高等数学上册复习资料.doc

-/ 高等数学（上册）复习资料 一：函数的两个要素： 定义域 对应法则 1 两个函数相同： （1）定义域相同 （2）对应法则相同 至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。 例如： 与是同一个函数。 2 函数的几种特性 （1）有界性 如果存在实数 ，使得 ，则称在上有上界 如果存在实数 ，使得 ，则称在上有下界。 有界：既有上界 ，又有下界 。即存在实数，使得 等价于存在 ，使得 （2）单调性 若对区间内任意两点 ，都有 ，则称在内单调增加（减少）。 若将“ ”改成“”称为严格单调增加（减少）。 （3）奇偶性 设函数的定义域关于原点对称 如果 ，则称 为偶函数 如果 ，则称 为奇函数 （4） 周期性 若 则称是以为周期的函数 注：周期通常指的是它的最小正周期 3复合函数 设的定义域为 ，又的定义域为，且 ，则函数称为由函数和 函数 构成的复合函数。称为中间变量，记为： 4 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 特例 （4）三角函数 等 （5）反三角函数 等 5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。 例： 两个式子 ，故不是初等函数 6 函数的极限 当时，若无限地接近于某个确定的数，则称为当时的极限。记为 重要结论： 的几何意义： 一、 是他的水平渐近线 例如： 二、 而 ，则说明它有两条渐近线。例如： 两条渐近线。 当时 ，如果无限地接近于某一确定的常数，则称为当时的极限。记为： 注：（1）在处的极限存在与否与在处有无定义没有关系。因为定义中没有要求，只是 （2）趋近于的方式是任意的。（即 可以从左边 ，也可以从右边） 左极限：当从左边趋近于（记为：）时 ，，则称为 当时的左极限。记为： 或 。 右极限： 即左右极限存在且相等 若： ，则不存在 7 无穷小量 定义：以 为极限的变量称为无穷小（量） 定义：当（或）时 ，对应的函数值的绝对值无限增大 注意 无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大 无穷大的几何意义： ，直线是函数图形的铅直渐近线 （回忆水平渐近线 定理二：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大 ，则为无穷小；反之 ，如果为无穷小 ，且 ，则为无穷大。 无穷小的性质： 定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小 定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论：（1） 有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。 （有极限有界） （2）常数与无穷小量的乘积是无穷小 （3）有限个无穷小量的乘积也是无穷小 8 无穷小的比较 定义： 设都是无穷小 (1) 若 ，则称是比高阶的无穷小 ，记为： (2) 若 ，则称是比低阶的无穷小 (3) 若 ，则称与是同阶无穷小 (4) 若 ，则称与是等价无穷小 ，记为： 最重要是等价无穷小 ，关于等价无穷小，我们要记住以下结论 当时 ， ， ， ， ， ， ， 注意其引申 即上面的无穷小可换成其他无穷小 定理一：设 ， ，且存在，则 9 函数的连续性 定义：设函数在点的某一邻域内有定义 ，如果 ，则称在点处连续。 强调：包含 ； 记： ，则 相当于 相当于 由此 ，我们得到连续的另一个等价定义 定义2 ：设在点的某一邻域内有定义，如果 ，则称在点处连续。 即 ：在处的极限等于它在该点的函数值 与左、右极限相对应 ，也有左、右连续的概念 若 ，即 ，则称在点处左连续 若 ，即 ，则称在点处右连续 在点处连续左右都连续 即 若函数在点处不连续 ，则称在点处间断 。称为的间断点 。 （1） 可去间断点 极限存在 ，但在点处无定义或在点处有定义 ，但 。