.*
数列典型例题选讲
1 ．已知数列为正项等比数列,
(1)求的通项公式; (2)设的前n项和为,求
【解析】
2 ．设数列的前项和为 已知
(I)设,证明数列是等比数列 (II)求数列的通项公式．
【解析】(I)由及,有
由,...① 则当时,有.....②
②-①得
又,是首项,公比为2的等比数列.
(II)由(I)可得,
数列是首项为,公差为的等比数列. ,
3 ．已知等比数列中,.
(Ⅰ)若为等差数列,且满足,求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和.
【解析】(Ⅰ)在等比数列中,.
所以,由得,即, 因此,
在等差数列中,根据题意,
可得, 所以,
(Ⅱ)若数列满足,则,
因此有
4 ．设数列的前项和为,满足(,,t为常数) ,且.
(Ⅰ)当时,求和; (Ⅱ)若是等比数列,求t的值; (Ⅲ)求.
【解析】解法一(Ⅰ)当时,,当时,,
两式相减得(*)
时, ,得 因为,得 ,故 (*)
因为,所以,
(Ⅱ)由(*)可知(),若是等比数列,则成等比数列
即 因为,所以
即,所以或.经检验,符合题意
(Ⅲ)由(*)可知()
当时,,此时,
当时,,
此时,
所以
解法二(Ⅰ)因为 及,得 所以 且,解得
同理 ,解得
(Ⅱ)当时,, 得 ,
两式相减得(**) 即
当t=0时,,显然是等比数列
当时,令,可得
因为 是等比数列,所以为等比数列,当时,恒成立,
即 恒成立,化简得 恒成立,
即,解得, 综合上述,或
(Ⅲ)当时,由(**)得
数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以
当时,由(**)得, 设(k为常数)
整理得, 显然
所以, 即数列是以为首项,为公比的等比数列
所以,即
所以
所以
5 ．已知数列的前n项和为, 且满足,
( I ) 求的值; (II) 求证数列是等比数列; ( III ) 若, 求数列的前n项和.
【解析】(I)因为,令, 解得
再分别令,解得
(II)因为,所以,
两个代数式相减得到
所以 ,
又因为,所以构成首项为2, 公比为2的等比数列
(III)因为构成首项为2, 公比为2的等比数列,所以,所以
因为,所以
所以
令
因此 所以
6 ．已知成等差数列.又数列此数列的前n项的和Sn()对所有大于1的正整数n都有.
(1)求数列的第n+1项; (2)若的等比中项,且Tn为{bn}的前n项和,求Tn.
【解析】(1)成等差数列,∴
∴
∵,
∴
∴{}是以为公差的等差数列.
∵,
∴
∴
(2)∵数列的等比中项,∴
∴
7 ．设数列的前项和为,且;数列为等差数列,且｡
(1)求数列的通项公式;
(2)若为数列的前项和,求证｡
【解析】(1)由
(2)数列为等差数列,公差
从而
从而
8 ．在数列中,
(1)设,求数列的通项公式(2)求数列的前项和
【解析】(I)由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式 ()
(II)由(I)知,=
而,又是一个典型的错位相减法模型,
易得 =
9 ．,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列,数列的前项和为,且
(1)求数列,的通项公式; (2)记=,求数列的前项和.
【解析】(1)由.且得
,
在中,令得当时,T=,
两式相减得,
(2),
,,
=2
=,
10．已知数列的前项和为,且是与2的等差中项,数列中,,点 在直线上｡
(Ⅰ)求和的值; (Ⅱ)求数列,的通项和; (Ⅲ) 设,求数列的前n项和｡
【解析】(1)∵是与2的等差中项, ∴｡
∴解得, 解得
(2) 又
又
即数列是等比数列
又点在直线上,
,即数列是等差数列,又
(3)
｡
因此由错位相减法得,∴｡
11．已知在等差数列中,前7项和等于35,数列中,点在直线上,其中是数列的前项和｡
(1)求数列的通项公式; (2)求证数列是等比数列;
(3)设为数列的前项和,求并证明;｡
【解析】(1)设数列的公差为d,则由题意知得
∴
(2)∵点在直线上
∴----① , -----②
①-②得,∴,
又当时, ∴
∴数列是以为首项,为公比的等比数列｡
(3)由(2)知,,
∴
-----------③
------④
③—④得,
∴=
==
由③知的最小值是 ∴
12．设数列的前项和为,且满足.
