高二数学双曲线及其规范标准方程.doc

.* 高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲） 学生姓名： 授课教师： 授课时间： 专 题 双曲线及其标准方程 目 标 掌握双曲线的定义、焦点、离心率；渐进线等概念 重 难 点 双曲线的定义和标准方程 常 考 点 求双曲线的标准方程；求弦中点的轨迹方程 第一部分、基础知识梳理 （1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：与（）表示双曲线的一支。 表示两条射线；没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在轴上 中心在原点，焦点在轴上 标准方程 图 形 x O F1 F2 P y A2 A1 x O F1 P B2 B1 F2 顶 点 对称轴 轴，轴；虚轴为，实轴为 焦 点 焦 距 离心率 （离心率越大，开口越大） 渐近线 通 径 （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。 ②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是； （4）等轴双曲线为，其离心率为 （5）常用结论： 双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，线段AB的长度为,则的周长= 设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是 第二部分 例题解析 考点一：求双曲线的标准方程 例1：讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征。 例2：根据下列条件，求双曲线的标准方程。 （1）过点，且焦点在坐标轴上。 （2），经过点（－5，2），且焦点在轴上。 （3）与双曲线有相同焦点，且经过点 考点二、运用双曲线的定义求轨迹方程 例3：已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹。 例4：在中，，且，求点的轨迹。 例5：求下列动圆圆心的轨迹方程： （1）与⊙内切，且过点。 （2）与⊙和⊙都外切。 （3）与⊙外切，且与⊙内切。 考点三、双曲线定义的运用 例6、已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，求的大小。 例7、已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，求的面积。 考点四、中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 例题8 已知双曲线，过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的 中点P的轨迹方程。 第三部分 巩固练习 一、选择题： 1、设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3、设O为坐标原点，，是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P＝60，∣OP∣＝，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. xy＝0 B. xy＝0 C. x＝0 D. y＝0 4、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 5、已知双曲线的一条渐近线方程是y＝，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6、已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠＝，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题： 7、点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则＝___ 8、已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 9、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。 10、若双曲线－＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝，则ｂ等于 。 巩固练习 参考答案： 1、C 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，进而得出a与b之间的等量关系，由此可知答案选C。本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属于中档题。 2、D 解析：不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：， 则一个焦点为，B（0，b）。 一条渐近线的斜率为：，直线FB的斜率为：，，，解得。 3、D 解析：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题。 4、D 解析：本题使用了排除法。轨迹是轴对称图形，因此排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，故排除D。 5、B 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程，属于容易题。 依题意知，所以双曲线的方程为 6、B 本小题主要考查双曲线的定义、几何性质、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题还可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】由余弦定理得 cos∠ 【解析2】由焦点三角形面积公式得： 7、2 解析：考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，得到a＝2，c＝6，， 8、 9、 解析：本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。 由渐近线方程可知① 因为抛物线的焦点为（4，0），所以c＝4 ② 又 ③ 联立①②③，解得，所以双曲线的方程为 10、1 解析：由题意知，解得b＝1。 全 品中考网