《高三数学立体几何综合训练（文）人教实验版（A）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学立体几何综合训练（文）人教实验版（A）.doc（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高三数学立体几何综合训练文人教实验版A【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何综合训练二. 重点、难点：比照两种方法解决同一个立体几何问题【典型例题】例1 如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且DAB=60的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中点。 1求二面角O1BCD的大小； 2求点E到平面O1BC的距离。解法一：1过O作OFBC于F，连接O1F OO1面AC，BCO1F，O1FO是二面角O1BCD的平面角 OB=2，OBF=60，OF=在RtO1OF在，tanO1FO= O1FO=60 即二面角O1BCD为602在O1AC中，OE是O1AC的
2、中位线，OEO1COEO1BC，BC面O1OF，面O1BC面O1OF，交线O1F.过O作OHO1F于H，那么OH是点O到面O1BC的距离，OH=点E到面O1BC的距离等于解法二：1OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如下列图的空间直角坐标系如图底面ABCD是边长为4，DAB=60的菱形，OA=2，OB=2，那么A2，0，0，B0，2，0，C2，0，0，O10，0，3设平面O1BC的法向量为=x，y，z，那么，那么z=2，那么x=，y=3，=，3，2，而平面AC的法向量=0，0，3cos=，设O1BCD的平面角为， cos=60.故二面角O1BCD为602设点E到平面O1BC
3、的距离为d，E是O1A的中点，=，0，那么d=点E到面O1BC的距离等于。例2 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。1证明：D1EA1D；2当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离；3AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为。1证明：连，在长方体ABCDA1B1C1D1中，为在平面的射影，而AD=AA1=1，那么四边形是正方形，由三垂线定理得D1EA1D 2解：以点D为原点，DA为轴，DC为轴建立如下列图的直角坐标系。那么、那么，设平面的法向量为 ，记 点A到面ECD1的距离3解：设那么，设平面的法向量为，记而平面ECD的法向量，那么二
4、面角D1ECD的平面角当AE=时，二面角D1ECD的大小为。例3 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA平面ABCD，且PA=2AB1求证：平面PAC平面PBD；2求二面角BPCD的余弦值。解：1证明：PA平面ABCD PABD ABCD为正方形 ACBD BD平面PAC又BD在平面BPD内， 平面PAC平面BPD 2解法一：在平面BCP内作BNPC垂足为N，连DN， RtPBCRtPDC，由BNPC得DNPC； BND为二面角BPCD的平面角，在BND中，BN=DN=，BD= cosBND =解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，
5、在平面BCP内作BNPC垂足为N连DN， RtPBCRtPDC，由BNPC得DNPC； BND为二面角BPCD的平面角设解法三：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作AMPB于M、ANPD于N，易证AM平面PBC，AN平面PDC，设二面角BPCD的平面角与MAN互补二面角BPCD的余弦值为 例4 在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点。1求证：AF平面PEC；2求PC与平面ABCD所成角的大小；3求二面角P一EC一D的大小解：1取PC的中点O，连结OF、 OE FODC，且F
6、O=DCFOAE 又E是AB的中点，且AB=DC FO=AE四边形AEOF是平行四边形 AFOE又OE平面PEC，AF平面PECAF平面PEC2连结ACPA平面ABCD，PCA是直线PC与平面ABCD所成的角在RtPAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 3作AMCE，交CE的延长线于M连结PM，由三垂线定理得PMCEPMA是二面角PECD的平面角由AMECBE，可得，二面角P一EC一D的大小为 解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系那么A00，0，B2，0，0，C2，l，0D0，1，0，F0，E1，0，0，P0，0，11取PC的中点O，连结OE，那么O1，又OE平面PEC，AF平面P
7、EC，AF平面PEC 2由题意可得，平面ABCD的法向量即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 3设平面PEC的法向量为那么，可得，令，那么 由2可得平面ABCD的法向量是二面角P一EC一D的大小为 例5 在直三棱柱中，A1A=AB=3，AC=3，、Q分别为棱BB1、CC1上的点，且。1求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小；2在线段A1B不包括两端点上是否存在一点M，使AM+MC1最小？假设存在，求出最小值；假设不存在，说明理由。解：1建立如下列图空间直角坐标系AA0，0，0，P3，0，Q0，3，2设平面APQ的一个法向量为令，那么平面ABC的一个法向量平面APQ与面ABC所成的锐角大小
