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1、,.高三一题多解 一题多变题目一题多解 一题多变（一）原题： 的定义域为R，求m的取值范围解：由题意在R上恒成立且，得变1：的定义域为R，求m的取值范围解：由题意在R上恒成立且，得变2：的值域为R，求m的取值范围解：令，则要求t能取到所有大于0的实数，当时，t能取到所有大于0的实数 当时，且变3：的定义域为R,值域为，求m,n的值解：由题意，令，得时，-1和9时的两个根当时， ，也符合题意一 题 多 解-解不等式 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当时，不等式可化为 （2）当时，不等式可化为 综上：解集为解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于 综上：解集为 解法三：利用等价命题
2、法 原不等式等价于 ，即 解集为解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为，不等式的几何意义时数轴上的点的距离大于，且小于，由图得， 解集为一题多解 一题多变（二）已知是等比数列的前n想项和，成等差数列，求证：成等差数列法一：用公式，因为成等差数列，所以且则所以所以 成等差数列法二用公式，则，所以 成等差数列证法三：（用公式） 解得（下略）变题： 已知且是第二象限角，求 解：是第二象限角，变1：，求 解：，所以是第一或第二象限角 若是第一象限角，则 若是第二象限角，则变2：已知求 解：由条件，所以 当 时，是第一或第二象限角 若是第一象限角时 若是第二象限角 当时不存在变3：已知，求 解：当时
3、，不存在 当时， 当时第一、第四象限角时， 当是第二、第三象限角时， 一题多解 一题多变（三）题目：求函数的值域方法一：判别式法 - 设 ，则，由- 当时，-， 因此当时，有最小值2，即值域为方法二：单调性法 先判断函数的单调性 任取，则 当时，即，此时在上时减函数 当时，在上是增函数 由在上是减函数，在上是增函数，知时，有最小值2，即值域为方法三：配方法 ，当时，此时有最小值2，即值域为方法四：基本不等式法有最小值2，即值域为变 题原题：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围解：由题意得在R上恒成立，则要求且变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值范围 解：由题意得在R上恒成立，则要求且 变
4、式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围解：令 能取到所有大于0的实数，则 时，能取到所有大于0的实数 时，且综上一题多解 一题多变（四）题目：求函数的值域方法一：判别式法 - 设 ，则，由- 当时，-， 因此当时，有最小值2，即值域为方法二：单调性法 先判断函数的单调性 任取，则 当时，即，此时在上时减函数 当时，在上是增函数 由在上时减函数，在上是增函数，知时，有最小值2，即值域为方法三：配方法 ，当时，此时有最小值2，即值域为方法四：基本不等式法有最小值2，即值域为变 题原题：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围解：由题意得在R上恒成立，则要求且变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值
5、范围 解：由题意得在R上恒成立，则要求且 变式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围解：令 能取到所有大于0的实数，则 时，能取到所有大于0的实数 时，且综上 一题多解 一题多变（五）题目：椭圆的焦点是，椭圆上一点P满足，下面结论正确的是（ ）（A）P点有两个 （B）P点有四个 （C）P点不一定存在 （D）P点一定不存在解法一：以为直径构圆，知：圆的半径，即圆与椭圆不可能有交点。故选D解法二：由题知，而在椭圆中：，不可能成立故选D解法三：由题意知当p点在短轴端点处最大，设，此时为锐角，与题设矛盾。故选D解法四：设，由知，而无解，故选D解法五：设，假设，则，而即：，不可能。故选D解法六：，故不可
