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1、2工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如下图所示。下图所示。转角转角)(x 挠度曲线挠度曲线)(xww 在小变形情况下在小变形情况下w tan第第 12 章章 弯曲变形弯曲变形3工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形4工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形5工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形6工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形7工程力
2、学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形8工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形9工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形解：解：(1)FxFlxlFxM )()()1(2)FxFlxMwEI )()2(3)122/CFxFlxwEI (4)21326/2/CxCFxFlxEIw 10工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形将将x = 0, w= 0代入代入(3)式有式有C1 = 0(3) 固定端处转角为零固定端处转角为零, 即即固定端处挠度为零固定端处挠度为零, 即即 x = 0, w = 0将之代入将之代入(4)式得式得C2 =
3、0则将则将C1=0，C2=0代入代入(3)、(4)式有式有)/()2/(2EIFxFlxw )/()6/2/(32EIFxFlxw 11工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形(4)EIFllx22max EIFlwwlx33max EIFxFlxw2/2 EIFxFlxw6/2/32 12工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形3. 按叠加原理计算位移按叠加原理计算位移 为了方便，对于简单的梁在简单荷载作用下，为了方便，对于简单的梁在简单荷载作用下，其最大挠度和最大转角事先列出了他们的计算公其最大挠度和最大转角事先列出了他们的计算公式（教材和手册中可查到）。式
4、（教材和手册中可查到）。 利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某些受力较复杂情况下梁的挠度和转角。些受力较复杂情况下梁的挠度和转角。梁在线性弹性范围内梁在线性弹性范围内工作，且变形微小工作，且变形微小13工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形图示简支梁，求图示简支梁，求 wC 和和 B。例题例题 12-214工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形由叠加原理得：由叠加原理得：)6/(, )24/(e3eEIlMEIqlBMBq 查表可知：查表可知：)16/(, )384/(52e4eEIlMwEIqlwCMCq )16/(
5、)384/(52e4EIlMEIqlwC )6/()24/(e3EIlMEIqlBq 15工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 求下图求下图B处的挠度和转角。处的挠度和转角。思考题思考题 12-116工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 求图示等截面简支梁内的弯曲应变能，并求跨求图示等截面简支梁内的弯曲应变能，并求跨中截面中截面C 的挠度的挠度wC。例题例题 12-217工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形CBACVV)1( 由对称性知由对称性知解：解：xFxMlx2)(,5 . 00 时时当当EIlFxEIxFVlAC192d2)2
6、(322/02 于是整个梁之弯曲应变能为：于是整个梁之弯曲应变能为：EIlFVVAC96232 18工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形(2) 外荷载所作的功外荷载所作的功CFwW5 . 0 因为因为 W = Ve e，EIlFFwC965 . 032 故故得得EIFlwC483 此结果与采用积分法求解所得的结果一致！此结果与采用积分法求解所得的结果一致！ 19工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形超静定梁超静定梁 工程实际中，为减少梁内的应力和位移需要附工程实际中，为减少梁内的应力和位移需要附加多余约束，这样就会产生多余未知力，如下图所加多余约束，这样就
7、会产生多余未知力，如下图所示：示： 上图为二次超静定问题，亦即其不可单由平上图为二次超静定问题，亦即其不可单由平衡方程得出结果。衡方程得出结果。20工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形再如：再如： 上图为上图为“一次超静定问题一次超静定问题”，其解同样也不，其解同样也不能单由平衡方程求解得到，还需要变形相容条件，能单由平衡方程求解得到，还需要变形相容条件，即：即：0 Bw21工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 求下图所示超静定梁求下图所示超静定梁A、B处的处的约束约束力及力及 B、wC，并画出该梁的剪力图和弯矩图。，并画出该梁的剪力图和弯矩图。解：解：
8、(1) 求求A、B处的处的约束力约束力,设设B处为多余约束，处为多余约束，列补充方程：列补充方程： 0 Bw0 BBFBqBwww(1)即即例题例题 12-322工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形查表可得：查表可得：(2)(84 EIqlwBq(3)(33 EIlFwBBFB将将(2)，(3)式代入方程式代入方程(1)有：有：03834 EIlFEIqlB23工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形03834 EIlFEIqlB由由 0yF qlFB83)(85 qlFA得得0)( FMA由由281qlMA 得得 ( )24工程力学教程电子教案工程力学教程
9、电子教案弯曲变形弯曲变形(2) 绘剪力图和弯矩图：绘剪力图和弯矩图：25工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形(3) 求：求： (叠加原理叠加原理) CBw, (a)EIqlEIlFEIqlBBFBqB1632,6323 EIqlBBFBqB483 ( )26工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形利用右图所示的相当系统利用右图所示的相当系统(b)BCFCqCwww 则则EIqlwCq38454 EIqlEIlMwACMA1281642 从而有：从而有：)(1924 EIqlwwwACMCqC27工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形如下图所
10、示梁，已知：如下图所示梁，已知：E，I。求。求 。CCw ,28工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形EIFlBC221 解解：思考题思考题 12-3参考答案参考答案EIllFlFlllEIFlEIFlllwwBBC6)(32)(23)(12131121311 29工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形作剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图。思考题思考题 12-430工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形,0)( FMA0232 aaqqaaFB由由)(35,)(3qaFqaFAB得得思考题思考题9-14参考答案：参考答案：31工程力学教程电子
11、教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形)20(2135)(21axqxxqaxM )32()3(3)(2axaxaqayM 32工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 A1B梁梁用用A2C梁加固，两梁的梁加固，两梁的EI相同，试求两相同，试求两接触处的压力。接触处的压力。思考题思考题 12-533工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形上梁上梁C 处：处：EIlFwCEIlFllEIFlwCxCCxC33)3(63131121 处处下梁下梁因因 为：为：CCww 即：即：)3(63212131llFllFCx 求解得到：求解得到：)31(431 llFFCx
12、思考题思考题12-5参考答案参考答案:34工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形FFllCx45,21 则则若若* 没有加固梁时设为没有加固梁时设为 加固梁后设为加固梁后设为;,1max1BwM2,max2BwM%50%1005 . 0%100max1max2max1 FlFlFlMMM。减减少少即即%50maxM 35工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形%393)22)2(4524453(3%10032333121 EIFllEIlEIFlEIFlEIFlwwwBBB。减减少少即即%39Bw 36工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形思
13、考题思考题 12-6 荷载荷载 作用在梁作用在梁AB及及CD的连接处。试求每个的连接处。试求每个梁在连接梁在连接 处受多大的力。设已知它们的跨长比和处受多大的力。设已知它们的跨长比和刚度比分别为刚度比分别为 。54,232121 EIEIllF37工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形2321313,3)(EIlFwEIlFFwCCBB 查表有：查表有：思考题思考题 12-6参考答案：参考答案：协调条件：协调条件：,CBCBFFww 则：则：23213133)(EIlFEIlFFBB 求解：求解：FFFCB167135 38工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形