8、为452沿A1B将面A1BC1与面A1BA展开，连结AC1与A1B交于点M，此时AM+MC1有最小值又C1A1面ABB1A1，C1A1A1BAA1C1中，AA1C1=135AC1=存在点M，使AM+AC1取最小值为例6 如图，四棱锥PABCD中、底面ABCD是边长为2的正方形，PBBC，PDCD，且PA=2，E为PD中点。1求证：PA平面ABCD；2求二面角EACD的大小；3在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？假设存在，确定点F的位置，假设不存在，请说明理由。4假设F为线段BC的中点，求点D到平面PAF的距离。解法一：1 底面ABCD为正方形， BCAB，又BCPB BC平
9、面PAB BCPA 同理CDPA PA平面ABCD2设M为AD中点，连结EM，又E为PD中点，可得EM/PA从而EM底面ABCD，过M作AC的垂线MN，垂足为N，连结EN由三垂线定理知ENAC， ENM为二面角EACD的平面角在中，可求得EM=1，MN= 二面角EACD的大小为3由E为PD中点可知，要使得点E到平面PAF的距离为即要求点D到平面PAF的距离为过D作AF的垂线DG，垂足为G PA平面ABCD 平面PAF平面ABCD DG平面PAF即DG为点D到平面PAF的距离 DG= 设BF=，由ABF与DGA相似可得 ，即1 在线段BC上存在点F，且F为BC中点，使得点E到平面PAF的距离为4
10、过D作AF的垂线DG，垂足为G PA平面ABCD 平面PAF平面ABCD DG平面PAF DG为点D到平面PAF的距离由F为BC中点，可得AF= 又 ABF与DGA相似可得， 即点D到平面PAF的距离为解法二：1同解法一2建立如下列图的空间直角坐标系A，那么A0，0，0，C2，2，0，E0，1，1，设为平面AEC的一个法向量，那么，又， 令，那么，得又是平面ACD的一个法向量设二面角EACD的大小为，那么 二面角EACD的大小为3设F2，t，0，为平面PAF的一个法向量，那么，又 令，那么，得，又 点E到平面PAF的距离为 ，解得，即F2，1，0 在线段BC上存在点F，且F为BC中点，使得点E
11、到平面PAF的距离为4 F为BC中点 F2，1，0设为平面PAF的一个法向量，那么又 令，那么，得，又 点D到平面PAF的距离为例7 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，ANSC，且交SC于点N。1求证：SB/平面ACM；2求二面角DACM的大小；3求证：平面SAC平面AMN。解法一：1连结BD交AC于E，连结ME ABCD是正方形， E是BD的中心 M是SD的中点 ME是DSB的中位线 ME/SB又 ME平面ACM，SB平面ACM SB/平面ACM2取AD中点F，那么MF/SA，作FQAC于Q，连结MQ SA底面ABCD MF底面
12、ABCD FQ为MQ在平面ABCD内的射影 FQAC MQAC FQM为二面角DACM的平面角设SA=AB=，在中， 二面角DACM的大小为3由条件得DCSA，DCDA DC平面SAD AMDC又 SA=AD，M是SD的中点， AMSD AM平面SDC SCAM 由SCAN， SC平面AMN又SC平面SAC 平面SAC平面AMN解法二：1同解法一2如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A，由于SA=AB，可设AB=AD=AS=1，那么A0，0，0，B0，1，0，C1，1，0，D1，0，0，S0，0，1，M SA底面ABCD 是平面ABCD的一个法向量，=0，0，1设平面ACM的一个法向量为
13、，那么，即 令，那么 二面角DACM的大小为3 又 且ANAM=A SC平面AMN，又SC平面SAC 平面SAC平面AMN例8 如图，直三棱柱A1B1C1ABC中，C1C=CB=CA=2，ACCB。D、E分别为棱C1C、B1C1的中点。1求A1B与平面A1C1CA所成角的大小；2求二面角BA1DA的大小；3在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面A1BD？假设存在，确定其位置并证明结论；假设不存在，说明理由解法一：1 A1B1C1ABC为直三棱柱， CC1底面ABC， CC1BC ACCB， BC平面A1C1CA BA1C为A1B与平面A1C1CA所成角，BA1C= A1B与平面A1C1CA所
14、成角为2分别延长AC，A1D交于G，过C作CMA1G于M，连结BM BC平面ACC1A， CM为BM在平面A1C1CA内的射影 BMA1G， CMB为二面角BA1DA的平面角平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点 CG=2，DC=1，在直角三角形CDG中，CM= ，即二面角BA1DA的大小为3在线段AC上存在一点F，使得EF平面A1BD，其位置为AC中点证明如下： A1B1C1ABC为直三棱柱， B1C1/BC 由1知BC平面A1C1CA B1C1平面A1C1CA EF在平面A1C1CA内的射影为C1F，F为AC中点 C1FA1D EFA1D同理可证EFBD， EF平面A1BD
15、 E为定点，平面A1BD为定平面，故点F惟一解法二1同解法一2 A1B1C1ABC为直三棱柱，C1C=CB=CA=2，ACCBD、E分别为C1C、B1C1的中点，建立如下列图的坐标系得C0，0，0，B2，0，0，A0，2，0，C10，0，2，B12，0，2，A10，2，2，D0，0，1，E1，0，2 ，设平面A1BD的法向量为，即，得 平面ACC1A1的法向量，即二面角BA1DA的大小为3在线段AC上存在一点F，设F0，0使得EF平面A1BD欲使EF平面A1BD，由2知，当且仅当 ， 存在惟一一点F0，1，0满足条件，即点F为AC中点例9 如图：平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD
16、为直角三角形，PAD=90，且AD=2，又二面角PBCD的大小为45，E，F，G分别为PA，PD，CD的中点。1求证：PB/平面EFG；2求异面直线EG与BD所成的角；3在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8，假设存在，求出CQ的值；假设不存在，说明理由。建立如图空间直角坐标系，那么A0，0，0，B2，0，0，C2，2，0，D0，2，0，P0，0，2，E0，0，1，F0，1，1，G1，2，01设平面EFG的一个法向量，取那么 PB平面EFG PB/平面EFG 2 ， 即EG与BD所成的角为3设存在Q点，并设Q，平面EFQ的一个法向量为， 即Q，2，0，且综上所述：线段C
