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1、等差数列等差数列an前前n项和项和 Sn 性质：性质：,naSS 偶偶奇奇若等差数列若等差数列an项数为项数为2n-1项，项， 则则 S2n-1= (2n-1)an，且且.1SnSn 奇奇偶偶(=,=(1)nnSnaSna 奇奇偶偶其其中中证明：证明：12121(21)()2nnnaaS (21)()2nnnaa (21).nna1(1)22n nSnad 奇奇1(1) n and=.nna2(1)(2)(1)22nnSnad偶偶2(1)(2) nand(1).nna,nSSa奇奇偶偶.1SnSn 奇奇偶偶232(4)，kkkkkSSSSS4.等差数列等差数列an前前n项和项和 Sn 性质：性
2、质：是等差数列是等差数列,公差为公差为.2dk,naSS 偶偶奇奇(5) 若等差数列若等差数列an项数为项数为2n项，项，则则 S2n=n(an+an+1)，且且1.nnSaSa 奇奇偶偶若等差数列若等差数列an项数为项数为2n-1项，项， 则则 S2n-1= (2n-1)an，且且,ndS-S 奇奇偶偶.1SnSn 奇奇偶偶(=,=(1)nnSnaSna 奇奇偶偶其其中中2.4 等比数列等比数列请你观察：上面数列有什么共同特点？上面数列有什么共同特点？从第从第2项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一项的项的比比都等于都等于同一个常数同一个常数。1, 2, 4, 8, 16, ,263;
3、 1111,;248 1, 1, 1, 1,;1.0198, 1.01982, 1.01983, .定义：定义：如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，项起，每一项每一项与它的前一项与它的前一项 的的比比都等于都等于同一个常数同一个常数。那么这个数列就叫做那么这个数列就叫做等比数列等比数列. .叫做等比数列的叫做等比数列的公比公比，公比通常用，公比通常用 q表示表示1.nnaqa 这个常数这个常数即即(q0 ).当当 q1，a10，数列是递增数列数列是递增数列.或或 0q1，a11，a10，数列是递减数列数列是递减数列.或或 0q0 时时，qaann1说明：说明： (1) 因为等比数列每一
4、项都可能作分母，因为等比数列每一项都可能作分母，所以每一项均不为所以每一项均不为0， 因此因此 q0 .(2) 当当q0时，时， 数列单调性不定数列单调性不定.当当 d = 0 时，数列是常数列；时，数列是常数列；当当 d 0 时，数列是递增数列；时，数列是递增数列；当当 d 0 时，数列是递减数列时，数列是递减数列.等差数列定义：等差数列定义：daann 1对 比)(Rd 思考思考:(1) 等比数列中有为等比数列中有为0的项吗？的项吗？ (2) 公比为公比为1的数列是什么数列？的数列是什么数列？(3) 既是等差数列又是等比数列的数列既是等差数列又是等比数列的数列 存在吗？存在吗？(4) 常数
5、列都是等比数列吗？常数列都是等比数列吗？由此得到由此得到：分析分析1：根据等比数列的定义：从第二项起每一根据等比数列的定义：从第二项起每一项都等于它的前一项乘以公比项都等于它的前一项乘以公比 q ，所以，所以，qaa12qaa23，211)(qaqqaqaa34，3121)(qaqqa11 nnqaa问：问：若已知等比数列若已知等比数列an的首项的首项 a1 ，公比，公比 q , 能确定这个数列吗？能确定这个数列吗？分析分析2：根据等比数列的定义：根据等比数列的定义：1 nnqaa)2(1 nqaann)(2 nqaq22 naq33 naq)(32 nqaq （当（当n=1时等式也成立）时等
6、式也成立）11aqn 11 nnqaaqaa12）（ 1）（2）（3）（1n个等式相乘得：将上面1n分析分析2：根据等比数列的定义：根据等比数列的定义：qaa23qaa34qaann111nnqaa11 nnqaa3124123211nnnnnaaaaaq qqaaaaa 个例如：例如：1，2， 4，8， 263 . 首项首项 a1=1 ，公比，公比 q=2 ，. )64(221 nann即即11 nnqaa通项公式通项公式 an=12n-1= 2n-1(n64)从函数的角度来看等比数列通项公式：从函数的角度来看等比数列通项公式：11 nnqaa.1nqqa 时，时，且，且当当10 qq，是一
