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1、精品名师归纳总结直线与方程学问点总结一、直线基本学问1、直线的倾斜角与斜率（1） 直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：. 与 x 轴相交;.x 轴正向;. 直线向上方向 . 直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为 00 . 倾斜角的范畴 001800 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结090 , k0 。90180 ,k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为90 0的直线斜率不存在。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经过两点P
2、x, y , P x, y （ xx ）的直线的斜率公式是 ky2y1 （ xx ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11122212x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定（1） 两条直线平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于两条不重合的直线l1,l 2,其斜率分别为k1, k2 ,就有l1 / /l 2k1k2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的,当直线l1,l 2的斜率都不存在时,l1与l 2
3、的关系为平行。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 两条直线垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如两条直线l1,l 2 斜率存在,设为k1, k2 ,就 l1l 2k1 k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：两条直线 l1,l2 垂直的充要条件是斜率之积为 -1 ,这句话不正确。由两直线的斜率之积为 -1 ,可以得出两直线垂直, 反过来, 两直线垂直, 斜率之积不肯定为 -1 。假如 l1, l2 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时, l1与l2 相互垂直。二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性可
4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点斜式yy1k xx1 x1,y1 为直线上肯定点,不包括垂直于 x 轴的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结斜截式ykxbk 为斜率k 为斜率, b 是直线在y轴上的截距不包括垂直于 x 轴的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两点式yy1xx1 x1, y1, x2, y2 是直 线 上不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2y1x2x1两定点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
5、下载精品名师归纳总结其中 x1x2, y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结截距式xy1aba 是直线在 x 轴上的非零截距, b 是直线在 y 轴上的非零截距不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般式AxByC0A , B , C 为系数无限制,可表示任何位置的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 A, B不同时为 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：过两点P1 x1,y1 , P2 x2 ,y2 的直线是否肯定可用两点式方程表示？
6、（不肯定。 （1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x1x2且y1y2 ,直线垂直于 x 轴,方程为 xx1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）如 x1x2且y1y2 ,直线垂直于 y 轴,方程为 yy1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）（ 3）如 x1x2且y1y2 ,直线方程可用两点式表示）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2
7、、线段的中点坐标公式xx1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如两点P1 x1,y1, P2 x2 , y2 ,且线段P1, P2的中点 M 的坐标为x, y ,就y2y1y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.过定点的直线系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结斜率为 k 且过定点 x0 , y0 的直线系方程为 yy0kxx0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 过 两 条 直 线l1 :A1xB1 yC10 ,l2: A2xB2yC20 的交 点 的 直 线系 方程 为可编辑资料
8、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1xB1 yC1 A2xB2 yC2 0 （ 为参数）,其中直线 l 2 不在直线系中 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、直线的交点坐标与距离公式1. 两条直线的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设两条直线的方程是l1 :A1xB1 yC10 ,l2: A2 xB2 yC20 两条直线的交点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就是方程组A1x A2 xB1 yC1B2 yC20的解,0可编辑资料 - - -
9、 欢迎下载精品名师归纳总结如方程组有唯独解,就这两条直线相交,此解就是交点的坐标。如方程组无解,就两条直线无公共点,此时两条直线平行。反之,亦成立。2. 几种距离（1） 两点间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面上的两点P x, y , P x, y 间的距离公式 P P xx 2 yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112221 22121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的,原点O0,0 与任一点Px, y 的距离 OPx2y 2可编
10、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 点到直线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点P x, y 到直线l : AxByC0 的距离 dAx0By0C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00A2B2（3） 两条平行线间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两条平行线（留意：l1 : AxByC10 ,l 2: AxByC 20 间的距离 dC2C1A2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式。 求两条平行线间的距离时,必需将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式运算。）补
11、充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角（2）已知斜率 k 的范畴,求倾斜角的范畴时,如 k 为正数,就的范畴为 0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的子集,且 k=tan为增函数。 如 k 为负数,就的范畴为 2, 的子集, 且 k=tan为增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数。如 k 的范畴有正有负,就可所范畴按大于等于0 或小于 0 分为两部分,针对每一部分再依据斜率的增减性求倾斜角范畴。2 、利用斜率证明三点共线的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 Ax1, y1 , B x2, y2 , C x3, y3 , 如 x1x
12、2x3或k ABk AC ,就有 A、B、C 三点共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：斜率变化分成两段,90 0 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需争论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 两条直线位置关系的判定：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 l1 : AxByC10 ,l2: AxByC20 ,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） l1l 2A1A2B1B20（2） l1 /l 2A1B2- A2 B10, A1C 2A2C10;可编辑资料 - - - 欢
