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5.导函数——不等式
1. 已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．由得．
①当时，．此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．当变化时的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故．
2. 设，对任意实数，记
（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对于任意正实数成立。
分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法
（I）解：．
由，得．因为当时，，
当时，，当时，，
故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．
（II）证明：（i）方法一：
令，则，
当时，由，得，当时，，
所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令，则，
由，得．当时，；当时，，
所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．
（ii）方法一：
．由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当，，时，，，
由（i）得，，再取，得，
所以，即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，，
因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：
，即， ①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
3. 定义函数f n( x )＝(1＋x)n―1, x＞―2，n∈N*
(1)求证：f n ( x )≥ nx；
(2)是否存在区间[ a，0 ] (a＜0)，使函数h( x )＝f 3( x )－f 2( x )在区间[a，0]上的值域为[ka，0]?若存在，求出最小实数k的值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由.
分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、数形结合思想方法
解：(1)证明：f n( x )－nx＝(1＋x)n－1－nx，
令g( x )＝(1＋x)n－1－nx , 则g( x )＝n[(1＋x)n―1―1].
当x∈(－2，0)时， g( x )＜0,当x∈(0，＋∞）时，g( x )＞0，
∴g( x )在x＝0处取得极小值g( 0 )＝0，同时g( x )是单峰函数，
则g( 0 )也是最小值.∴g( x )≥0, 即f n ( x )≥nx (当且仅当x＝0时取等号).
注：亦可用数学归纳法证明.
(2)∵h( x )＝f 3 ( x )－f 2( x )＝x( 1＋x )2 ∴h( x )＝(1＋x)2＋x2(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x)
令h(x)＝0, 得x＝－1或x＝－ ，
∴当x∈(―2，―1)，h(x)＞0；当x∈(―1，―)时，h(x)＜0；
当x∈(－ ,＋∞)时，h(x)＞0.
故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下：
①当时，h(x)最小值h(a)＝ka ∴k＝(1＋a)2≥
②当时 h(x)最小值h(a)＝h(－)＝＝ka ∴
③当时 h( x )最小值h( a )＝a(1＋a)2＝ka k＝(1＋a)2≥，时取等号.
综上讨论可知k的最小值为，此时[a，0]＝[，0].
例4. 已知在区间上是增函数。
（1）求实数的值组成的集合A；
（2）设关于的方程的两个非零实根为、。试问：是否，使得不等式对及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．函数方程思想、化归（转化）思想方法
解：（1）∵
∴
∵ 在上 ∴ 对恒成立
即，恒有成立
设 ∴
（2）
∵ ∴ 、是方程的两不等实根，且，
∴
∵ 对及恒成立
∴ 对恒成立
设，
∴ 对恒成立
∴
∴ 满足题意
5. 已知函数。
（1）求函数的反函数和的导函数；
（2）假设对，不等式成立，求实数的取值范围。
分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．化归（转化）思想方法
解：（1）
∴ ∵ ∴
（2）∵ ，成立
∴
∴
设，
∴ 恒有成立
∵ ∴
∴ ∴ ，
∴ ，在上
∴
即
∵ ∴ 在上
∴
∴ 的取值范围是
6.设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得a＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：
因
而
故只需对和进行比较。
令，有，由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，从而有，亦即
故有恒成立。所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
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