 x1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解读表达式、定义域、主要性质及图形。基本初等函数的解读表达式、定义域、主要性质及图形在微积分中常要用到，肯定要娴熟把握。5. 明白需求
8、、供应、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。6. 会列简洁应用问题的函数表达式。例 7生产某种产品的固定成本为1 万元，每生产一个该产品所需费用为20 元，如该产品出售的单价为30 元，试求：（ 1）生产 q 件该种产品的总成本和平均成本。（ 2）售出 q 件该种产品的总收入。（ 3）如生产的产品都能够售出，就生产q 件该种产品的利润是多少？ 解 （1）生产 x 件该种产品的总成本为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平均成本为CqC q1000010000q20q 。20 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）售出 q 件该种产品的总收入为（ 3）生产 q
9、件该种产品的利润为R x30q 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L qRqCq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 30q1000020q =10q10000 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第 2 章 极限，导数与微分1. 把握求简洁极限的常用方法。求极限的常用方法有（ 1）利用极限的四就运算法就。（ 2）利用两个重要极限。（ 3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量仍是无穷小量）。（ 4）利用连续函数的定义。例 1求以下极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 23x（ 1） lim22sin x1。（ 2） lim2可
10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 xx2x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） lim1x1。（ 4） lim2 x333 x224 x5。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx5 xx3 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（ 1）分解因式，消去零因子，再利用四就运算法就运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22lim x3x2lim x1 x2lim x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2xx2x2 x1 x2x2 x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）
11、利用第一重要极限和四就运算法就运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limsin x1limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1x21x1 x1 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limsin x1lim1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1x1x1 x1112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四就运算法就运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim1x1 = lim 1x1 1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0
12、xx 0x1x1=lim1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= lim1=1x0 x 1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 01x12（ 4）利用教材 P68 的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx2 x 35x33x 2x24x52。3x15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 知道一些与极限有关的概念（ 1）知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等。（ 2）明白无穷小量的概念，明白无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质。（ 3）明白函数在某点连续
13、的概念，知道左连续和右连续的概念，明白“初等函数在定义区间内连续”的结论。会判定函数在某点的连续性，会求函数的间断点。例 2 以下变量中，是无穷小量的为（）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. xsin1 x x0 B.ln x xC.e x x10 D.x x22 x241可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 A中：由于 x是无穷小量。0 时，是无穷小量，sin是有界变量，由定理，xxsin x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 中：由于 x时，ln x，故 lnx x1 不是无穷小量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C中：
14、由于 x10 时，11，故 e xx0 。但是 x0 时，1，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 e x，因此 ex 当 x0 时不是无穷小量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2D 中：由于 x2x41，故当 x x22 时， x22x41x2，24x4不是无穷小量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此正确的选项是B。例 3 当 k（）时，f xx1x 2kx0在 x0 处连续。x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.0B. 1C.2D.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解函数在一点连续必需满意既是左连续又是右连
15、续。由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而左连续f 0011f 0 lim x2kkf 0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故当 k1 时，f x 在 x0 处连续。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正确的选项是D。3懂得导数定义。懂得导数定义时，要解决下面几个问题：（ 1）牢记导数定义的极限表达式。（ 2）会求曲线的切线方程。（ 3）知道可导与连续的关系 可导的函数肯定连续，连续的函数不肯定可导 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 设 f xlnx ，就 limx1f x
16、 x11（）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1B. e 2C. 0D. 不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解假如单看 求极限 limf xlimln x，很难求出结果。但是如联想到ln 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以及导数的定义，即有x1 x1x1 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xlimln xlimln xln 1 ln x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1x1x1 x1x1x1x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故正确的选项是A。可编辑资料 - - -
17、 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 设f x 在 x0 处可导，且f 00 ，就limf x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 不存在B.f 0C.0D. 任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于已知f x 在 x0 处可导，且f 00 ，将f x看成f xf 0 , x 看成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 ，就limf xlimf xf 0 就是f x 在 x0 处的导数，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
18、结limf xf 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x故正确选项是 B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 曲线 yx3x 在点（ 1， 0）处的切线是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. y2 x2 B.y2 x2 C.y2 x2 D.y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 依据导数的几何意义可知，y 1 x3xx 13x 212x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是曲线 yx3x在点（ 1， 0）处的切线斜率，故切线方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y02 x1) ，即 y2