(Ⅰ)求证数列为等比数列; (Ⅱ)求通项公式; (Ⅲ)设,求证.
【解析】证明(Ⅰ), .
又,
是首项为,公比为的等比数列且.
(Ⅱ)时,,
时, . 故.
(Ⅲ)
.
【命题意图】 数列既是高中数学的重点,也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前项和公式,能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点与的关系(注意讨论);;递推——猜想——数学归纳法证明;迭加;迭乘;裂项求和;错位相减等;数列不等式证明中注意放缩法的运用.
13．已知等差数列{an}的首项0,且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{bn}的第一项、第二项、第三项｡
(I)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(II)设数列{cn}对任意的,求数列{cn}的前n项和｡
【解析】(I)由已知
数列{an}的通项公式;数列{bn}的通项公式
(II)由 )
又
所以数列的前n项和
14．设数列的首项,前项和为,且点在直线(为与无关的正实数)上.
(Ⅰ) 求证数列是等比数列;
(Ⅱ) 记数列的公比为,数列满足.
设,求数列的前项和;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设,证明.
【解析】(Ⅰ)因为点在直线(为与无关的正实数)上, 所以,即有.
当时,.
由,解得,所以.
当
①
②
①-②,得 ,整理得.
综上所述,知 ,因此是等比数列
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,从而,
所以.
因此,是等差数列,并且.
所以,
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知,则.
将用二项式定理展开,共有项,其第项为
,
同理,用二项式定理展开,共有项,第项为,其前项中的第项为,
由,
得又,
∴
15．已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.
【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为,依题意有, (1)
又,将(1)代入得.所以.
于是有
解得或
又是递增的,故 所以
(Ⅱ),
故由题意可得,解得或.又,
所以满足条件的的最小值为13
16．已知数列中,,且当时,函数取得极值｡
(Ⅰ)求数列的通项; (Ⅱ)在数列中,,,求的值
【解析】(Ⅰ) 由题意 得 ,
又 所以 数列是公比为的等比数列 所以
(Ⅱ) 因为 ,
所以 ,,,……,
叠加得 把代入得 =
17．已知数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)令,求数列的前项和为.
【解析】 (Ⅰ)当时,
当时, 即;
(Ⅱ)当时,
当时,
令
利用错位相减法解得 所以
18．等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（11）当b=2时，记
证明对任意的 ，不等式成立
【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,
（2）当b=2时，,
则,所以
下面用数学归纳法证明不等式成立.
① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
② 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=
所以当时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
19．已知数列{}的前项的和为,对一切正整数都有.
(Ⅰ)求数列{}的通项公式; (Ⅱ)当,证明.
【解析】(Ⅰ)∵
∴
∴
令,则,∴
,∴ ∴
(Ⅱ)证明
∴
又∵,∴
∴
∴
20．已知数列{}中,点()在直线上,其中
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出.若不存在,则说明理由｡
【解析】(1)由已知得
又
是以为首项,以为公比的等比数列
(2)由(1)知,
将以上各式相加得
(3)解法一存在,使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当,即时,数列为等差数列
21．数列中,且
(1)求数列的通项公式;
(2)设求
(3)设,是否存在最大整数m,使得对 有成立?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由｡
【解析】(1)由题意,
为等差数列,设公差为d｡
由题意得……………………
(2)若
……………………
(3)
…………………………
若对任意成立,即对任意成立,
的最小值是,
,的最大整数值是7｡
即存在最大整数m=7,使对任意,均有｡
22．数列的通项，其前项和为.
