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1、1.1.3 3.1 .1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第一课时第一课时 函数单调性的概念函数单调性的概念问题提出问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究的记忆牢固程度进行了有关研究. .他经过测试，得他经过测试，得到了以下一些数据：到了以下一些数据：时间间隔时间间隔 t t刚记刚记忆完忆完毕毕2020分分钟后钟后6060分分钟后钟后8-98-9小时小时后后1 1天天后后2 2天天后后6 6天天后后一个一个月后月后记忆量记忆量y y( (百分比百分比) )10010058.258.2 44.244.2 3
2、5.835.8 33.733.7 27.827.8 25.425.4 21.121.1以上数据表明，记忆量以上数据表明，记忆量y y是时间是时间间隔间隔t t的函数的函数. . 艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩浩斯遗忘曲线浩斯遗忘曲线”, ,如图如图. .1 12 23 3t ty yo o2020404060608080100100思考思考1:1:当时间间隔当时间间隔t t逐渐增大你能看出逐渐增大你能看出对应的函数值对应的函数值y y有什么变化趋势？通过有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的
3、知识的知识? ?tyo20406080100123思考思考2:2:“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线”从左至从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？数学观点进行解释？知识探究（一）知识探究（一）yxo考察下列两个函数考察下列两个函数: :( )f xx2( )(0)f xx x （1 1） ； (2)(2)xyo思考思考1 1: :这两个函数的图象分别是什么？这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？二者有何共同特征？思考思考2 2: :如果一个函数的图象从左至右逐如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量渐上升，那么当自变量x x从小
4、到大依次取从小到大依次取值时，函数值值时，函数值y y的变化情况如何？的变化情况如何？( )f x12xx1()f x2()f x思考思考3 3: :如图为函数如图为函数 在定义域在定义域I I内某个区间内某个区间D D上的图象，对于该上的图象，对于该区间上任意两个自变量区间上任意两个自变量x x1 1和和x x2 2，当当 时，时， 与与 的的大小关系如何大小关系如何？x xy yo ox x1 1x x2 2( )yf x1()f x2()f x思考思考4 4: :我们把具有上述特点的函数称为增函数，我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义那么怎样定义“函数函数 在区间在区间D D
5、上是增函数上是增函数”？( )f x( )f x12,x x1x2x1( )f x2()f x)(xf对于函数定义域对于函数定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值，若当的值，若当 时，都有时，都有 , ,则称函数则称函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数. . 知识探究（二）知识探究（二）考察下列两个函数考察下列两个函数: :( )f xx 2( )(0)f xxx （1 1） ； (2)(2)x xy yo ox xo oy y思考思考1 1: :这两个函数的图象分别是这两个函数的图象分别是什么？什么？二者有何二者有何 共同特征？共同特征？(
6、)f x思考思考2 2: :我们把具有上述特点的我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定函数称为减函数，那么怎样定义义“函数函数 在区间在区间D D上是减上是减函数函数”？2()f xx xy yo ox x1 1x x2 2( )yf x1()f x( )f x12,x x1x2x1( )f x2()f x)(xf对于函数定义域对于函数定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值，若当的值，若当 , ,则称函数则称函数 在区间在区间D D上是减函数上是减函数. . ( )f x12()()fxfx思考思考3:3:对于函数定义域对于函数定义域I I内某
