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数学学业水平复习知识点
第一章 集合与简易逻辑
1、 集合
（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。
（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；
（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；
（4）、元素a和集合A之间的关系：a∈A，或aA；
（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。
2、子集
（1）、定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：AB，
注意：AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
（2）、性质：①、；②、若，则；③、若则A=B ；
3、真子集
（1）、定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：；
A
（2）、性质：①、；②、若，则；
4、 补集
①、定义：记作：；
B
A
②、性质：；
5、 交集与并集
（1）、交集：
A
B
性质：①、 ②、若，则
（2）、并集：
性质：①、 ②、若，则
6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
判别式：△=b2-4ac
x1
x2
x
y
O
x1=x2
x
y
O
x
y
O
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
“＞”取两边
R
一元二次不等式
的解集
“＜”取中间
不等式解集的边界值是相应方程的解
含参数的不等式ax＋b x＋c>0恒成立问题含参不等式ax＋b x＋c>0的解集是R；
其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况。
第二章 函数
1、映射：按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，
记作f：A→B，若，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。
2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），
（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f（x）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；
（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）；
（4）、区间：满足不等式的实数x的集合叫闭区间，表示为：[a ，b]
满足不等式的实数x的集合叫开区间，表示为：（a ，b）
满足不等式或的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a ，b）或（a ，b]；
（5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；
②、分式：分母，0次幂：底数，例：
③、偶次根式：被开方式，例：
④、对数：真数，例：
（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：
②、单调函数：代入求值法：
③、二次函数：配方法：，
④、“一次”分式：反函数法：
⑤、“对称”分式：分离常数法：
⑥、换元法：
（7）、求f（x）的一般方法：
①、待定系数法：一次函数f（x），且满足，求f（x）
②、配凑法：求f（x）
③、换元法：，求f（x）
④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f（x）满足，求f（x）
3、函数的单调性：
（1）、定义：区间D上任意两个值，若时有，称为D上增函数；
若时有，称为D上减函数。（一致为增，不同为减）
（2）、区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域；
（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论
（4）、复合函数的单调性：内外一致为增，内外不同为减；
4、反函数：函数的反函数为；函数和互为反函数；
反函数的求法：①、由，解出，②、互换，写成，③、写出的定义域（即原函数的值域）；
反函数的性质：函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；
函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称；
点（a，b）关于直线的对称点为（b，a）；
5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n次方根等于a（），那么这个数叫a的n次方根；
叫根式，当n为奇数时，；当n为偶数时，
（2）、分数指数幂：正分数指数幂：；负分数指数幂：
0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）；
（3）、运算性质：当时：，；
6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果，数b叫以a为底N的对数，记作，其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对数：记为lnN
（2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：，③、底的对数等于1：，④、积的对数：， 商的对数：，
幂的对数：， 方根的对数：，
7、指数函数和对数函数的图象性质
函数
指数函数
对数函数
定义
（）
（）
1
y
x
y=ax
O
图象
（非奇非偶）
a>1
0
1
0”取两边,“<”取中间
绝对值不等式：含一个绝对值符号的：“>”取两边,“<”取中间
含两个绝对值符号的： 零点分段讨论法（注意取“交”，还是取“并”）
高次不等式的解法：根轴法 （重根：奇穿偶不穿）
分式不等式的解法：移项、通分、根轴法