（1）求； （2）令，求数列的前n项和．
【解析】由于，故
故
（2），
，
，
两式相减得
故．
23．各项均为正数的数列,,,且对满足的正整数,,,都有
｡
(1)当,时,求通项; (2)证明对任意,存在与有关的常数,使得对于每个正整数,都有.
【解析】(1)由得
,
将,代入上式化简得,
所以. 故数列为等比数列,从而
,即.
可验证,满足题设条件.
(2)由题设的值仅与有关,记为,
则.
考察函数,则在定义域上有
故对,恒成立.又,
注意到,解上式得
取,即有.
24．设数列满足其中为实数,且
(Ⅰ)求数列的通项公式
(Ⅱ)设,,求数列的前项和;
(Ⅲ)若对任意成立,证明
【解析】 (1) 方法一
当时,是首项为,公比为的等比数列｡
,即 ｡当时,仍满足上式｡
数列的通项公式为 ｡
方法二 由题设得当时,
时,也满足上式｡
数列的通项公式为 ｡
(2) 由(1)得
(3) 由(1)知
若,则
由对任意成立,知｡下面证,用反证法
方法一假设,由函数的函数图象知,当趋于无穷大时,趋于无穷大
不能对恒成立,导致矛盾｡｡
方法二假设,,
即 恒成立 (*)
为常数, (*)式对不能恒成立,导致矛盾,
25．已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．
（1）求数列的通项公式； （2）证明.
【解析】（1）设直线，联立得，则，∴（舍去）
，即，∴
（2）证明∵
∴
由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，
则有，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
mwww.ks5u.com
26．已知函数R,数列,,满足条件
(N*),.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和,并求使得对任意N*都成立的最大正整数;
(Ⅲ)求证.
【解析】(Ⅰ)由题意,
∴, ∴,
∵, ∴数列是首项为2,公比为2的等比数列 ∴. ∴
(Ⅱ)∵,
∴
∵,
∴N*. ∴当时,取得最小值
由题意得,得. ∵Z, ∴由题意得
(Ⅲ)证明 ∵
∴ .
∴(N*)
27．已知等差数列{}的公差为d(d0),等比数列{}的公比为q(q>1)｡设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n
(I) 若== 1,d=2,q=3,求 的值;
(II) 若=1,证明(1-q)-(1+q)=,n;
(Ⅲ) 若正数n满足2nq,设的两个不同的排列, , 证明｡
【解析】 (Ⅰ)解由题设,可得
所以,
(Ⅱ)证明由题设可得则
①
②
① 式减去②式,得
① 式加上②式,得
③
② 式两边同乘q,得
所以,
(Ⅲ)证明
因为所以
(1) 若,取i=n
(2) 若,取i满足且
由(1),(2)及题设知,且
① 当时,得
即,…,
又所以
因此
② 当同理可得,因此
综上,
28．已知点P在曲线C上,曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A,与x轴交于点B,设点P的横坐标为t,点A．B的横坐标分别为xA．xB,记.
(1) 求的解析式;
(2) 设数列{an}满足,求数列{an}的通项公式;
(3) 在 (2) 的条件下,当1 < k < 3时,证明不等式.
