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1、第一章第一章 计数原理计数原理 1.1 1.1 分类加法计数原理分类加法计数原理 与分步乘法计数原理与分步乘法计数原理高中新课程数学选修高中新课程数学选修2-32-3问题提出问题提出t57301p2 1. 1.按照美国著名经济学家米尔顿按照美国著名经济学家米尔顿弗里德弗里德曼的观点，世界上所有的花钱都可以归结为曼的观点，世界上所有的花钱都可以归结为以下情形：钱可能是自己的，也可能是别人以下情形：钱可能是自己的，也可能是别人的；花钱可能为自己，也可能为别人的；花钱可能为自己，也可能为别人. .据此分据此分析共有多少种不同的花钱方式？析共有多少种不同的花钱方式？4 4种种 2.同时抛掷同时抛掷2枚
2、骰子，点数之和为枚骰子，点数之和为6，则其，则其总的方法数是多少？总的方法数是多少？3 3种种 3.分两次抛掷抛掷1枚骰子，点数之和为枚骰子，点数之和为6，则其，则其总的方法数是多少？总的方法数是多少？5 5种种 4. 4.计数问题是现实生活中最常见的问计数问题是现实生活中最常见的问题，同时也是数学中的重要研究对象之题，同时也是数学中的重要研究对象之一，特别在概率统计领域里，计数问题一，特别在概率统计领域里，计数问题更是解题的基础更是解题的基础. .对于简单的计数问题，对于简单的计数问题，我们可以通过列举法计算，但对于复杂我们可以通过列举法计算，但对于复杂的计数问题，我们希望通过有关计数原的计
3、数问题，我们希望通过有关计数原理来解决理来解决. .因此，在实践中总结、归纳出因此，在实践中总结、归纳出科学的计算原理，具有十分重要的意义科学的计算原理，具有十分重要的意义. .探究（一）：探究（一）：分类加法计数原理分类加法计数原理 思考思考1 1：用一个大写的英文字母或一个阿用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？够编出多少种不同的号码？ 26 2610103636思考思考2 2：从甲地到乙地可以乘火车，也可从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有以乘汽车，一天中火车有4 4班，汽车有班，汽车有8 8
4、班，那么一天中，乘坐这些交通工具从班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 4 48 81212思考思考3 3：从师大声乐系某从师大声乐系某6 6名男生或名男生或8 8名女名女生中任选一人表演独唱，共有多少种不生中任选一人表演独唱，共有多少种不同的选派方法？同的选派方法？思考思考4 4：上述计数问题的算法有何共同特上述计数问题的算法有何共同特点？由此归纳，这类问题的一般计数原点？由此归纳，这类问题的一般计数原理是什么？理是什么？ 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1 1类方案中有类方案中有m种不同的方法，在第种
5、不同的方法，在第2 2类方类方案中有案中有n 种不同的方法，那么完成这件种不同的方法，那么完成这件事共有事共有Nmn种不同的方法种不同的方法. 6 68 81414思考思考5 5：上述原理称为上述原理称为分类加法计数原理，分类加法计数原理，如何从集合运算的角度理解这个原理？如何从集合运算的角度理解这个原理？ 若若ABABU U，ABAB，则，则card(U)card(U)card(A)card(A)card(B).card(B).A AB B思考思考6 6：如果完成一件事有如果完成一件事有n类不同方案，类不同方案，在第在第1 1类方案中有类方案中有m1 1种不同的方法，在种不同的方法，在第第2
6、 2类方案中有类方案中有m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类方案中有类方案中有mn种不同的方法，那种不同的方法，那么完成这件事的方法总数如何计算？么完成这件事的方法总数如何计算？ Nm1 1m2 2mn探究（二）：探究（二）：分类乘法计数原理分类乘法计数原理 思考思考1 1：用用A AF F六个大写的英文字母和六个大写的英文字母和1 19 9九个阿拉伯数字，以九个阿拉伯数字，以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式给教室里的座位编号，总的方式给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？共能够编出多少种不同的号码？ 6 69 954 54 思考思考2 2
7、：从甲地到乙地，先要从甲地乘火从甲地到乙地，先要从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地地. .一天中从甲地到丙地的火车有一天中从甲地到丙地的火车有4 4班，班，从丙地到乙地的汽车有从丙地到乙地的汽车有8 8班，那么两天中，班，那么两天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？少种不同的走法？ 4 48 832 32 思考思考3 3：从师大声乐系某从师大声乐系某6 6名男生和名男生和8 8名女名女生中各选一人表演男女二重唱，共有多生中各选一人表演男女二重唱，共有多少种不同的选派方法？少种不同的选派方法？ 6