17、D上存在点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8且CQ=例10 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=，AA1=，D为BC的中点，E为CC1上的点，且CE=。1求证：BE平面ADB1；2求二面角BAB1D的大小1以A点为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系Axyz，可知A0，0，0，B，0，0，C0，0，D，B1，E可得，于是得，可知BEAD，BEDB1，又ADDB1=D，故BE平面ADB12由1知平面ADB1的法向量，面BAB1的法向量于是故二面角BAB1D的大小为【模拟试题】1. 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，E为AB中点，将B
18、点沿线段EC折起至点P，连结PA，PC，PD，取PD的中点F。1求证：AF/平面PEC；2假设平面PEC平面AECD，求异面直线PE，CD所成的角；3在条件2下，求F点到平面PEC的距离。 2. 如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=AC，D是PB上一点，且CD平面PAB。1求证：AB平面PCB；2求二面角CPAB的大小的余弦值。 3. 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD底面ABCD，E为侧棱PD的中点。1试判断直线PB与平面EAC的关系不必证明；2求证：AE平面PCD；3假设AD=AB，试求二面角APCD的正切值；4当为何值时，PB
19、AC。 4. 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1中点。1求二面角A1BDM的大小；2求四面体A1BDM的体积。【试题答案】1.1证明：取PC的中点G，连结GE，GF，由条件知GF/CD，EA/CD，所以GF/EA 那么四边形GEAF为平行四边形 FA/GE且GE平面PEC AF/平面PEC 2平面PEC平面AECD，取CE的中点M PM平面AECD 在AEM中， PM=BM= PE=BE=EA= PA= EA/CD，PE，CD所成的角为PEA在AEP中，求得PEA=120，所以PE，CD所成的角为603 AF/平面PEC 点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的
20、距离作AHCE交CE的延长线于H，平面PEC平面AECD AH平面PEC AH= 点F到平面PEC的距离即点A到平面PEC的距离为 2.1解： PC平面ABC，AB平面ABC PCAB CD平面PAB，AB平面PAB CDAB 又PCCD=C AB平面PCB2解法一：取AP的中点E，连结CE、DE PC=AC=2， CEPA，CE= CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA CED为二面角CPAB的平面角由1AB平面PCB ABBC又 AB=BC，AC=2，求得BC=在中，在中， 二面角CPAB大小为2解法二： ABBC，AB平面PBC，过点B作直线PA，那么AB，BC，以BC、BA，
21、所在直线为、轴建立空间直角坐标系如图设平面PAB的法向量为，A0，0，P，0，2，C，0，0 ，那么，即，解得，令得，设平面PAC的法向量为，那么，即解得，令，得 二面角CPAB大小为2解法三： CD平面PAB， 是平面PAB的一个法向量取AC中点F， AB=BC=， BFAC又PC平面ABC，有平面PAC平面ABC BF平面PAC， 是平面PAC的一个法向量，设， 即，得由1知， ，而， ， ， 二面角CPAB大小为 3. 解法1：1PB/平面EAC2正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，AEPD，又面PDC面PAD=PD所以，AE平面PCD3在PC上取点M使得PM=PC由于正三角形PAD
22、及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC所以，在等腰直角三角形DPC中，EMPC连结AM，因为AE平面PCD，所以，AMPC所以，AME为二面角APCD的平面角在中，即二面角APCD的正切值为4设N为AD中点，连结PN，那么PNAD又面PAD底面ABCD，所以，PN底面ABCD所以，NB为PB在面ABCD上的射影要使PBAC，需且只需NBAC在矩形ABCD中，设AD=1，AB=，那么解之得：所以，当时，PBAC解法2：设N为AD中点，Q为BC中点，那么因为PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，PNAD，QNAD，又因为侧面PAD底面ABCD，所以，PN面ABCD，QN面P
23、AD。以N为坐标原点，NA，NQ，NP所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，设AD=1，AB=，那么P，B，A，C，D，E1PB/平面EAC2，所以，又PDDC=D，PD，DC面PDC，所以，AE平面PCD3当时，由2可知：是平面PDC的法向量设平面PAC的法向量为，那么，即，取，可得：所以，向量与所成角的余弦值为：所以，又由图可知，二面角APCD的平面角为锐角，所以，二面角APCD的平面角就是向量与所成角的补角，其正切值等于4，令，得所以，所以，当时，PBAC 4.1在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，取BD中点为O，连结OM，OA1 BM=DM=，A1B=A1D=，从而A1OBD，MOBD A1OM为二面角A1BDM的平面角在A1OM中，OM=A1O=，而从而由勾股定理可知：A1OM=902由1可知A1O面BDM，从而四面体A1BDM的体积