【解析】(1)
切线方程为与y = kx联立得
,令y = 0得xB = 2t
∴
(2) 由
两边取倒数得 ∴
∴ 是以为首项,为公比的等比数列(时)
或是各项为0的常数列(k = 3时),此时an = 1
时
当k = 3时也符合上式
∴
(3) 作差得
其中
由于 1 < k < 3,∴
∴
当
29．设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记｡
(I)求数列的通项公式;
(II)记,设数列的前项和为,求证对任意正整数都有;
(III)设数列的前项和为｡已知正实数满足对任意正整数恒成立,求的最小值｡
【解析】（Ⅰ）当时，
又
数列成等比数列，其首项，公比是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=
又
当
当
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设
则
>
对一切大于1的奇数n恒成立
只对满足的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当时，对一切的正整数n都有
事实上，对任意的正整数k，有
当n为偶数时，设
则<
当n为奇数时，设
则 <
对一切的正整数n，都有
综上所述，正实数的最小值为4
30．函数是定义在R上的偶函数,且时,,记函数的图像在处的切线为,｡
(Ⅰ) 求在上的解析式;
(Ⅱ) 点列在上,依次为x轴上的点,如图,当时,点构成以为底边的等腰三角形｡若,求数列的通项公式;
(Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下,是否存在实数a使得数
列是等差数列?如果存在,写出的一
个值;如果不存在,请说明理由｡
【解析】(Ⅰ) 函数是定义在R上的偶函数,且
;是周期为2的函数
由 可知=-4 ,
(Ⅱ) 函数的图像在处的切线为,且,
切线过点且斜率为1,切线的方程为y=x+1
在上,有 即
点构成以为底边的等腰三角形… ①
同理… ② 两式相减 得
(Ⅲ) 假设是等差数列 ,则
故存在实数a使得数列是等差数列｡
3．1 数列的概念
数列
数列的概念
定义
求通项
数列的表示
分类
等差数列
等比数列
特殊数列求和
特殊数列
定义
通项公式
前n项和公式
性质
应用
【知识网络】
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.
二、命题落点
1．能合理地由数列前几项写出通项公式；如例1，例3；
2．掌握项和与通项的重要关系：如例2，练习5.
【典例精析】
例1．（2005•湖南）已知数列满足，则=（ ）
A．0 B． C． D．
解析：由a1=0,得a2=－
由此可知: 数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=－
答案：B．
例2:（2005•上海）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，．例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=________.
解析：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，
答案：.
例3.(2005•湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，C．
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（3）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.
解析：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>B． 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（3）若b的值使得xn>0，n∈N*．由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0
0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2). 综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
【常见误区】
1．第项与项数之间的对应关系搞错；
2．不能正确地应用前和公式来求通项公式.
【基础演练】
1．已知数列满足，则当时，（ ）
A． B． C． D．
2．8
1
6
3
5
7
4
9
2
将n2个正数1，2，3，……，n2填入nn方格中，
使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
这个正方形就叫做n阶幻方，记f(n)为n阶幻
方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可
知f(3)=15，则f(4)=（ ）
A．32 B．33 C．34 D．35
3．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
第1行
1
第2行
2 3
第3行
4 5 6 7
…
…
则第9行中的第4个数是 （ ）
A．132 B．255 C．259 D．260
4．如果且,则
（ ）
A．2006 B．2005 C．2004 D．1003
5．(2004•江苏) 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且，则
的数值是____________.
6．已知数列，且数列的前n项和，那么n的
值为 ．
7．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数（整
点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Sn，且.若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围．
8．（2002•上海）已知函数f（x）＝abx的图象过点A（4，）和B（5，1）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记an＝log2f（n），n是正整数，Sn是数列｛an｝的前n项和，解关于n的不等式anSn
≤0；
（3）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列｛anSn｝中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.
9．（2002•上海春）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分
配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第
1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给
每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.
（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明）
（2）证明ak＞ak＋1（k＝1，2，…，n－1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求Pn（b）．
3．2 等差数列的通项与前n项的和
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解等差数列的概念;
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.
二、命题落点
1．考查等差数列的概念、通项公式，即等差数列性质的灵活运用；如例1，例2；
2．考查等差数列的前项和公式及其性质.如例3.
【典例精析】
例1：（2005•湖南）已知数列为等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）证明
解析：（1）设等差数列的公差为D．由即d=1.
所以即
（2）因为，所以
例2： (2005•江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
其中A,B为常数.
（1）求A与B的值； （2）证明数列{an}为等差数列； （3）证明不等式对任何正整数m、n都成立.
解析：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18. 由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知
解得 A=-20， B=-8。
（2） 由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, ①
所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ②
②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③
所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④
③ -③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.
因为 an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.
又因为 (5n+2),所以 an+3-2an+2+an+1=0 ,即 an+3-an+2=an+2-an+1, .
