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1、精品资料欢迎下载第五节 函数图形的描绘分布图示 引言 渐近线 函数图形描绘的步骤 例 1 例 2 例 3 例 4 内容小结 课堂练习 习题 3-5 内容要点一、 渐近线的概念水平渐近线铅直渐近线斜渐近线；二、 函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系. 在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等. 使得曲线的单调性、 凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来. 本节我们要利用导数描绘函数)(xfy的图形，其一般步骤如下: 第一步确定函数)(xf的定
2、义域 , 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数)( xf; 第二步求出一阶导数)(xf和二阶导数)(xf在函数定义域内的全部零点，并求出函数)( xf的间断点和导数)( xf和)( xf不存在的点 , 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间 ; 第三步确定在这些部分区间内)( xf和)(xf的符号 , 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点; 第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势; 第五步算出)( xf和)(xf的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的
3、交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形. 例题选讲求曲线渐近线例 1 作函数1)(23xxxxf的图形 . 解定义域为),(无奇偶性及周期性. ),1)(13()(xxxf).13(2)(xxf令,0)(xf得,3/1x.1x令,0)(xf得.3/1x列表综合如下 : x31,3131,31311 ,311), 1()(xf+ 0 0 + 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载)(xf+ + )(xf极大值2732拐点2716,31极小值 0 补充点 : )
4、,0, 1(A),1 , 0(B.85,23C综合作出图形. 例 2(E01) 按照以下步骤作出函数10434xxxf的图形 . (1) 求xf和xf; (2) 分别求xf和xf的零点 ; (3) 确定函数的增减性、凹凸性、极值点和拐点; (4) 作出函数10434xxxf的图形 . 解(1) 23124xxxf，xxxf24122. (2) 由012423xxxf，得到0 x和3x. 由024122xxxf，得到0 x和2x. (3) 列表确定函数升降区间、凹凸区间及极值和拐点：x0,02,02 3 ,23 ,3xf- 0 - 0 - 0 + xf+ 0 - 0 + 0 + xf拐点拐点极值
5、点(4) 算出0 x，2x，3x处的函数值100f，62f，173f. 根据以上结论，用平滑曲线连接这些点，就可以描绘函数的图形. 函数作图例 3 (E02) 作函数2)1(4)(2xxxf的图形 . 解,0: xD非奇非偶函数，且无对称性. 510155101511234Oxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载,)2(4)(3xxxf.)3(8)(4xxxf令,0)(xf得;2x令,0)(xf得. 3x)(limxfx2) 1(4lim2xxx,2得水平渐近线;2y)(lim0 xfx2)1(4li
6、m20 xxx,得铅直渐近线.0 x列表综合如下 : x)3,(3)2, 3(2)0,2(0),0()(xf0 + 不存在)(xf0 + + + )(xf拐点9263 ，极值点 -3 间断点补充点 : ),0,31();0,31(),2,1(A),6, 1(B).1 ,2(C作出图形例 4 (E03) 作函数2221)(xex的图形 . 解函数定义域),(且.4.021)(0 x偶函数 ,图形关于y轴对称 . ,2)(22xexx.2)1)(1()(22xexxx令,0)( x得驻点,0 x令, 0)(x得特殊点, 1x. 1x)(limxx2221limxxe,0 得水平渐近线.0y列表确定
7、函数升降区间，凹凸区间及极值点与拐点: x) 1,(1)0, 1(0) 1 , 0(1), 1()(x+ + 0 )(x+ 0 0 + O321211632xyy2x0ABCyxO112122xe22M1M2M3y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载)(x拐点e211 ，极大值21拐点e211 ，综合作出图形课堂练习1.两坐标轴0,0 yx是否都是函数xxxfsin)(的渐近线 ? 2.若函数)(xf有,1)(lim, 0)(limxxfxfxx,)(lim,0)(lim, 2)(lim2xfxxfxxfxxx并 且 当)1 ,0(x时 , 0)(xf, 否 则),2(0)(xxf当)2,2/1(x时, 0)(xf, 否则),0(0)(xxf则(1) 函数)(xf的单调区间 (注明增减 )是._(2) 函数曲线的凹向和拐点是._(3) 当_x时, 函数取得极大值._(4) 函数的渐近线有._精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页