8、68 84848思考思考4 4：上述计数问题的算法有何共同特上述计数问题的算法有何共同特点？由此归纳，这类问题的一般计数原点？由此归纳，这类问题的一般计数原理是什么？理是什么？ 完成一件事需要两个步骤，做第完成一件事需要两个步骤，做第1 1步步有有m种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有n 种不同种不同的方法，那么完成这件事共有的方法，那么完成这件事共有N Nmn种不同的方法种不同的方法. . 思考思考5 5：上述原理称为上述原理称为分步乘法计数原理分步乘法计数原理，如何从集合运算的角度理解这个原理？如何从集合运算的角度理解这个原理？ 若若U U(a(a，b)|aAb)|aA，bB
9、bB，则，则card(U)card(U)card(A)card(A)card(B).card(B).思考思考6 6：如果完成一件事需要如果完成一件事需要n n个步骤，个步骤，做第做第1 1步有步有m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m2 2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步有步有mn n种种不同的方法，那么完成这件事的方法总不同的方法，那么完成这件事的方法总数如何计算？数如何计算？ N Nm1 1m2 2mn n理论迁移理论迁移 例例1 1 在填写高考志愿时，一名高中毕在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，业生了解到，A A，B B两所大学各有一些自两所大学
10、各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A A大学：大学：生物学生物学 化学化学 医学医学 物理学物理学 工程学工程学B B大学：大学：数学数学 会计学会计学 信息技术学信息技术学 法学法学如果这名同学只能选一个专业，求他共如果这名同学只能选一个专业，求他共有多少种不同的选择方法？有多少种不同的选择方法？5 54 49 9（种）（种） 例例2 2 某班有男生某班有男生3030名，女生名，女生2424名，现名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参要从中选出男、女生各一名代表班级参加朗诵比赛，求共有多少种不同的选派加朗诵比赛，求共有多少种不同的选派方法？方法？
11、30302424720720（种）（种） 例例3 3 书架有三层，其中第一层放有书架有三层，其中第一层放有4 4本本不同的计算机书，第二层放有不同的计算机书，第二层放有3 3本不同的本不同的文艺书，第三层放有文艺书，第三层放有2 2本不同的体育书本不同的体育书. .（1 1）从书架上任取）从书架上任取1 1本书，有多少种不本书，有多少种不同的取法？同的取法？（2 2）从书架的第一，二，三层各取）从书架的第一，二，三层各取1 1本本书，有多少种不同的取法？书，有多少种不同的取法？(1)4(1)43 32 29 9（种）（种） (2)4(2)43 32 22424（种）（种） 例例4 4 要从甲、
12、乙、丙要从甲、乙、丙3 3幅不同的画中幅不同的画中选出选出2 2幅，分别挂在左、右两边墙上的指幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，求共有多少种不同的挂法？定位置，求共有多少种不同的挂法？3 32 26 6（种）（种） 小结作业小结作业 1. 1.分类加法计数原理和分步乘法计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是解决完成一件事的方法数的原理，都是解决完成一件事的方法数的计数问题，其不同之处在于，前者是针计数问题，其不同之处在于，前者是针对对“分类分类”问题的计数方法，后者是针问题的计数方法，后者是针对对“分步分步”问题的计数方法问题的计数方法. . 2. 2.在在“分类分类”问题中，各类方
13、案中的问题中，各类方案中的每一种方法相互独立，选取任何一种方每一种方法相互独立，选取任何一种方法都能完成这件事；在法都能完成这件事；在“分步分步”问题中，问题中，各步骤中的方法相互依存，只有各步骤各步骤中的方法相互依存，只有各步骤各选一种方法才能完成这件事各选一种方法才能完成这件事. . 3. 3.在应用分类加法计数原理时，分类在应用分类加法计数原理时，分类方法不惟一，但分类不能重复，也不能方法不惟一，但分类不能重复，也不能遗漏遗漏. . 在应用分步乘法计数原理时，分在应用分步乘法计数原理时，分步方法不惟一，但分步不能重叠，也不步方法不惟一，但分步不能重叠，也不能缺少能缺少. .作业：作业：P12P12习题习题1.1A1.1A组：组：1 1，2 2，3 3，4 4，5.5.