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1、函数的应用举例例题解析1几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题【例1】 如图291，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点假设点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式解 (1)当点P在AB上，即0x1时，APx，也就是yx(2)当点P在BC边上，即1x2时，AB=1，ABBPx，BPx1，根据勾股定理，得AP2AB2BP2(3)当点P在DC边上，即2x3时，AD1，DP3x根据勾股定理，得AP2=AD2DP2(4)当点P在AD边上，
2、即3x4时，有y=AP4x所求的函数关系式为2行程问题类【例2】 ，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地，求汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数解 根据题意：(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离x=60t，(0t2.5)(2)汽车在B地停留1小时，那么B地到A地的距离xx3.5)(3)由B地返回A地，那么B地到A地的距离x=15050(t3.5)325x6.5)3工程设计问题类工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题【例3】 要在墙上开一个上部为半圆，下部为
3、矩形的窗户(如图292所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？解 设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，那么面积最大说明 应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数【例4】 要使火车平安行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围解 设园的半径为R，圆弧弓形高CD=x(m)在RtBOD中，DB78，OD=Bx(Rx)2782=R2由题意知R600得x21200x60840(x0)，解得x5.1或x1194.9(舍)圆弧弓形高的
4、允许值范围是(0，5.14营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品本钱、利润(率)，确定销售价格考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价进货价【例5】 将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，假设每件售价涨价元，其销售量就减少10件问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润解 设每件售价提高x元，那么每件得利润(2x)元，每天销售量变为(20020x)件，所获利润y=(2x)(20020x)=20(x4)2720当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元5单利问题类单利是指本金到期后的利息不再
5、参加本金计算设本金为P元，每期利率为r，经过n期后，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1nR)【例6】 某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9，求到期的本利和为多少？解 这里P=1000元，r=9，n12，由公式得S12P(112r)1000(1912)=1108元答 本利和为1108元6复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，那么复利函数式为y=P(1r)x【例7】 某企业方案发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率的复利计息，问多少年后每张债券一次归
6、还本利和1000元？(参考，0.0274)解 设n年后每张债券一次归还本利和1000元，由1000=500(1)n，解得11答 11年后每张债券应一次归还本利和1000元7函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解【例8】 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、万件、万件为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abxc(其中a、b、c为常数)，4月份该产品的产量为万件，请问用以上哪个函
7、数作为模拟函数较好，并说明理由解 设二次函数y1f(x)=px2qxx(p0)y1=f(x)=2f(4)=164又y=abxc【例9】 有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解 设投入甲产品资金为x万元，投入乙产品资金为(3x)万元，总利润为y万元答 对甲、乙产品分别投资为万元和万元，获最大利润为8增长率(或降低率)问题类这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题【例10】 某工厂1988年生产某种产品2万件，方案从1989年开始，每年的产量比上一年增长20，
8、问哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万元(lg2，lg30.4771)解 设过x年后，产量超过12万件那么有2(120)x12解得x答 从1998年开始年产量可超过12万件9相关学科问题类这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题【例11】 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，an，共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最正确近似值a是这样一个量：与其它近似值比拟，a与各数据差的平方和最小，依此规定，求从a1，a2，an推出的a值解 a应满足：y=(aa1)2(aa2)2(aan)2此式表示以a为自变量的二次函数，n010
9、决策问题类决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题【例12】 某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元(1)设从乙要调x台至A地，求总运费y关于x轴的函数关系式(2)假设总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费解 (1)y=300x500(6x)400(10x)80012(10x)=200(x43)(0x6，xN)(2)当x=0，1，2时，y9000，故共有三种方案，总运费不超过9000元(3)在(1)中，当x0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调B地，甲地调2台至B地，10台至A地，这时，总运费y8600元