则称为的可去间断点 。 （2 ）跳跃间断点 若与 存在，但 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 。第一类间断点的特点是左右极限都存在。 第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点 。特点：是至少有一个单侧极限不存在。 常见的有无穷间断点 。特点：至少有一个单侧极限为无穷大 。 一切初等函数在其定义区间内是连续的 10 函数的导数 定义：设函数在点处的某个邻域内有定义，给以增量（仍然在该邻域内），若存在。 则称在处可导。 并称这个极限值为在处的导数。记为： ， ， 即 关于导数的几点说明： （1）导数反映因变量关于自变量的变化率，即反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 （2） 令 ，当时 等价定义 或 （1） 若定义中极限不存在， 则称在处不可导。 在不可导中有一个特殊情形。当 ，则称在处的导数为无穷大。 （2） 如果函数在开区间内的每一点处都可导， 就称函数在开区间内可导。 （3） 对于任一个 ，都对应着的一个确定的导数值 ， 。 这个函数 叫做原来函数的导函数 。记作：或 即 或 注 ：（1）导函数简称为导数 （2） （6）单侧导数 1、 左导数 2、 右导数 存在 （7）如果在开区间内可导 ，且都存在，就说在闭区间上可导。 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在对应点处的切线的斜率。 于是：曲线在点处的切线方程可写成： （1）存在，则 切线方程： 法线方程： （2）若 切线方程： 法线方程： 定理：若在处可导 。则在处必连续 连续但不可导的例子： 在处 所以连续 ，但不可导 注：若不连续 ，则一定不可导 11 函数的微分 定义：设函数在某区间内有定义，在处给自变量以增量， 如果相应的函数的增量总能表示为： ，其中与无关，是的高阶无穷小。则称函数在点处可微 。并称为在点处的微分。 记作：或 即： 称为微分系数。 定理：函数在处可微函数在处可导 我们得到函数的可微性与可导性是等价的。 （可微可导）。 函数在处的微分 12 函数的不定积分 定义1 设函数F（x）在某区间I上可导，且x∈I有F′(x)=f（x），则称F（x）为函数f（x）在区间I上的一个原函数. 定理1 设F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则F（x）+C（C为任意常数）为f（x）的全体原函数. 定义 设函数f（x）在区间I上有定义，称f（x）在区间I上的原函数的全体为f（x）在I上的不定积分，记作，其中记号“”称为积分号，f（x）称为被积函数，x称为积分变量. 定理1 设F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则 =F（x）+C， C为任意常数. 强调：不能丢，仅是一个原函数，不定积分是原函数的全体。 通常，我们把f（x）在区间I上的原函数的图形称为f（x）的积分曲线， 不定积分的性质 （1）=+，其中α，β为常数； （2）=f（x）； （3）=f(x)+C,C为任意常数. 13 函数的定积分 定义 设函数f（x在区间［a，b］上有界，今取n+1个分点： a=x0＜x1＜x2＜…＜xi -1＜xi＜…＜xn -1＜xn=b， 将［a，b］分成n个小区间［xi -1，xi］，其长度记为Δxi=xi -xi -1（i=1，2，…，n），并令λ=, 若ξi∈［xi -1,xi］（i=1，2，…，n），极限 (ξi)Δxi 存在，且该极限值与对区间［a，b］的分划及ξi的取法无关，则称f（x）在［a，b］上可积，且称该极限值为f（x）在［a，b］上的定积分，记为，其中,f（x）称为被积函数，x称为积分变量，a和b分别称为积分下限和上限，［a，b］称为积分区间，（ξi）Δxi称为积分和. 注意： （1） 定积分是一个和式的极限 ，它是一个数。