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1、垂径定理垂径定理BPOACD1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。2.在在同圆或等圆同圆或等圆中，中，如果两个如果两个圆心角圆心角，两条，两条弧弧，两条，两条弦弦中有一组量相等，中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等。那么它们所对应的其余各组都分别相等。圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。3.O1.在圆形纸片上任意画一条直径在圆形纸片上任意画一条直径.2.沿直径将圆形纸片对折沿直径将圆形纸片对折,你发现了你发现了什么？什么？圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？ 想一想想一想它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多
2、少条对称轴？你能找到多少条对称轴？O OACBNMD任意一条任意一条直径直径都都是是圆的圆的对称轴对称轴. .O 圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,过圆心的每一条过圆心的每一条直线直线都是它的对称轴都是它的对称轴. .判断判断如果如果AB是是 O的弦的弦,画画直径直径CDAB于于P,将纸片沿着将纸片沿着CD对折对折, 通过折叠活通过折叠活动动,你发现了什么？你发现了什么？OBAPDC发现：发现：PA=PBAD=BDAC=CB如果如果AB是是 O的弦的弦,画画直径直径CDAB于于P,将纸片沿着将纸片沿着CD对折对折, 通过折叠活通过折叠活动动,你发现了什么？你发现了什么？OBAPDC发现：发现：
3、PA=PBAD=BDAC=CB连接连接OA,OB,OA,OB,则则OA=OB.在在OAB中中, OA=OB ，CDABAP=BP.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.证明：证明：DCBAOP垂径定理垂径定理垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分平分这条这条弦弦,并且平并且平分弦所对的两条分弦所对的两条弧弧.(1)(1)过圆心过圆心(3)(3)平分弦平分弦MODBA(2)(2)垂直于弦垂直于弦(5)(5)平分弦所对的劣弧平分弦
4、所对的劣弧(4)(4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧AM=BM, CD是直径是直径 CDABAC=BC,AD=BD.MODCBA ODAB于于M结论结论：BPOACD在在O O中，中，CDCD是直径是直径, ,CDP,于于AD=BD，AC=BC AP=BP，几何语言：几何语言：垂径定理垂径定理垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分平分这条这条弦弦,并且平并且平分弦所对的两条分弦所对的两条弧弧.PODCBAPODCBAPODCBAPODBA练练1:1.下列图形能用垂径定理的是下列图形能用垂径定理的是_ABCODE2.如图如图,AB是是 O的直径的直径,CD为弦为弦, CDAB于于E,则下列结论中不一
5、定成则下列结论中不一定成立的是立的是( )A.COE=DOE B. CE=DE C. OE=BE D. BD=BC3.如图如图,M为为 O内一点内一点,(1)作一条弦作一条弦AB,使使AB过点过点M且且AM=BM.(2)你能画过点你能画过点M最长的弦吗最长的弦吗?OMAB最短最短4.过过 O内一点内一点M的最长弦长为的最长弦长为10cm,最短弦长为最短弦长为8cm,那么那么OM长为长为_.OMAB5.如图如图, O的直径为的直径为10,弦弦AB长为长为8,P是弦是弦AB上的动点上的动点,则则OP的长的取值的长的取值范围是范围是_.ABOM 如图，如图，O O的直径是的直径是1010，弦，弦 A
6、BAB的长为的长为8 8，P P是是ABAB上的一个动点，上的一个动点，则则OPOP的求值范围是的求值范围是 。使线段使线段OPOP的长度为整数值的的长度为整数值的P P点点位置有位置有 个。个。OBAp1p2PC注意圆的轴对称性注意圆的轴对称性3OP55例例1. 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的两个同心圆中，大圆的弦AB交交小圆于小圆于C，D两点，两点，AC与与BD相等相等吗？为什么？吗？为什么？P.ACDBO练练2:如图，如图，OA=OBOA=OB，ABAB交交O O与点与点C C、D D，ACAC与与BDBD是否相等？为什么？是否相等？为什么？例例