7、个指数函数是一个指数函数xqy ，的常数与指数函数的积的常数与指数函数的积是一个不为是一个不为 01xqqay .1群孤立的点群孤立的点图象上一图象上一的图象是函数的图象是函数等比数列等比数列xnqqaya anOn1 2 3 4 5 6 710987654321等比数列图象等比数列图象是函数是函数 图象上一群孤立的点图象上一群孤立的点nna221 xy221 :221的图象的图象等比数列等比数列nna 想一想：想一想：如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a, G, b成等比数列，那么成等比数列，那么G应满足什么条件？应满足什么条件？)0(,2 ababGbGa成等比数列
8、成等比数列成等比数列，得成等比数列，得，由由bGa，GbaG abG 2.,成等比数列成等比数列bGa结论：结论：即即.abG ，如果如果，反过来反过来)0( ababG即即abG 2)0( ab则则，GbaG 等比中项：等比中项：，的等比中项的等比中项与与叫做叫做成等比数列，那么成等比数列，那么，如果如果baGbGa由此得由此得,在等比数列在等比数列a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , an , 中中,112 nnnaaa）（2 n11 nnnnaaaa）（2 n).0(2 ababG且且结论：结论：)2, 0(112 naaaaannnnn是等比数列是等比数列341218121
9、.一一个个等等比比数数列列的的第第 项项与与第第 项项分分别别是是与与，求求它它的的第第 项项与与第第例例项项。1aq设设此此等等比比数数列列的的首首项项为为， 公公比比解解为为：，则则181243aa18123121qaqa即，解得233161qa.82331612qaa。与分别是项项与第答：这个数列它的第831621得，由11nnqaa，11mmqaa，mnmnmnqqaqaaa1111.mnmnqaa（这是等比数列通项公式的推广形式（这是等比数列通项公式的推广形式 ）想一想：想一想：由一个等比数列由一个等比数列 an 中的任意两项中的任意两项 an ， am是否可以确定这个等比数列的通项
10、公式？是否可以确定这个等比数列的通项公式？ 解法解法2：，181243aa121834aaq.23得：由mnmnqaa3131qaa2)23(12，316qaa12.823316341218121.一一个个等等比比数数列列的的第第 项项与与第第 项项分分别别是是与与，求求它它的的第第 项项与与第第例例项项。例例2. 已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为 Sn , )1(31 nnaS（1）求）求12,;aa（2）求证：数列）求证：数列an是等比数列是等比数列.（1）解解:1(1) ,3nnSa111(1) ,3Sa即即111(1) ,3aa11.2a 又又221(1) ,3Sa即即122
11、1(1) ,3aaa21.4a例例2. 已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为 Sn , )1(31 nnaS（1）求）求12,;aa（2）求证：数列）求证：数列an是等比数列是等比数列.（2）证明证明:当当n2时，时，1nnnaSS 111(1)(1)33nnaa 11133nnaa 12133nnaa 11.2nnaa 数列数列an是首项为是首项为 ，公比为，公比为 的等比数列的等比数列.12 12 当当n=1时，时，11.2a ，.解：解： 由由知：知：121 nna，1)21( n数列数列an是首项为是首项为 a1=1，公比为，公比为q= 的等比数列的等比数列.21又由又由 1nn
12、bb122loglog nnaa12log nnaa即即21log2 1nnbb，1 )2( n所以数列所以数列bn是首项为是首项为 b1=1，公差为，公差为d=1的等差数列的等差数列. 本题揭示了等差数列与等比数列之间的一种代数变换本题揭示了等差数列与等比数列之间的一种代数变换关系关系.不失一般性，设不失一般性，设c0，c1, 则：则：说说 明：明：naclogcna若数列若数列an是等差数列，那么数列是等差数列，那么数列 是等比数列；是等比数列；反之反之,若若an是等比数列且是等比数列且an 0,则数列则数列 是等差数列是等差数列.课后作业课后作业乐学乐学2.4.1灰皮灰皮1.累乘法累乘法2.指数函数模型指数函数模型2.类比等差数列来学习等比数列，基本量类比等差数列来学习等比数列，基本量d变为变为q3.方程思想的使用，等比数列常用乘除消元，等方程思想的使用，等比数列常用乘除消元，等差数列常用加减消元差数列常用加减消元.小结小结