13、迎下载精品名师归纳总结（3） l1与l 2重合（4） l1 与 l2 相交A1B2 - A1B2A2B1A2 B10, A1C 20A2C10;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 A2 B2 C20 时,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12l1l2l / lA1A2B1B2A1B11C1 A, B , C不为0）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12A2B2C2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3l 与l 重合A1B1C1 A , B ,C不为 0）可编辑资料 - - -
14、欢迎下载精品名师归纳总结12A2B2C 2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4l 与l 相交A1B1 A, B 不为 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1222A2B24. 有关对称问题常见的对称问题：（1） 中心对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如点M x1, y1 及 N x2, y2 关于P a,b 对称,就由中点坐标公式得x 2ax1y 2by1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线关于点的对称,其主要方法是：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对
15、称点,再利用l1 / l 2 ,由点斜式得到所求直线方程。（2） 轴对称点关于直线的对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如两点P1 x1,y1 与 P2 x2, y2 关于直线l : AxByC0 对称,就线段P1P2 的中点在对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴l 上,而且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l 上,由方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A x1x2 2B y1y2 C02x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2y1A1y2 x2x1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得到点P1关于 l 对称
16、的点P2 的坐标 x2, y2 （其中 A0, x1x2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情形：一是已知直线与对称轴相交。二是已知直线与对称轴平行。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：曲线、直线关于始终线 yxb 对称的解法： y 换 x ,x 换 y .例：曲线f x, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于直线 yx2 对称曲线方程是f y2, x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结曲线 C :f x, y0
17、关于点a,b 的对称曲线方程是f 2ax,2by0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 两条直线的交角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线l 1 到l 2 的角（方向角）。直线l 1 到l 2 的角,是指直线l 1 绕交点依逆时针方向旋转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到与 l重合时所转动的角,它的范畴是0, ,当90 时tank 2k1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1221k k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两条相交直线l 1 与l 2 的夹角：两条相交直线l
18、 1 与l 2 的夹角,是指由l 1 与 l 2相交所成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的四个角中最小的正角,又称为l 1 和l 2 所成的角,它的取值范畴是0,当90 ,就2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 tank 2k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k 1k 26. 直线 l 上一动点 P到两个定点 A、B 的距离“最值问题”：1在直线 l 上求一点 P,使 PAPB 取得最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如点A
19、、B 位于直线 l 的同侧时,作点A （或点 B ）关于 l 的对称点A/ 或 B/ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连接A/B或AB/ 交l于P,就点P即为所求点. 如点 A、B 位于直线的异侧时,连接 AB 交于 l 点 P ,就 P 为所求点。可简记为“同侧对称异侧连” . 即两点位于直线的同侧时,作其中一个点的对称点。两点位于直线的异侧时,直接连接两点即可 .（ 2）在直线 l 上求一点 P 使 PAPB 取得最大值,方法与（ 1）恰好相反,即“异侧对称同侧连” 如点 A、B 位于直线 l 的同侧时,连接 AB交于 l 点P ,就 P 为所求点。可编辑资料 - - -
20、 欢迎下载精品名师归纳总结 如点A、B位于直线的异侧时,作点A （或点 B ）关于 l 的对称点A/ 或 B/ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连接A/B或AB/ 交l于P,就点P即为所求点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322PAPB 的最值：函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴” 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 直线过定点问题： 含有一个未知参数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya1) x2a1ya x2) x1（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 x20x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎
21、下载精品名师归纳总结将 x2代入 1式,得 y3 , 从而该直线过定点 2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 含有两个未知参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3mn xm2 n yn0m3 xynx2 y10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结173xy0x令x2 y1y37可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而该直线必过定点 1 , 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 78. 点到几种特殊直线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 点Px0, y0 到 x 轴的距离 d| y0 | 。可编辑
22、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 点Px0, y0 到 y 轴的距离 d| x0 | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 点Px0, y0 到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d| y0a | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 点Px0, y0 到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d| x0a | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 与已知直线平行的直线系有：可编
23、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）平行于直线 AxByC0的直线可表示为AxByC /0C /C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）平行于直线 ykxb的全部直线为 ykxb / b/b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 易错辨析：（1） 争论斜率的存在性：解题过程中用到斜率,肯定要分类争论：斜率不存在时,是否满意题意。斜率存在时,斜率会有怎样关系。（2） 留意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解。（求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见。 ）（3） 直线到两定点距离相等,有两种情形：直线与两定点所在直线平行。直线过两定点的中点。（求解过某肯定点的直线方程时,较为常见。 ）（4） 过点 Ax0, y0 ,平行于 x 轴的直线方程为 yy0过点 A x0 , y0 ,平行于 y 轴的直线方程为 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载