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1、向量组的线性相关性 -习题课如何正确理解线性相关（无关）的定义判断下列命题是否正确。如果对，加以证明；如果错，举出反例。(1) 若有不全为 0 的数m,21使01111mmmmbbaa成立, 则maa,1线性相关 , mbb,1亦线性相关 . 解：错。原式可化为0)()(111mmmbaba取mmmbeabeabea,222111其中mee,1为单位向量 , 则原式成立 , 而maa,1；mbb,1均线性无关。(2) 若向量组maaa,21是线性相关的 , 则其中每个向量都是其余向量的线性组合。解 错。反例 1：设)0 ,0 ,0, 1(11ea，032maaa满足maaa,21线性相关 ,
2、但1a不能由,2maa线性表示 . 反例 2：)0 ,0 , 1 (1a，)0, 0, 12（a，)1 ,0 ,0(3a(3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量，那么该向量组线性相关。解：不一定。因为任何一个向量组都有一个性质：系数全为 0 的线性组合一定是零向量。若还有系数不全为零的线性组合也是零向量，则线性相关；否则线性无关。(4) 若 a 能表示为mmaaa11则向量组aaam,1线性相关 . 解：正确。(7) 若有一组不全为0 的数m,21使0mm11成立, 则maa,1线性无关 . 解：错。任何一组数满足上式才行。(6) 若021m时，有0mm11成立, 则maa,1线性无关 .
3、解：错。将“若 ,”改为“只有 , ” ，结论才正确。反例：)0 ,0 , 1(1a，)0, 1 , 02（a，)0 , 1 , 1(3a，线性相关；)0 ,0 , 1 (b1，)0, 1 , 0b2（，)1 ,0 ,0(b3，线性无关。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - （5）若向量 b 不能由向量组maa,1线性表出，则向量组 b,maa,1线性无关。解：不一定。反例 1：)0 ,0 ,0(1a，)1 , 1 ,
4、 12（a，)0, 0, 1(b，线性相关；反例 2：)0, 1 ,0(1a，) 1 , 1 , 12（a，)0, 0, 1(b，线性无关。正确命题为：如果maa,1线性无关，且向量 b 不能由向量组maa,1线性表出，则向量组 b,maa,1线性无关。其逆否命题为：设maa,1线性无关，而向量组 b,maa,1线性相关，则B可由maa,1线性表出，且表示法唯一。（8）若零向量只能用唯一的方式表示成向量组maa,1的线性组合，则maa,1线性无关。解：正确。（9）若只有当m,21全为 0 时, 等式01111mmmmbbaa才能成立 , 则maa,1线性无关 , mbb,1亦线性无关 . 解：
5、由01111mmmmbbaa ( 仅当01m) mmbababa,2211线性无关，但若取021maaa取mbb,1为线性无关组满足以上条件 , 但不能说是maaa,21线性无关的 . (10) 若maa,1线性相关 , mbb,1亦线性相关 , 则有不全为 0的数, m,21使0, 01111mmmmbbaa同时成立 . 解：Ta)0, 1(1Ta)0, 2(2Tb)3, 0(1Tb)4,0(221221121221143020bbaa021与题设矛盾 . 如何证明两向量组等价1. 根据等价的定义证之。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
6、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 例 1：向量组与其最大无关组等价。例 2：两等价的向量组中分别任取一个最大无关组，证明这两个最大无关组等价。例 3：设向量 b 可由向量组r1,aa线性表出，但 b 不能由向量组1r1,aa线性表出，试证向量组（ I ）r1,aa与向量组（ II ）b,1r1，aa等价。2. 对于具体两向量组，可利用初等变换，证明它们等价。方法：先对（ I ，II ）进行初等行变换，将I 化为等价标准形，看II是否能被 I 表示；再地（ II ，I ）进行初等行变换，将II化为标准形，
7、看 I 是否能被 II表示。如何证明向量组相关（或无关）1设144433322211,aabaabaabaab, 证明向量组4321,bbbb线性相关 . 证明设有4321,xxxx使得044332211bxbxbxbx则0)()()()(144433322211aaxaaxaaxaax0)()()()(443332221141axxaxxaxxaxx(1) 若4321,aaaa线性相关 , 则存在不全为零的数4321,kkkk, 411xxk;212xxk;323xxk;434xxk; 由4321,kkkk不全为零 , 知4321,xxxx不全为零 , 即4321,bbbb线性相关 . (2
8、) 若4321,aaaa线性无关 , 则000043322141xxxxxxxx011000110001110014321xxxx由01100011000111001知此齐次方程存在非零解则4321,bbbb线性相关 . 综合得证 . 2设rraaabaabab2121211, 且向量组raaa,21线性无关 , 证明向量组rbbb,21线性无关 . 证明设02211rrbkbkbk，则prprrakkakkakk)()()(22110rrak因向量组raaa,21线性无关 , 故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9、名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 000221rrrkkkkkk0001001101121rkkk因为0110011011故方程组只有零解则021rkkk所以rbbb,21线性无关3设naaa,21是一组n维向量 , 已知n维单位坐标向量neee,21能由它们线性表示 , 证明naaa,21线性无关 . 证明n维单位向量neee,21线性无关不妨设 : nnnnnnnnnnakakakeakakakeakakake22112222121212121111所以TnTTnnnnnnTnTTaaakkkkkkkkkeee2121222211121121两边取行列式，得TnTTnnnnnnTnTTaaakkkkkkkkkeee2121222211121121由002121TnTTTnTTaaaeee即n维向量组naaa,21所构成矩阵的秩为n故naaa,21线性无关 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -