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高考数学（文）冲刺专题复习之——平面向量
一、知识点梳理
（一）平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量 (与共线的单位向量是)．
(4)平行向量（又叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行（共线）。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量有传递性．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1) 交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
（1）定义：
①加法：（1）向量加法的三角形法则：；其要求是：（Ⅰ）前一向量的终点与后一向量的起点的重合，（Ⅱ）由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
（2）向量加法的平行四边形法则：其要求是：（Ⅰ）把两个向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，（Ⅱ）向量的和为这两邻边所夹的对角线。
（3）由有向线段首尾顺次相接所围成的封闭图形结果为。即：（Ⅰ）（三角形三边的向量和） （Ⅱ）。一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
②减法：，其要求是：（1）两个向量的起点为同一点，（2）由后一个向量的终点指一向前向量
(2)坐标运算：若a=（）,b=（）则ab=（）．
（3）几何表示：平行四边形法则、三角形法则
以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=－,=－
且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．
3.向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.
(3)若=（），则=（）．
4．共线向量定理
(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=．
(2) 若=（）,b=（）则∥b．
注意：(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
（二） 平面向量的基本定理及其坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．
注意：（1）向量坐标与点的坐标的区别：
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．
当平面向量平行移动到时，向量不变，即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
（2）误区
1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
（三）平面向量的数量积
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤180)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
2．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab＝|a||b|cos θ，
其中︱b︱cos称为向量b在方向上的投影。
规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a＝0.
3．向量数量积的几何意义
数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积．
4．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)ea＝ae＝|a|cos θ；
(2) ⊥bb=0（，b为非零向量）；
(3)当a与b同向时，ab＝|a||b|，特别的，aa＝|a|2或者︱︱=；
当a与b反向时，ab＝－|a||b|；
当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件（因a和b的夹角可能为0）；
当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件（因a和b的夹角可能为180）；
(4)cos θ＝；得
(5)|ab|≤|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)ab＝ba； (2)λab＝λ(ab)＝a(λb)； (3)(a＋b)c＝ac＋bc.
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？
6．平面向量数量积的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
(1)ab＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)cos〈a，b〉＝； (4)a⊥b⇔ab＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)．
注意：(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足ab＝ac(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)c≠a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等．
(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是60.
（三）平面向量的应用
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔ab＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝＝ (θ为a与b的夹角)．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝Fs＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
一个手段
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
两条主线
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
6.主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
归纳总结：
1、平面向量的坐标运算
①若a=（x1,y1），b=（x2,y2）则a+b=（x1+ x2, y1+y2），a-b=（x1-x2, y1-y2），
②若=（x,y），λ∈R，则λ=（λx, λy）， ③坐标向量的大小||=x2+y2
④两向量平行（共线）的充要条件：若=（x1,y1），=（x2,y2），＝0
⑤若A（x1,y1），B（x2,y2），则=（x2-x1, y2-y1）
⑥距离公式：||=（x1-x2）2+(y2-y1)2
⑦若=(x1,y1),=(x2,y2),则∙=（x1，y1）∙（x2，y2）=x1x2+y1y2。
⑧向量垂直的充要条件：设=(x1,y1),=(x2,y2)，则.特别地
⑨向量夹角公式的坐标表示：两个向量=(x1,y1),=(x2,y2)，、的夹角为θ，则cosθ=
2、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2），特别地：
当同向或有；
当反向或有；
当不共线(这些和实数比较类似).
（3）在中：
①若，则其重心的坐标为；
②为的重心，特别地为的重心；
③为的垂心；
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
⑤的内心；
（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；
（4）向量中三终点共线存在实数使得且.
二、考点、题型及方法
考点1 平面向量的线性运算与坐标运算（模长、平行、垂直、夹角、投影等问题）
1、（上海）已知向量，若，则等于( )
（A）. （B）. （C）. （D）
解析：由题意得2-（-3）3=0，所以=。
2、（湖南卷文）在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )
A． B． C． D．
【解析】由余弦定理得所以选Ｄ.
3、（浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则 （ D ）
A． B． C． D．
4、（江西卷文）已知向量，， ，若 则= ．
答案： 【解析】因为所以.
5、(江苏)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若ab＝0，则实数k的值为________．
解析 由题意知：ab＝(e1－2e2)(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos －2kcos－2＝0，化简可求得k＝.