又 a3-a2=a2-a1=5,所以数列为等差数列．
（3）由（２）可知，an=1+5(n-1)=5n-4. 要证了
只要证5amn>1+aman+2，因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证
5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2
因为=20m+20n-37,所以命题得证.
例3：（2005•上海）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
解析：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，
其中a1=250，d=50，则
令 即
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08，则bn=400(1.08)n－1由题意可知，
有250+(n－1)50>400 (1.08)n－1 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
【常见误区】
1．容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误；
2．不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.
【基础演练】
1．（2006•陕西）"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的 （ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2005•山东）是首项，公差的等差数列，如果，则序号等
于 （ ）
A．667 B．668 C．669 D．670
3． (2004•福建)设Sn是等差数列的前n项和，若 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．
4．( 2004•重庆) 若是等差数列，首项，则使前n
项和 成立的最大自然数n是 （ ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
5．（2003•上海）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可
求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_____.
6．（2001•上海）设数列｛an｝的通项为an＝2n－7（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ ．
7． (2004•全国1) 等差数列{}的前n项和记为Sn. 已知
（1）求通项； （2）若Sn=242，求n.
8．( 2004•全国3 )设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且
，求数列的通项公式.
9．（2001•全国）已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550.
（1）求a及k的值； （2）求.
3．3 等比数列的通项与前n项的和
【典例精析】
例1：（2005•山东）21 已知数列的首项，前项和为，且（）
（1）证明数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数．
解析：（1）由已知，可得两式相减得
，即 从而
当时,，所以又所以，从而 故总有，．又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（１）知．因为
所以，
从而=
=-= ．
例2:(2005•天津)若公比为的等比数列的首项且满足．
（1）求的值； （2）求数列的前项和．
解析:(1)由题设，当时，，，
由题设条件可得，因此，即 解得c＝1或
(2)由(１)，需要分两种情况讨论，当c＝1时，数列是一个常数列，即 (nN*)
这时，数列的前n项和 当时，数列是一个公比为的等比数列，即 (nN*) 这时，数列的前n项和 ①
①式两边同乘，得 ②
①式减去②式，得
，
所以(nN*)
例3：(２００５•北京)设数列
记
（1）求a2，a3； （2）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求
解析：（1）显然
（2）因为,所以
所以
猜想：是公比为的等比数列. 证明如下：
因为
所以是首项为,公比为的等比数列.
（3）
【常见误区】
1．不能完整理解等比数列的前n项和公式：，忽视的情形.
2．要掌握以下几种情形的极限的求法.①利用②利用（）③要掌握分类讨论的背景转化方法.如时转化为.
【基础演练】
1．（2005•江苏）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4
＋a5＝ （ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
2．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C．１ D．不确定
3．（2004•全国卷3）等比数列中， ，则的前4项和为（ ）
A． 81 B． 120 C．168 D． 192
4．（2004•浙江）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= （ ）
A． –4 B． –6 C． –8 D． –10
5．（2004•全国1）已知等比数列{则该数列的通项= .
6． (2004•北京)在函数中，若a，b，c成等比数列且则 有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________.
7．（2005•浙江）已知实数成等差数列，成等比数列，且，求．
8．(2004•全国2)已知等差数列{}，
（1）求{}的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和Sn.
9．（2005•全国3）在等差数列中，公差的等差中项.
已知数列成等比数列，求数列的通项
3．4 数列的的前n项的和
例1：已知：.
（1）当a = b时，求数列{}的前n项和； （2）求.
解析：（1）当时，，它的前项和
①
①两边同时乘以，得
②
① ②，得：
若，则：
得：
若，则
（2）当时，
当时，设（），则： 此时 ．
当时，即时，；
当时，即时，．
例2:（2005•福建）已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.
（1）求q的值； （2）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
解析：(1)由题意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1+a1q,
∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴q=1或q=
(2)若q=1,则.
当n≥2时,,故；
若q=,则,
当n≥2时,
故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn；当n=10时, Sn=bn；当n≥11时, Sn
展开阅读全文
相关搜索