高级中学数学必修一函数培优题.doc

,. 高中数学必修一函数培优题 集合与映射部分 1．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称是的一个“孤立元”． 给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 2．对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称 “与”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组中有顺序“”，“”，其“顺序数”等于． 若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是，则的“顺序数”是 ． 3．对于任意两个正整数，定义运算（用表示运算符号）： 当，都是正偶数或都是正奇数时，，例如； 当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，例如． 在上述定义中，集合的元素有 个．15 4．设集合，在S上定义运算“⊕”为：，其中为被4除的余数，．则满足关系式的的个数有 个．3 5．实数集中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意； ② 对任意； ③ 对任意； 则 ． 6．给定集合，．若是的映射，且满足： ⑴ 任取若，则； ⑵ 任取若，则有． 则称映射为的一个“优映射”． 例如：用表1表示的映射：是一个“优映射”． 表1 1 2 3 2 3 1 表2 1 2 3 4 3 ⑴ 已知：是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）． 1 2 3 4 或 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 4 1 7．定义映射，其中，． 已知对所有的有序正整数对满足下述条件： ① ； ② 若，； ③ 则的值是 ；6 8．已知，（、，且对任意、都有： ①；②． 给出以下三个结论： （1）；（2）；（3）．其中正确的个数为（ A ） （A） （B） （C） （D） 9．下图展示了一个由区间到实数集的映射过程： ⑴ 区间中的实数对应数轴上的点，如图1； ⑵ 将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合，如图2； ⑶ 再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3． 图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作． ⑴ 方程的解是 ； ⑵ 下列说法中正确命题的序号是 ．③④（填出所有正确命题的序号） ①； ②是奇函数； ③在定义域上单调递增； ④的图象关于点对称． 10．若集合具有以下性质： ① ，； ② 若，则，且时，． 则称集合是“好集”．分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由． 11．若集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对．若对于任意的，总有，则称集合具有性质． 检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和． 12．已知数集（，）具有性质： 对任意的、，与两数中至少有一个属于． 分别判断数集与是否具有性质，并说明理由． 初等函数及其性质部分 1．求下列函数的定义域 （1）； （2）； （3）． 2．给出下列三个等式： ①； ②； ③． 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） （A） （B） （C） （D） 3．设，则的大小关系是（ A ） （A） （B） （C） （D） 4．设，则的大小关系是（ D ） （A） （B） （C） （D） 5．设，则的大小关系是（ B ） （A） （B） （C） （D） 6．设均为正数，且，，，则的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 7．下列函数中，在区间上为增函数的是（ B ） （A） （B） （C） （D） 8．给定函数：①； ②； ③； ④ 其中在区间上单调递减的函数序号是（ B ） （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ 9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ C ） （A）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （B）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （C）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （D）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 10．若在上是减函数，则的取值范围是（ C ） （A） （B） （C） （D） 11．已知是上的增函数，则的取值范围是（ C ） （A） （B） （C）, （D） 12．设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 取函数，当=时，函数的单调递增区间为（ C ） （A） （B） （C） （D） 13．设，且，则 ．【】 14．若，则的取值范围是 ． 15．已知，则实数的取值范围是 ． 16．偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 ． 17．函数的值域为 ． 18．定义：区间的长度为. （1）若函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的 差为 ．【1】 （2）若函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的 差为 ．【3】 19．对于函数定义域中的任意，有如下结论： ①； ②； ③； ④． 当时，上述结论中正确结论的序号是 （将你认为正确结论的序号都填上）； 当时，上述结论中正确结论的序号是 （将你认为正确结论的序号都填上）． 函数的零点与方程的根部分 1．