和式很复杂 ，区间的分法 无穷多 ，点的 取法也无穷多。 但是，极限与取法、分法无关。 （2） 定积分由被积函数与积分区间确定 ，与积分变量无关。即 。 （3） 曲边梯形的面积 （4） 当被积函数在积分区间上恒等于1时，其积分值即为积分区间长度，即 =b -a； （5） 可积条件 为方便起见，我们用R（［a，b］）表示区间［a，b］上所有可积函数的集合，可以证明： （1）若f（x）∈C（［a，b］），则f（x）∈R（［a，b］）； （2）若f（x）为［a，b］上的单调有界函数， 则f（x）∈R（［a，b］）； （3）若f（x）在［a，b］上仅有有限个第一类间断点， 则f（x）∈R（［a，b］）. 定积分的几何意义： （1） 图 （2） 图 （3） 在上有正有负 图 面积的代数和 总之，若f（x）∈C（［a，b］），则定积分的几何意义是表示由x轴、曲线y=f（x）、直线x=a与x=b所围成的各部分图形面积的代数和，其中位于x轴上方的图形面积取正号，位于x轴下方的图形面积取负号. 定积分的性质 （1） 当a=b时，=0； （2） 当a＞b时，= - 积分中值定理） 设f（x）∈C（［a，b］），则ξ∈［a，b］，使得 =f（ξ）（b -a）. 设f（x）∈C（［a，b］），F（x）是f（x）在［a，b］上的一个原函数，则 =F（b） -F（a）. 要掌握的具体内容： 如何求极限； 如何求导数与微分 如何求不定积分与定积分 导数和定积分的应用 一 如何求极限 求极限的方法 （1） 约去零因子法（适用于时的型） （2） 无穷小因子分出法（适用于时的型） 当时有理分式的极限为 （3） 有理化（适用于含有根式的极限） （4） 通分（适用于型） （5） 利用两个重要极限 1 第一个重要极限 这个极限的特点： （1）型 （2） 推广： ，其中是的该变化过程中的无穷小 2 第二个重要极限 （是无理数 ，） 几种变形 有如下特点： （1） 型 （2） 加号上的量与肩膀上的量互为倒数 推广：若 ，则 若 ， （6）等价无穷小替换 当时 ， ， ， ， ， ， ， 注意其引申 即上面的无穷小可换成其他无穷小 定理一：设 ， ，且存在，则 强调：乘积时才用等价无穷小代替 ，在加减中不能代替 ， 即被替换的无穷小必须处于乘积因子位置 例： 原式 错 在加减中不要替换 （7）利用无穷小的性质（定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小） （8）利用左右极限与极限的关系（适用于分段函数在分段点处的极限） （9）连续性的定义（设连续函数在点的某一邻域内有定义，则 ） （10）洛必达法则 型，型直接使用法则， 型，将其中的一个倒下来，化成型或型，再使用法则。 型，通分后化成型，再使用法则。 型，化成以为底的指数，或取对数后化成 以上10种方法中，特别要注意洛必达法则与重要极限，无穷小替换，相结合 二 如何求导数 （1）基本求导公式 求导公式： （1） （2） 特例： （3） 特例： （4） 特例： （5） （6） （2）求导的四则运算法则： 为常数 （3） 复合函数的求导法则 定理三： 如果在点处可导，而在点处可导， 则复合函数在点处可导，且其导数为： 或 链式法则 ：函数对的导数 ：对的导数 ：对求导 复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。 （4） 参数方程的求导法 若参数方程确定与之间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。 求导公式 对的导数比上对的导数 二阶导数 对的导数比上对的导数 （5） 隐含数的求导法 什么叫隐含数？ 定义：由方程所确定的函数称为隐函数 隐函数的求导法则： 用复合函数的求导法则直接对方程两边求导 （6）对数求导法： 先两边取对数 ，然后按照隐函数的求导方法求导。 