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1、学习好资料欢迎下载等比数列的前n 项和三明一中杨晓兰一、教学内容分析等比数列的前n 项和是高中数学人教A版必修 5 第二章第五节的内容，分两个课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用。等比数列前n项和是教材中很重要的一块内容，是“等差数列”，“等差数列前n 项和”与“等比数列”内容的延续， 具有承上启下的作用。它对学生进一步理解等比数列以及数列的知识有很重要的作用。此公式的推导过程中所渗透的类比，分类讨论、 整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养二、学情分析从学生的思维特点看，很难想到变加为减。在学完等差数列的前n 项和的基础上，大部分学
2、生会容易把本节内容与其从公式的形成、推导、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。 但其实本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这其中需要学生强烈的探究及观察能力。另外对于 q=1 这一特殊情况， 学生往往容易忽视，尤其是在使用公式的过程中容易出错。三、教学设计意图等比数列的前n 项和公式这一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式， 等差数列的前n 项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。（1）对这节教材的理解和根据高中学生的数学思维特征，确定的教学模式和教学方法以及要实现的教学目标。（2）在教学过程中，
3、要注重激发学生的学习热情，调动学生潜在的学习积极性，启迪学生的思维， 突破教材难点。 利用问题探究式的教学方法对该课程进行教学，在师生的交流合作中，渗透数学知识。四、教学目标：1、 知识与技能目标： 通过本节学习， 使学生会用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，会用等比数列前n 项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和问题，将等比数列前n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题。2、过程和方法目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练， 提高学生数学素养、 培养学生分类与整合的数学思想及学生的逻辑思维。3、情感态度与价值观目标
4、：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题，了解社会，认识社会，形成科学的世界观和价值观。五、教学的重点与难点重点：等比数列前n 项和公式的推导及灵活应用，及生产和社会生活中有关的实际问题。难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关生产实际及社会生活中的热点问题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载六、教学过程问题与情境学情预设设计意图一、创设情境：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时
5、的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西萨说：请给我棋盘的64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放2 粒，第三格放4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64 格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊为什么呢？学生开始讨论，分析：数学建模生：6322,2,2,1，的和，用计算器一项一项加。（学生笑）师：可以啊！但是这样工程非常浩大，计算相当繁琐。师：注意观察每项的特征，及其项与项间的联系。生：由于从第二项起每项与前一项的比值是同一个常数 2，所以可以把它看成一个等比数列，因此我们要求出这个等比数列的前64 项和632642221S。师：对！可是这要怎么加？探讨 :
6、我们观察发现： 若将等式右边的每一项乘以一个 2，就得到他后面相邻的一项。所以：632642221S646326422222S（学生发现相同项）将两个式子错位对齐发现有相同的部分，可以通过减法消去，- 得：126464S（生：原来要变加为减）麦子质量超过7000 亿吨！国王不可能满足西萨的要求。师： 我们将这样的求和方法叫做“错位相减法” 。你们有没有发现其中的关键？谁能说说这种计算的关键是什么？生：它的关键在于等式两边要同时乘以公比。还要错位相减。师：那么我们可以从特殊到一般，得出等比数列的前n项和吗？以一个故事做为切入点，该故事内容紧扣本节课主题及重点，又便于引起学生的注意，调动学生学习本
7、节课的趣味性和积极性。学生主动思考回答问题，教师给予肯定。通过教师引导，学生观察发现该问题为求和，求和就用加法。但是要怎么加？问题提出，形成繁难的情境，激起了学生的求知欲。探讨帮助学生充分感受等比数列前n 项和的 公 式 推 导 关 键 是 变“加”为“减”。两个式子对其了书写，便于学生观察发现相同项。利用减法消去相同项，得到答案。这让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。对 特 殊 题 目 的 归 纳 小结，有助于学生巩固理解新的方法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8、 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载二、提出问题：1、一般地，等比数列na的前n项和?1321nnnaaaaaS即求：211111.nnSaa qa qa q师：设等比数列na，首项为a1，公比为q，如何求前n项和ns？（学生众说纷纭，跃跃欲试。此时由学生表达，教师书写）推导过程：生：nnnaaaaaS1321即211111.nnSaa qa qa q等式左右两边同乘公比q得：231111.nnqSa qa qa qa q利用错位相减，把两个式子错位对齐发现：211111.nnSaa qa qa qnnnqa