已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的为（ B ） （A） （B） （C） （D） 2．已知，则函数的零点个数是（ A ） （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 3．已知，若是函数的零点，且，则的值为（ A ） （A）恒为正值 （B）等于 （C）恒为负值 （D）不大于 4．已知定义域为的单调函数，若对任意，都有， 则方程的解的个数是（ B ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 5．已知，则 ．【】 6．已知，则不等式的解集为 ． 7．已知，若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 8．用表示a，b两数中的最大数，设， 若函数有2个零点，则k的取值范围是 ．【】 定义函数及其满足某性质部分 1．定义：如果对于函数定义域内的任意，都有（为常数），那么称为的下界，下界中的最大值叫做的下确界． 现给出下列函数，其中所有有下确界的函数是（ D ） ①； ②； ③ （A）② （B）④ （C）②③④ （D）③④ 2．已知函数的定义域为R，若存在常数，对任意，有，则称为函数． 给出下列函数： ①； ②； ③是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数均有． 其中是函数的序号为（ C ） （A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）①② 3．集合由满足以下条件的函数组成：对任意时，都有． 对于两个函数，以下关系成立的是（ D ） （A） （B） （C） （D） 4．若函数满足条件：当时，有成立，则称． 对于函数，有（ C ） （A） （B） （C） （D） 5．已知三个函数：①；②；③．其中满足性质： 对于任意、，若，，，则有成立的函数是 ．①②（写出全部正确结论的序号） 6．平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数．下列函数： ①； ②； ③ ； ④； ⑤， 其中是一阶格点函数的有 ．②④（填上所有满足题意的函数的序号） 7．设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一一个，使得（为常数）成立，则称函数在上“与常数关联”．给出下列函数： ① ；② ；③ ；④ ． 其中满足在其定义域上与常数关联的所有函数是 ．（填上所有满足题意的函数的序号） 8．设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数． 如果定义域是的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是 ． 如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是 ． 9．用表示不超过的最大整数，如．对于下面关于函数的四个命题： ① 函数的定义域为，值域为； ② 函数的图象关于轴对称； ③ 函数是周期函数，最小正周期为1； ④ 函数上是增函数． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）③ 10．定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作． 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ① 函数的定义域为，值域为； ② 函数的图像关于直线对称； ③ 函数是周期函数，最小正周期为1； ④ 函数在上是增函数． 其中正确的命题的序号是 ．①②③（写出所有正确命题的序号） 函数的奇偶性、单调性等性质部分 1．设函数，且函数与互为反函数． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）将函数的图象经过怎样的平移后，可以得到函数的图象？ 2．已知函数且． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求的取值范围． 3．已知函数与． （Ⅰ）求函数，的值域； （Ⅱ）求函数，的值域． 4．已知定义域为的函数是奇函数. （Ⅰ）求的值；【】 （Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【】 5．若函数． （Ⅰ）求的定义域与值域； （Ⅱ）求的单调增区间． 6．若函数． （Ⅰ）求函数的定义域； （Ⅱ）判断函数的奇偶性与单调性； （Ⅲ）求的解集； （Ⅳ）函数在其定义域上是否存在反函数？ 若存在，求出反函数；若不存在，说明理由． 7．已知函数． （Ⅰ）求证：函数在上单调递减， 在上单调递增； （Ⅱ）判断函数的奇偶性； （Ⅲ）在右侧直角角标系中，画出函数的图象； 并由函数的图象归纳出函数的性质 （例如：奇偶性、单调性、值域等）；． （Ⅳ）由前述问题归纳出函数 的性质． 抽象函数及其性质部分 1．设函数的定义域为，对任意，恒有成立． （Ⅰ）求证：是奇函数； （Ⅱ）当时，有，证明是上的减函数． 2．设函数的定义域为，当时，有，且对于任意实数、均有 成立． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求证：当时，． 3．已知函数对任意的实数满足：，且， （Ⅰ）求； （Ⅱ）求证：是上的增函数； （Ⅲ）当，解不等式. 4．已知函数的定义域为且满足对于任意的， 有. （Ⅰ）求； （Ⅱ）判断并证明的奇偶性； （Ⅲ）如果，且在上是增函数，求的取值范围. 5．定义在上的函数满足：对任意实数，总有， 且当时，． （Ⅰ）判断的单调性； （Ⅱ）设，， 若，试确定的取值范围． 6．定义在上的函数满足: ①；②；③． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）判断函数的单调性； （Ⅲ）若，求的取值范围. 7．函数的定义域为，且的值不恒为0，又对于任意的实数、， 总有成立． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求证：对任意的成立； （Ⅲ）求所有满足条件的函数． 令 ∴ 当时恒成立，当时有， ∴ ∴ 8．定义在上的函数，当时，，且对任意的， 有成立． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：对任意的x∈，恒有； （Ⅲ）求证：是上的增函数； （Ⅳ）若，求x的取值范围．