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高二期末考试数学试题
一．选择题（每小题5分，满分６0分）
１.设均为直线,其中在平面的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
２.对于两个命题：
①， ②，
下列判断正确的是（ ）。
A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 C. ① ② 都假 D. ① ② 都真
３.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ）
A. B. C. D.
４.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与,两点，则是正三角形，则椭圆的离心率是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A B C D
５.过抛物线的焦点作倾斜角为直线，直线与抛物线相交与，两点，则弦的长是（ ）
A 8 B 16 C 32 D 64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
６.在同一坐标系中，方程的曲线大致是（ ）
A． B． C． D．
７.已知椭圆(>0) 的两个焦点F1，F2，点在椭圆上，则的面积 最大值一定是（ ）
A B C D
８.已知向量互相垂直,则实数k的值是( )
A．1 B． C． D．
９.在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10.若椭圆交于A，B两点,过原点与线段AB中点的连线的斜率为，则的值是( )
11.过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则的值为 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
12..以=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ）
A. B. C. D.
二．填空题（每小题４分）
13．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：其中x，y是实数，若点M与A、B、C四点共面，则x+y= ___
14．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，则等于___
15．若命题P：“x＞0，”是真命题 ，则实数a的取值范围是___．
16．已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为___．
三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。）
17．（本小题满分14）
设命题：，命题：；
如果“或”为真，“且”为假，求的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
18．（15分）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）
（Ⅰ）求证AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角G-EF-D的大小；
（Ⅲ）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．
19．(15分) 如图，金砂公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪
A
E
y
x
D
C
B
分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（Ⅰ）设AD＝，DE＝，求关于的函数关系式；
（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，我们希望它最短，则DE的位置应在哪里？请予以证明.
20.（15分）设分别为椭圆的左、右两个焦点.
（Ⅰ）若椭圆上的点两点的距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，。
21.（15分）如图，设抛物线C：的焦点为F，为抛物线上的任一点（其中≠0），
过P点的切线交轴于Q点．
（Ⅰ）证明：； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B
A
O
F
x
y
Q
P
M
（Ⅱ）Q点关于原点O的对称点为M，过M点作平行于PQ的直线交抛物线C于A、B两点，若，求的值．
高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准
一．选择题：ABCCB DCBDB DD
二、填空题：１３. １4.8 １5.
１6.详解：由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值，本题亦可用向量法。１６.
三．解答题：
１７解：命题：
即恒成立 …………3分
命题：
即方程有实数根
∴ 或 .…………6分
∵“或”为真，“且”为假，∴与一真一假 …………8分
当真假时，；当假真时， …………10
∴的取值范围是 ………1４
１８(14分)解法一：（Ⅰ）在图②中 ∵平面PDC⊥平面ABCD，AP⊥CD
∴ PD⊥CD，PD⊥DA
∴PD⊥平面ABCD
如图. 以D为坐标原点，直线DA、DC、DP分别为与z轴建立空间直角坐标系： …………………1分
则
………………3分
设平面GEF的法向量，由法向量的定义得：
不妨设 z=1， 则 ………………………………4分
………………………………5分
，点P 平面EFG
∴AP∥平面EFG ………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量 ，因平面EFD与坐标平面PDC重合
则它的一个法向量为=（1，0，0）………………………………8分
设二面角为.则 …………9分
由图形观察二面角为锐角，故二面角G-EF-D的大小为45。………10分
（Ⅲ）假设在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，
∵P、Q、D三点共线，则设，又，
∴，又 …………11分
若PC⊥平面ADQ，又
则…………1５分
∴， ………………………………13分
故在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，且点Q为线段PB的中点。……1５分
解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理
∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG ……………………4分
（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD
过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知
∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45，
故二面角G-EF-D的大小为45。 …………………8分
（3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM∥BC，∴QM⊥PC
在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ ……………………1５分
１９(14分)解: （1）在△ADE中，2＝2＋AE2－2AEcos60
…………………2分
2＝2＋AE2－AE,①
又S△ADE＝ S△ABC＝ 2＝ AEsin60AE＝2.② ……4分
②代入①得2＝2＋ －2（＞0）, ∴＝ ………6分
又≤2，若， ，矛盾，所以≥
∴＝ （1≤≤2）. ………………………7分
（2）如果DE是水管＝ ≥, ………………10分
当且仅当2＝，即＝时“＝”成立， …………………………1５分
故DE∥ BC，且DE＝. ………………………………1５分
２０解：（Ⅰ）椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2. …….2分
又点 …….4分
所以椭圆C的方程为 …….6分
（Ⅱ）设 …….8分
…….10分
…….12分
又 …….1５分
２１解：（Ⅰ）证明：由抛物线定义知，
，
可得PQ所在直线方程为，
∵
∴得Q点坐标为(0, )
∴∴ |PF|=|QF|
（Ⅱ）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，又M点坐标为(0, y0)
∴AB方程为 …….8分。
由得
∴……① …….10分。
由得：，
∴ ……② …….12分。
由①②知，得，由x0≠0可得x2≠0，
∴，又，解得：． …….1５分。
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