19、x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故正确的选项是A。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 求曲线f xx1在点1,2处的切线方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于 fxx11， f2x1112x x 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，在点1,2 处的切线方程为y21 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即y1 x3 。224. 娴熟把握求导数或微分的方法。详细方法有：（ 1）利用导数（或微分）的基本公式（ 2）利用导数（或微分）的四就运算法就（ 3）利用复合函数微分法（ 4）利用隐函数求导法就例
20、 8求以下导数或微分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）设 y13x5，求 y 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 ycosx2,yxe求 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）设函数 yy x 由方程 exy2x1确定，求 y 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）设 yxx12 x,求 dy 。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（1）这是一个复合函数1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y利用复合函数求导数u 2 ,u3x5333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
21、总结y1 u22 3x53 u 223 3x25 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=（ 2）这是由两个复合函数相减构成的函数，先用导数的减法法就，再分别用复合函数求导法就求导。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ycosxe x2 sinxxe x 2 x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=sinx12xe x2 2x2xe xsinx2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） 两边对 x 求导得：2exy y 22xyy 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得 y（ 4） y1e 2xy xxxy2y
22、 2 133 x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dyy dx33 x 222x2 2x121 2dx2x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9已知 y= x sinx ，就y （）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 1B.1C.D.22解利用导数的公式和导数的乘法法就运算：ysin xxcos x ,y2 cos xx sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 22 cosxx sin x x22可编辑资料 - - -
23、欢迎下载精品名师归纳总结故正确的选项是D。第 3 章 导数的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 把握函数单调性的判别方法，把握极值点的判别方法，会求函数的极值。通常的方法是利用一阶导数的符号判定单调性，也可以利用已知的基本初等函数的单调性判定。例 1 在指定区间 10，10 内，函数 y（）是单调增加的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. sin xB. e xC. x2D. ln x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的把握情形。因它们都是比较简洁的函数，从图形上就比较简洁看出它们的单调性。可编
24、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 中 sin增加函数。x 是正弦函数，它的图形在指定区间 10， 10 内是波浪形的，因此不是单调可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 中 e是指数函数， ex2x = ex1 或 x f 1 ，所以点 x = 1 是函数应当填写 1 。f xx12 的最小值点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）明白边际概念和需求价格弹性概念。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 已知需求函数为 q32p ，就需求弹性E p =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精
25、品名师归纳总结解 由于q所以应当填写1，且 E p = pqpqpp32p1 pp 32p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 已知需求函数q p1000.4 p2p，当10 时，需求弹性为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 44 p2ln 2B. 4 ln 2C - 4 ln 2D - 44 p2ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 由于q p1002 0. 4 p 100 0.4 ln 22 0.4 p40 ln 20.4 p2，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
26、总结pE p =q q100p2 0.4 p 40 ln 22 0.4 p 0.4 ln 2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E100.4 ln 2104 ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故正确选项是 C 3娴熟把握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等），会求几何问题中的最值问题。把握求边际函数的方法，会运算需求弹性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 设生产某种产品 q 台时的成本Cq1000.25q 26q （万元），试求（ 1）当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q 10 时的总成本，平均
27、成本和边际成本。（2）当产量 q 为多少时，平均成本最小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 （1）当 q10 时的总成本C101000.2510 2610185（万元）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 q10 时的平均成本C10C 10 01018.5 （万元 / 台）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 q10 时的边际成本C q0.5q6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 100.510611（ 2）这是一个求最值的问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C qC q100q 2C qq 0.25100q0.2
28、5q6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 C q0 ，求得 q20 。由于有意义的驻点唯独，且平均成本存在着最小大值，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当产量为 20 台时，可使平均成本达到最小大。例 8 设某产品的成本函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cq0.01q24q20 （元）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 q 是产量，单位：件。单位销售价格为利润达到最大。最大利润是多少？p140.01q （元 /件）问产量为多少时可使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
29、总结解 由于 LRC ，且 Rpq140.01qq14q0.01q 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以LR10qC14q 0.02q20.01q2200.01 q 24920可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L100.04q令 L0 ，解得 q250 （件）因唯独驻点唯独，故q=250 件是所求的最大值点。当产量为250 件时，利润最大。最大利润为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L 250102500.02 2502201230（元）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9 生产某种产品的固定费用是1000 万元 ,每多生产 1
30、台该种产品，其成本增加10 万元，又知对该产品的需求为q=120- 2p其中 q 是产销量，单位：台。p 是价格 ,单位 :万元 . 求(1) 使该产品利润最大的产量。(2) 该产品的边际收入.解（ 1）设总成本函数为Cq，收入函数为 Rq，利润函数为Lq，于是C q=10 q+1000 万元 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rq=qp= 60q1 q 22万元 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L q R q-C q= 50qq21000 万元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L q 50q0 得到 q=50 台。由于驻点唯独，故q 50 台是所求最小值点。即生产50 台的该种产品能获最大利润。122 因 Rq= 60qq ，故边际收入R q=60 q万元/台 。2其次部 一元函数积分学第 1 章 不定积分1. 懂得原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题：（ 1）什么是原函数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数数。F x 的导数等于f