适用范围：（1）幂指函数 （2）多个函数相乘或还有开方的情况 （7）变限函数的求导 Φ′(x)= =f(x) =f（u（x））u′(x) -f(v(x))v′(x). （8）如何求微分 先求出函数的导数，则 千万不要忘记写 三 如何求积分 基本积分公式① =kx+C（k为常数）, ② =+C(a≠ -1), 特别地： ③ =ln｜x｜+C(x≠0), ④ =ex+C, ⑤ =+C(a＞0且a≠1), ⑥ =sinx+C, ⑦ = -cosx+C, ⑧ =tanx+C, ⑨ = -cotx+C, ⑩ =secx+C, = -cscx+C, =+C, = 积分的方法 一， 分项积分 =+，其中α，β为常数； = 二 换元法 第一换元法（凑微分） = F(ψ(x))+C. （注意：中间的换元过程可省略。） 第二换元 对于定积分的第二换元法要注意： （1） 换元必换限 （2） 当时 ，不一定有 ，但下限一定要对应下限 ，上限一定要对应上限 （3） 选取可能不唯一 ，原则上：不自找麻烦 ，越小越好 三 分部积分 注意：1将谁看成 2回归法 对于定积分还有三个要注意的地方 一， 分段函数的定积分 如果积分区间包含了被积函数的分段点，则利用积分对区间的可加性，分成几个定积分的和。 例： ，计算 解： 例：，求 解：因为 二 奇零偶倍 三、广义积分 （1）无穷积分 定义： 若广义积分与都收敛 ，则收敛 ，且定义为这两个广义积分之和。 = 计算： （2）瑕积分 定义：若为的瑕点，则 若为的瑕点，则 若为的瑕点，则 计算： 若为的瑕点，则 若为的瑕点，则 若为的瑕点，则 =+ + 四 应用题 （一）求曲线的切线，法线 （二）求极值，单调区间，拐点，凹凸区间，最大值，最小值。 确定函数单调区间，极值的步骤为： （1） 写出定义域 （2） 找出驻点和导数不存在的点 ，将定义域进行划分。 （3） 判断各区间导数的符号 ，并判断单调性，。 （4）写出单调区间，求出各极值点的函数值 ，即得全部极值。 判断凹凸区间，曲线拐点的步骤： （1） 写出定义域，求 （2） 令 ，解出实根 ，并找出二阶导数不存在的点，将定义域进行划分。 对每一点 ，考察在的左、右两侧的符号。写出凹凸区间，若左、右两侧符号相反， 则为拐点，否则不是。 求最值的步骤： （1） 在内找出驻点和不可导点， （2） 计算及 （3） 从这些值中找出最大值、最小值。 （三）与中值定理有关的证明题 （四）利用单调性证明不等式 （五）关于闭区间上连续函数性质的证明题 （六）求平面图形的面积 记住：被积函数是上面的函数减下面的函数。 记住：被积函数是右边的函数减左边的函数 （七）求体积 平面截面面积为已知的立体体积 V 旋转体的体积 设一旋转体是由连续曲线y=f（x），直线x=a和x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的 由曲线，直线与轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为： （八）求弧长 弧微分公式 若曲线的方程为y=f（x），x∈［a，b］，且f（x）在［a，b］上有一阶连续导数，则 若曲线弧的方程由参数方程 α≤t≤β， 给出，设φ（t），ψ（t）在［α，β］上具有连续导数，则 曲线弧的弧长为 如果曲线方程由极坐标方程r=r（θ） （α≤θ≤β）给出，且R（θ）存在一阶连续导数，则由 （α≤θ≤β） 可知 第六章 常微分方程 一阶微分方程： 1、可分离变量的方程 方法： 分离变量后，两边同时积分 2、齐次方程 方法：令 化成可分离变量 ，最后回代 3、一阶线性微分方程： 方法：公式法 通解 可降阶的高阶微分方程： 1、 方法： 逐次积分次 2、 ，特点：不显含未知函数 方法：令。 利用解一阶方程的的方法解出 ，再代入 ，再积分。 2、 ，特点：不显含 方法：令从而方程化为。利用解一阶方程的的方法解出 ，再代入 ，再积分。 二阶常系数线性微分方程： 1、 齐次 解题步骤： （1） 写特征方程 （2） 解特征方程 ，求出特征根 （3） 写出通解 通解公式如下表： 为实根 为实根 2、 非齐次 方法： 先求出对应齐次方程的通解，再求出特解，则通解 若 则 不是特征根 为特征单根 为特征重根 则设特解为