6、（浙江卷）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是
（A）1 （B）2 （C） （D）
解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。
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则的最大值是;或者利用数形结合, ，对应的点A,B在圆上,对应的点C在圆上即可.
7、(广东)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c(a＋2b)＝( )．
A．4 B．3 C．2 D．0
解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c(a＋2b)＝ca＋2cb＝0.故选D. 答案 D
8、（全国卷Ⅱ）已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
解：。故选C
9、（辽宁卷）平面向量a与b的夹角为，， 则
（A） (B) (C) 4 (D)12
【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4ab＋4b2＝4＋421cos60＋4＝12 ∴选B
10、(新课标全国)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p1：|a＋b|＞1⇔θ∈； p2：|a＋b|＞1⇔θ∈； p3：|a－b|＞1⇔θ∈；p4：|a－b|＞1⇔θ∈.其中的真命题是( )．
A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4
解析 由|a＋b|＝＝＞1，得2＋2cos θ＞1，∴cos θ＞－，∴0≤θ＜.
由|a－b|＝＝＞1，得2－2cos θ＞1，∴cos θ＜，∴＜θ＜π.∴p1，p4正确．答案 A
11、(全国文)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，ab＝－，则|a＋2b|＝( )．
A. B. C. D.
解析 依题意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4ab＝5＋4＝3，则|a＋2b|＝，故选B.
12、(湖北文)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )．
A．－ B. C. D.
解析 2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故夹角为，选C.
13、（宁夏）若，且，则与的夹角是 （ ）
A． B． C． D．
B
14、若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是______________.
错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.
正确解法: ，的夹角为钝角,
解得或 (1)
又由共线且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范围是
答案: .
训练1 设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
错因：忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况，正解：A
训练2 已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______
（答：或且）；
15.（浙江卷文）已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是
16、
17、
(舍负).
18.（陕西卷文）关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
解：①，向量与垂直②
③构成等边三角形，与的夹角应为所以真命题只有②。
考点2 向量的数乘的几何意义
1.（江西卷文）如图，正六边形中，有下列四个命题：
A．
B．
C．
D．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【解析】, ∴对取的中点,则,
∴对设, 则,而,∴错
又,∴对∴真命题的代号是
2、（辽宁卷）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。
依题∴答案：A
3、在中，，若点满足，则=（ ）．
A. B. C. D.
【解法一】∵ ∴
∴．
4.(山东卷)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。答案：B。
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，
5、（湖北文）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ Ｂ ）
A． B． C． D．
训练（1）已知，求在方向上的投影
（2）已知，求在方向上的投影
6、（安徽文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= ______。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】设、则 , ,代入条件得【答案】4/3
7.（天津卷）如图，在平行四边形中，，
则 .
解析：令，，则
所以.
8、（安徽）在四面体中，为的中点，为的中点，则 （用表示）．
9、（湖北）5．已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=
A．2 B．3 C．4 D．5
10、（湖南）在中，=90AC=4，则等于
A、-16 B、-8 C、8 D、16
11、（四川文）（6）设点是线段的中点，点在直线外，， ，则
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
解析：由＝16，得|BC|＝4
＝4
而
故2
答案：C
12 若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：2）
考点3 平面向量的综合运用
1、平面向量与线性规划
(福建卷)已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是( )．
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]
2、平面向量与函数
例题 (北京)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)(xb－a)是( )．
A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数 C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数
3、平面向量与三角函数
例题1 (安徽卷)△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝.
(1)求； (2)若c－b＝1，求a的值．
先求sin A，再利用面积公式求bc，最后利用数量积及余弦定理可解决．
由cos A＝，得sin A＝ ＝.(2分)
又bcsin A＝30， ∴bc＝156.(4分)
(1)＝bccos A＝156＝144(8分)
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2156＝25，又a＞0(10分)
∴a＝5.(12分)
训练1、（山东文）在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
解：（1）
又 解得．
，是锐角． ．
（2）由， ， ．
又 ． ．
． ．
训练2 已知向量，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，且，求的值．
解（Ⅰ）,.
, ,
即 . .
（Ⅱ）
，
，
.
4、平面向量与圆锥曲线的综合
例题1 设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
解：（Ⅰ）解法一：易知,所以，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
例题2 求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.
解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
（Ⅰ）易知，，．∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，由
，，得．①
又为锐角，
∴又
∴
∴．②
综①②可知，∴的取值范围是．
考点4 重心、垂心、外心、内心等问题
例题 （海南）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析：;
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