6、能。故选D解法七：设由焦半径知：而在椭圆中而,故不符合题意，故选D解法八.设圆方程为： 椭圆方程为：两者联立解方程组得：不可能故圆与椭圆无交点即 不可能垂直故选D 一题多解 一题多变（六）一变题：课本P110 写出数列的前5项： 变题：已知函数，设的反函数为，求数列的通项公式。 解：由题意得，令，则是以为首项，为公比的等比数列，故从而，二、一题多解 已知函数 （1）当时，求函数的最小值；- （2）若对于任意恒成立，试求实数的取值范围， 解：（1）当时，当且仅当时取等号 由性质可知，在上是增函数，所以在是增函数，在区间上的最小值为（2）法一：在区间上，恒成立恒成立设，在上增所以时，于是当且仅当时
7、，函数恒成立，故法二：当时，函数的值恒为正；当时，函数为增函数，故当时，于是当且仅当时，函数恒成，故法三：在区间上，恒成立恒成立恒成立，故应大于，时的最大值-3， 所以一题多解 一题多变（七）原题：:若,则 分析:用倒数换元解: 令, 所以将t换成x得到:变题1：设满足关系式求的解析式解：将t换成x得到:与原式联立方程组消去得到变题2：已知，其中试求的解析式解：用相反数换元 令代入到原式当中得到： 将t换成x得到:与原式联立方程组，得到： 变题3：已知，试求的解析式解：令，则 将 中t换t得到: 与联立方程组得到：变题4：已知求解：设 代入原式得：将t换成t得到: 与上式联立方程组得到 的解析
8、式为：一题多解题目：设二次函数满足且函数图象y轴上的截距为1，被x轴截的线段长为，求的解析式 分析：设二次函数的一般形式，然后根据条件求出待定系数a,b,c 解法一：设由 得： 又 由题意可知 解之得：解法二：故函数的图象有对称轴可设函数图象与y轴上的截距为1，则又被x轴截的线段长为，则整理得： 解之得： 解法三： 故 函数的图象有对称轴，又与x轴的交点为： 故可设一题多解 一题多变（八）原题 设有反函数，又与 互为反函数，则（教学与测试P77）变题 设有反函数，又的图象与的图象关于对称（1） 求及的值；（2） 若均为整数，请用表示及解(1)因的反函数是，从而,于是有，令得；同样，得反函数为，
9、从而，于是， (2) ,而,故,即, ，从而 同理， 一题多解 1函数，则( )（A） （B） （C） （D） 解法1. 由知的图象关于对称，得而，且，因此.解法2.由知的图象关于对称，而，而在1,1上递减，易得答案为B y -1 0 1 x 一题多解 一题多变（九）姜忠杰变 题原题：若在区间=在区间是减函数，则的取值范围是多少？变1：若函数=在上是减函数，则的取值范围是多少？变2、若函数=在上是增函数，则的取值范围是多少？变3、若函数=在上是增函数，且函数的值域为R，则的取值范围是多少？解：函数的减区间为， -变1、设，则在为减函数，且在，0所以有且（），的取值范围是变2：设，则在为减函数，
10、且在，0-所以有且（），的取值范围是变3：设，则在减区间，在取到一切正实数，所以或一题多解：设 ，求的值。解法一（构造函数）：设，则，由于在上是单调递增函数，所以，故。解法二（图象法）因为是方程的一个根，也就是方程的一个根是方程的一个根，也就是方程的一个根令，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：是方程的根，即图中OA=是方程的根，即图中OB=易得OA+OB=10，所以解法三：方程，的根为，由，得，又， 一题多解 一题多变（十）（课本P102 ）证明：变题：1、如图所示，是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“对0，1中的任意的，任意恒成立”的只有（ A ） A、 B、 C、 D、变题2
11、、定义在R上的函数满足：如果对于任意都有则称函数是R上的凹函数。已知二次函数 （1）求证：当时，函数是凹函数； （2）如果时，试求实数的取值范围。 （1）证明：略 （2）实数的取值范围是二、一题多解 不查表计算： 解法一：原式= = = =解法二：原式=1-=1解法三：原式=1解法四：原式=1 解法五：原式=1一题多解 一题多变（十一）一题多解-1 已知（，求的值解法1 先求反函数由得 且故原函数的反函数是 解法2从互为反函数的函数的关系看 令解得 即 变题2 已知对于任意实数满足，当时，（1） 求证（2） 判断的单调性证明 （1）令得 - 令，得 （2）设，则 在R上是单调函数变题 1. 已