7、个区间内某个区间D D上的任意两上的任意两个自变量个自变量 的值，若当的值，若当 时，都有时，都有 , ,则函数则函数 在区间在区间D D上是增函数还是上是增函数还是减函数？减函数？ 12,x x12xx2( )(1)f xx思考思考4 4：如果函数如果函数y=f(xy=f(x) )在区在区间间D D上是增函数或减函数，则上是增函数或减函数，则称函数称函数f f（x x）在这一区间具）在这一区间具有（严格的）有（严格的）单调性单调性，区间，区间D D叫做函数叫做函数f f（x x）的）的单调区间单调区间. .那么二次函数在那么二次函数在R R上具有单调上具有单调性吗？函数性吗？函数 的的单调区
8、间如何？单调区间如何？ 理论迁移理论迁移- -5 5- -3 31 13 36o ox xy y例例1 1 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间 -5-5，66上的函数上的函数y yf f（x x）的图象，根据的图象，根据图象说出图象说出yf（x）的单调区间，以的单调区间，以及在每一单调区间上，函数及在每一单调区间上，函数yf（x）是增函数还是减函数是增函数还是减函数. . ()kPkV为正常数 例例2 2 物理学中的玻意耳定物理学中的玻意耳定律律 告诉我们，对于一定量的气体，告诉我们，对于一定量的气体，当其体积当其体积V V减小时，压强减小时，压强p p将增将增大大. . 试用函数的单调性试
9、用函数的单调性 证明证明. . 小小 结结利用定义确定或证明函数利用定义确定或证明函数f(xf(x) )在给定的区间在给定的区间D D上的单调性的上的单调性的一般步骤：一般步骤：1.1.取数取数: :任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1 x x2 2； 2.2.作差作差:f(x:f(x1 1) )f(xf(x2 2) )； 3.3.变形变形: :通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方; ; 4.4.定号定号: :判断差判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负的正负; ; 5.5.小结小结: :指出函数指出函数f(xf(x) )在给定的区间在给定的区间
10、D D上的上的 单调性单调性. .1( )xf xx 例例3 3 试确定函数：试确定函数：在区间在区间(0,+(0,+）上的单调性）上的单调性. . P P3232 练习：练习：1 1，2 2，3 3，4. 4. 知识探究（二）知识探究（二）( )f xkxb思考思考1 1：函数函数 是单调函数吗？是单调函数吗？思考思考3 3：一个函数在其定义域内一个函数在其定义域内，就单调性而言有哪几种可能情，就单调性而言有哪几种可能情形？形？( )|f xx思考思考2 2：函数函数 在在R R上上具有单调性吗？其单调区间具有单调性吗？其单调区间如何？如何？思考思考5:5:下列图象表示的函数是增函数吗？下列
11、图象表示的函数是增函数吗？ x xy yo o图图1 1x xy yo o图图2 2思考思考4:4:若函数若函数 在区间在区间D D上具有单调性，上具有单调性， , ,那么那么 分别在区间分别在区间A A、B B上具有单上具有单调性吗？调性吗？ADB)(xf)(xf)(xf思考思考6:6:一般地，若函数一般地，若函数 在区间在区间A A、B B上是上是单调函数，那么单调函数，那么 在区间在区间 上是单调函上是单调函数吗？数吗？)(xf)(xfAB理论迁移理论迁移 例例1 1 已知函数已知函数 ，求不等式，求不等式 的解集的解集. .21( )xf xx(2)1f x 例例2 2 已知函数已知函
12、数 在区间在区间00，44上是增函数，求实数上是增函数，求实数 的取值范围的取值范围. .2( )2f xaxxa 例例3 3 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数 满足：对任满足：对任意意 R R，都有，都有 ，且当，且当 时，时， ，试确定函数的单调性，试确定函数的单调性. .)(xf, a b()( )( )f abf af b0 x ( )0f x 小小 结结利用定义确定或证明函数利用定义确定或证明函数f(xf(x) )在给定的区间在给定的区间D D上的单调性的上的单调性的一般步骤：一般步骤：1.1.取数取数: :任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1 x x2 2； 2.2.作差作差: :f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )； 3.3.变形变形: :通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方; ; 4.4.定号定号: :判断差判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负的正负; ; 5.5.小结小结: :指出函数指出函数f(xf(x) )在给定的区间在给定的区间D D上的上的 单调性单调性. .作业：作业： P P3232 练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4. P P3939 练习：练习：1 1，2 2，3 3