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成都市高2016级“一诊”考试
数学试题(文科)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
2．在中，“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为
（A） （B） （C） （D）
4．设，，，则a, b, c的大小顺序是
（A） （B） （C） （D）
5．已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是
开始
结束
是
否
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
6．已知实数满足，则的最大值是
（A）2 （B）4 （C）5 （D）6
7．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
8．已知菱形边长为2，，点P满足，．若，则的值为
（A） （B） （C） （D）
9．已知双曲线的左右焦点分别为，，若上存在点使为等腰三角形，且其顶角为，则的值是
（A） （B） （C） （D）
10．已知函数 .若存在实数使得函数的值域为，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
甲
乙
4
7
5
8
7
6
9
9
2
4
1
11．设复数满足（其中为虚数单位），则 ．
12．已知函数.若，则 ．
13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为，.则的概率是 ．
14. 已知圆，过点的直线交该圆于两点，为坐标原点，则面积的最大值是 ．
15．某房地产公司要在一块矩形宽阔地面（如图）上开发物业 ，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点，．则当能开发的面积达到最大时，的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16．（12分）已知等比数列的公比，且．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求数列的前项和．
17．（12分）有编号为的9道题，其难度系数如下表：其中难度系数小于0.50的为难题．
编号
难度系数
0.48
0.56
0.52
0.37
0.69
0.47
0.47
0.58
0.50
（Ⅰ）从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率；
（Ⅱ）从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率．
18．已知函数． （Ⅰ）求函数取得最大值时取值的集合； （Ⅱ）设，，为锐角三角形的三个内角.若，，求的值．
19．（12分）如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求几何体的体积．
20．（13分）已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于的任意一点.（Ⅰ）求直线与的斜率之积；（Ⅱ）过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点.证明：以为直径的圆恒过点.
21．（14分）已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，设函数.若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．
数学（文科）参考答案及评分意见
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．B； 2．B； 3．C； 4．C； 5．D； 6．D； 7．A； 8．A； 9．D； 10．B．
第II卷（非选择题，共100分）
二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．； 12．； 13．； 14．； 15．．
三、解答题：(本大题共6小题，共75分)
16．解：（Ⅰ）
由题意，得，
或
……………………6分
（Ⅱ）
.
……………………12分
17．解：（Ⅰ）记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件，9道题中难题有，，，四道.
∴ ……………6分
（Ⅱ）记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件，则基本事件为：，，，，，共6个；难题中有且仅有，的难度系数相等.
∴ ……………12分
18．解：（Ⅰ）
……………………3分
要使取得最大值，须满足取得最小值.
……………………5分
当取得最大值时,取值的集合为 ……………………6分
（Ⅱ）由题意，得
. ………………9分
，
………………12分
19．解：（Ⅰ）如图，过点作于，连接
平面平面，平面
平面平面于
平面
又平面，
四边形为平行四边形.
平面，平面
平面 ………6分
（Ⅱ）连接.由题意,得.
平面平面平面于
平面.
，平面，平面
平面
同理，由可证，平面
于D，平面，平面，
平面平面
到平面的距离等于的长.
为四棱锥的高,
……………………………12分
20．解：（Ⅰ）.设点.
则有，即
……………………4分
（Ⅱ）设，，与轴不重合，∴设直线.
由得
由题意,可知成立，且 ……（*）
将（*）代入上式，化简得
∴，即以为直径的圆恒过点． ………………13分
21.解：（Ⅰ）的定义域为，
①当时，.
由得或.∴当，时，单调递减.
∴的单调递减区间为,.
②当时，恒有，∴单调递减.
∴的单调递减区间为.
③当时，.
由得或.∴当，时，单调递减.
∴的单调递减区间为,.
综上，当时，的单调递减区间为,；
当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为,. ………6分
（Ⅱ）在上有零点，
即关于的方程在上有两个不相等的实数根.
令函数.
则. 令函数.
则在上有.
故在上单调递增.
，
当时，有即.∴单调递减；
当时，有即，∴单调递增.
，，
的取值范围为 …………14分
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