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高二数学圆锥曲线基础练习题（一）
一、选择题：
1．抛物线的焦点坐标为 （ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 （ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的一个焦点到渐近线距离为 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 （ ）
A．2 B．6 C．4 D．12
5．已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则等于 （ ）
A． B． C． D．
6．已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为. 设
分别为双曲线的左、右焦点. 若，则 （ ）
A． 5 B．4 C．3 D．2
7．将抛物线按向量a平移，使顶点与原点重合，则向量a的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且， ，则该双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
9．设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的 （ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件
10．已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于 （ ）
A． B． C． D．
11．已知点P在抛物线上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 （ ）
A．（，-1） B．（，1） C．（1，2） D．（1，-2）
12．设P是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，则以线段为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是 （ ）
A．内切 B．外切 C．内切或外切 D．不相切
二、填空题：
13．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 ；
14．已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值_________；
15．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ；
16．若直线与圆没有公共点，则满足的关系式为_______；以(m,n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有____个。
三、解答题：
17．已知椭圆的一个顶点为，焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为3.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线：，是否存在实数m，使直线椭圆有两个不同的交点M、N，且，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
18．如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率.
（I）求椭圆方程；
（II）设F、F分别为椭圆的左、右焦点，
求证：.
19．已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；
（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．
20．已知△的面积为，.
（I）设，求正切值的取值范围；
（II）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），
，当 取得最小值时，
求此双曲线的方程。
21．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
22．已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
20081126
参考答案
一、选择题
1．B.
2．A.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=.
3．C.
4．C. 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=.
5．D．由题意，得 ，．，代入，有即 ．
6．A. 由课本知识，得知双曲线的渐近线方程为，或者．与已知的渐近线方程对应，立得正数．显然，由双曲线定义有，所以．
7．A. 将抛物线方程配方，得．画图，知道a．
8．C．显然双曲线的特征量．由得，．对于关系，两边平方，得，即，于是．从而双曲线的方程是．
9．A.
10．C.∵双曲线中,,
∴
∵,
∴.
作边上的高，则.
∴
∴的面积为.
11．A.将点Ｐ到抛物线焦点距离转化为点Ｐ到准线距离，容易求得当∥x轴时，P到点Q （2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小，令，得，故点Ｐ
为（，-1），选Ａ.
12．C. 利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右两支时，两圆相内切、外切.
二、填空题
13． ．由于的准线是，所以点到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到=的距离之和的最小值是.
14．
15．2. 由抛物线的焦点坐标为为坐标原点得，，则 与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为.
16．0,解得00 时，
---------------9分
,
故 m=2，但此时判别式,
满足条件的m不存在. ------------------12分
18．解：（Ⅰ）过 A、B的直线方程为 .
由题意得有惟一解.
即 有惟一解,
所以 ------------------3分
故.
因为 ,即 ， 所以
从而, 得
故所求的椭圆方程为. ------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得, 所以 .
由 解得 , ------------------9分
因此. 从而 ,
因为, 所以. ------------------12分
19．解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．
因为四边形为菱形，所以．
于是可设直线的方程为．
由得．------------------2分
因为在椭圆上，
所以，解得．
设两点坐标分别为，则
，，，．
所以 ． ------------------4分
所以的中点坐标为．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以，解得．
所以直线的方程为，即． -----------------7分
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，所以．
所以菱形的面积． ------------------9分
由（Ⅰ）可得，
所以．
所以当时，菱形的面积取得最大值．------------------12分
20．解：（I）设, 则
. ---------------3分
,
. ------------------5分
（II）设所求的双曲线方程为
∴，
∴.
又∵，
∴. -----------------9分
当且仅当时，最小，此时的坐标是或
，
所求方程为 ------------------12分
21．解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020). -----------3分
设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,
故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=－x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故
|PB|－|PA|=3404=1360. ------------------6分
x
y
O
C
P
A
A
BN
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,
依题意得a=680,c=1020,
∴b2=c2-a2=10202-6802=53402,
故双曲线方程为. -----------9分
用y=－x代入上式,得x=680,
∵|PB|>|PA|,
∴x=-680,y=680,
即P(-680,680),
故PO=680.
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处. ------------------12分
22． x
A
y
1
1
2
M
N
B
O
解：（Ⅰ）如图，设，，
把代入 得， ---------------2分
由韦达定理得，，
，
点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，------------------5分
直线与抛物线相切，
，．
即． ------------------7分
（Ⅱ）假设存在实数，使，则.
又是的中点，
． ------------------9分
由（Ⅰ）知
．
轴，
． ------------------12分
即存在，使 ------------------14分
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