7、2.如图如图,在在 O中中,AB=8cm,圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3cm,求求 O的半径的半径.EABO弦的一半弦的一半半径半径弦心距弦心距弦的一半弦的一半2+弦心距弦心距2=半径半径2例例.如图，已知在圆如图，已知在圆O中，弦中，弦AB的长为的长为8，圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3 ，求圆，求圆O的半径。的半径。变式变式1:在半径为在半径为5 的圆的圆O中，有长中，有长8 的的弦弦AB，求点，求点O与与AB的距离。的距离。E变式变式2：在半径为在半径为5 的圆的圆O中，圆心中，圆心O到到弦弦AB的距离为的距离为3 ，求，求AB的长。的长。OAB例例3. 如图，圆如图，圆O的弦
8、的弦AB8 ，DC2，直径直径CEAB于于D，求，求半径半径OC的长。的长。DCEOAB例例4.在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于D，OD=4 ，弦，弦AC= ，求圆，求圆O的的半径。半径。10DCEOAB例例5某居民区一处圆形下水管道破裂，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道修理人员准备更换一段新管道如图所示，污水水面宽度为如图所示，污水水面宽度为60cm，水，水面至管道顶部距离为面至管道顶部距离为10cm，问修理人，问修理人员应准备半径多大的管道？员应准备半径多大的管道？ABOOBA解：过点作解：过点作，并延长交并延长交 于，连接于，连接222)10(30RR垂径定
9、理和勾股定理相结合，构垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，把圆的问题化归造直角三角形，把圆的问题化归为直线形问题解决为直线形问题解决。 ABO思考思考: 在例在例2 2中中, ,我们已计算出我们已计算出的半径的半径cm,cm,如果水面宽度如果水面宽度由由60cm60cm变为变为80cm,80cm,那么污水面下降那么污水面下降了多少了多少cm?cm?ABOCD两弦在圆心同旁两弦在圆心两旁OFEOFEcm；cmCD作垂径，连半径，构造作垂径，连半径，构造直角三角形直角三角形注意圆的对称性注意圆的对称性1.在半径为在半径为50的的 O中中,弦弦AB=50,计计算算:点点O与与AB的距离的距离;
10、 AOB的的度数度数.OBAP练练3:2.在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内的圆柱形油槽内装入一些油后装入一些油后,截面如图截面如图,若油面宽若油面宽AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。650mm650mmAB600mmOABDC3. 1300年前年前,我国隋朝建造的赵州石拱我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形桥的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弧所对的弦的长弦的长)为为37.4米米,拱高拱高(弧的中点到弦的弧的中点到弦的距离距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2米米,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1米米)ORABDC7.2m37.4m4.在在RtAB
11、C中中C=900,AC=5cm, BC=12cm,以以C为圆心为圆心,CA为半径的为半径的圆交斜边于圆交斜边于D,求求AD.EDCBAF5.在在 O中中,OB=10cm,OE=12cm, E=300,则则AB=_cm.AEOBDEOABCDP6.如图如图,CD为圆为圆O的直径的直径,弦弦AB交交CD于于E,CEA=300,DE=9,CE=3,求弦求弦AB的长的长.OCDABOCDAB7.已知已知 O的直径是的直径是50cm, O的两的两条平行弦条平行弦AB=40cm,CD=48cm,求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。 EFEF20152525247EF有两解：有两解：15+7=22c
12、m , 15-7=8cm10.如图如图,矩形矩形ABCD与与 O交于点交于点A、B、E、F,DE=1,EF=3,则则AB=_.FEDCBAOGH四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是 一种研究数学的重要思想一种研究数学的重要思想 二、垂径定理：二、垂径定理：一、圆是轴对称图形，其对称轴是一、圆是轴对称图形，其对称轴是垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧三、垂径定理和勾股定理相结合，构造三、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半直角三角形，可解决计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题径、圆心到弦的距离等问题任意一任意一条过圆心的直线（或直径所在直线）条过圆心的直线（或直径所在直线）