12、知函数是定义R在上的增函数，且满足（1） 求的值（2） 若解不等式 解 （1） 令，得 -（3） 在中，令得从而 又原不等式可化为 ，且是上的增函数，原不等式等价于 又 解得 原不等式的解集为（0，4）一题多解 一题多变（十二）考查知识点：函数的对称中心原题：函数的图象关于原点对称。解：该函数定义域为R，且+=，该函数图像关于原点对称变题1：已知函数满足则的图象的关于对称解：为奇函数，即的图象关于原点对称，故的图象关于对称。变题2：已知函数满足，则函数的图象关于对称 解：由得，1为奇函数，即1的图象关于（0，0）对称，的图象关于对称变题3：已知函数满足，则的图象关于（1，1）对称 解：令，则，
13、故由得，即满足，即，的图象关于原点（0，0）对称，故的图象关于（1，1）对称。结论：若函数满足，则的图象关于对称。变题4：已知求证：（1）（2）指出该函数图象的对称中心并说明理由。（3）求的值。（1）证明：，得证。-（2）解：该函数图象的对称中心为，由得即，的图象关于原点中心对称，故的图象关于对称。（3）解：，故， =500变题5：求证：二次函数的图象没有对称中心。证明：假设是的图象的对称中心，则对任意，都有，即恒成立，即有恒成立，也就是且与矛盾所以的图象没有对称中心。一题多解 一题多变（十三）题目：已知函数若对任意恒成立，试求实数a的取值范围。解法一：在区间上，恒成立恒成立，设在递增 ，当x
14、=1时，于是当且仅当时，函数恒成立，故 a3。解法二：当a的值恒为正,当a)时恒成立, 故 a3。解法三：在区间上恒成立恒成立恒成立，故a应大于时的最大值3， 当x=1时，取得最大值 3 题目： 将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，求所得图象的函数表达式。解： 将函数中的x换成x+1，y换成y-1得变题1：作出函数的图象解： 函数=，它是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到。图象为： 变题2：求函数的单调递增区间解： 由图象知 函数的单调递增区间为：变题3：求函数的单调递增区间解： 由 得 所以函数的单调递增区间为变题4： 求函数的单调递增区间解： 由，所以函数的
15、单调递增区间为变题5 函数的反函数的图象的对称中心为（-1，3），求实数a解： 由知对称中心为（a+1，-1），所以它的反函数的对称中心为（-1，a+1），由题意知：a+1=3 得a=2。变题6 ：函数的图象关于y=x对称求a的值解： 因为函数的反函数是它本身，且过点（2，0），所以其反函数的图象必过点（0，2），即函数也过点（0，2），代入得a=-1。变题7 设（a，b）与（c，d）都是函数f（x）的单调区间， 且则与的大小关系为（ ）（A）（B）（C）（D）不能确定解 ： 构造函数它在上都是增函数，但在上无单调性，故选D变题8：讨论函数在上的单调性。解： 由的图象知 ，当 时在上是增函数；
16、当时在上为减函数一题多解 一题多变（十四）已知，求证：变 题1、已知数列满足，试比较与的大小2、已知，且，求证：3、已知，求证：解： 原题：证明：作差-， 1、 2、-，又 ， -3、作差， 一 题 多 解已知数列满足，试比较与的大小 方法一：作差-=，方法二：作商-方法三：（单调性），关于单调递增方法四：浓度法 把看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着的增大（相当于向溶液中加糖），浓度 当然增大，易得一题多解 一题多变（十五） 例、-恒成立，求的取值范围解：1、当 时 2、 -变式1：已知函数的定义域为，求实数的取值范围。 解：由题意得恒成立， 1、当 时 2、 -变式2、函数的定义域为的充要条件是什么解：由题意得恒成立， 1、当 时 2、 - 变式3、的定义域为，求实数的取值范围。解：由题意得恒成立， 1、当 时 2、 -变式4、的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题意得-无解即-或 变式5、-的定义域为R，求的取值范围 解：由题意得恒成立， 1、当 时 2、 -一题多解 徐晓洲求的值域法一：常数分离法 即-值域为，1法二：反解法 由函数的值域为，1法三：判别式法由即：1、当时 故舍去2、当时所以函数的值域为，1