9、qaqaqaqS111211.、的右边有很多相同的项。用式两边分别减去式两边得111nnq Saa qqqaaSnn111问 题 的 提 出 的 水 到 渠成，顺势引导学生将结论一般化，情境为等比数列前n项和的提出及其证明做好铺垫。在教师的指导下，学生体验从特殊到一般，利用错位相减法，自己探究公式，从而获得学习的快乐。证明过程的关键是在于让 学 生 明 白 错 位 相 减法，以及它的关键在于等式两边要同时乘以公比q。 书写时错位对齐，给予视觉冲击，加深印象。2、由111nnq Saa q得到qqaaSnn111对不对？这里q能不能等于1？q要是等于1， 这是个什么数列， 前n项和ns等于什么？
10、（提醒引导学生注意q1的取值，如果q1为 0，是不能直接除掉的，所以当所给数列的公比是一个字母时，一定要讨论）生：当1q时，这个等比数列变成一个常数列，也可看成一个等差数列，所以1nSna (1)q师：当1q时，等比数列的前n 项和的公式为11(1).1nnaqSqq因此等比数列na前 n 项和公式111111qqqaqnaSnn师：等差数列前n 项和公式不唯一，至少我们学了两个表达形式，那等比数列前n 项和公式也有通过反问精讲， 一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受， 变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。 这一环节非常重要， 尽
11、管时间有时比较少， 甚至仅仅几句话， 然而却有画龙点睛之妙用。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载不一样的表达形式吗？生：可以用等比数列的通项公式11nnaa q因为11nnaa q，所以公式还可以写成1(1).1nnaa qSqq师：很好！公式中我们要注意几点：（1） 、n 为等比数列的项数；（2） 、1a，na，n，q，nS“知三求二”；（3） 、等比数列求和要对“1q”与“1q”分类讨论；（4
12、）等比数列前n 项和公式的特征：111(1)111nnnaqaaSqqqq，即nnSkkq形式，其中11akq，1q。若等比数列前n 项和baqSnn，则0ba教师再次追问，推动学生自主探索发现，营造一个让学生主动思考、观察、讨论的学习气氛。公式得出后，教师帮助学生强调注意事项，有助 于 学 生 正 确 理 解 记忆，公式特征的归纳有助于加快学生的解题速度。三、课堂演练例 1、 求下列等比数列前8项的和：（1）111,;248（2）19127,0.243aaq（学生自主解答，再请同学到黑板上演示）解： （1）8,21,211nqa256255211)211(2188S（2）3127243188
13、19qqqaa又310qq811640311)311(2788S例1 通过直接套用公式、变式运用公式、这两个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。深刻体会“知三求二” ， 强调方程与函数的思想。等比数列涉及到指数问题，有时解题计算很繁琐，要注 意 计 算 化 简 中 的 技巧，灵活运用性质。通过学生板书演示，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。例 2、一个热气球在第一分钟上升了 25m 的高度，在以后的每一分（教师引导学生探究，根据题意， 从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个例 2 是等比数列前n项和在实际生活中的典型应用。通过身边的例子，名师
14、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80% ， 这个热气球上升的高度能超过125m吗？已知首项和公比求前n 项和的问题。）解：用na表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意：nnaa541所以数列na是首项为251a， 公比54q的等比数列，热气球在前n分钟上升的总高度为12554112554154125111nnnnqqaS所以这个热气球上升的总高度不可能超
15、过125 米。让学生感受数学在生活中的应用，并培养学生数学建模的能力和应用知识解决实际问题的能力。例 3、等比数列na的前n项和为rSnn3，则?r生：先求321,aaa，利用等比中项求出r师：很好，这种方法利用了方程的思想，一个未知数，只需要一个方程。教师板书：1863321aara2312aaaa1r生：把na通项公式求出来，再利用na是等比数列，就可以了。师：那我们试试看，已知nS求na要注意分1,1 nn两个情况教师板书：当1n时，ra31当1n时，1132nnnnSSana是等比数列，所以ra31也满足上式，1r生：等比数列na的前n项和为bqaSnn，则0ba101rr师：没错！这
16、是很简洁的方法。直接利用等比例题 3 的设置，活跃了学生的思维，加强了数学思想方法的训练，通过本题学习，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，还帮助学生感受等比数列前n 项和公式的特征，提高解题速度。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载数列前n项和的性质得到。例 4、求121nxxx的和生：可以看成是首项为1，公比为x的等比数列的前n项和xxxxxSnnn11111生：不对啊！要是
17、1x呢？生：那就没有意义了！要讨论啊！师：没错！你们分析的很正确。就是要讨论。解：记121nnxxxS当1x时，nSn当1x时，xxxxxSnnn11111综上所述：1,111,xxxxnSnn例4 是公比的讨论问题，解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行 分 类 讨 论 的 数 学 思想。提醒学生解题严谨。四、巩固提升巩固练习（课本第58 页）1、 （nnSqnaa,1知三求二）2 、应用题：等比数列前n 项和的实际应用。学生独立思考作答给学生充分的时间独立思考、应用公式解决问题。五、课堂小结、布置作业师生小结：引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极
18、回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。1、 1、知识小结：等比数列前n 项和公式；等比数列的前 n项和的简单运用；nnSqnaa,1知三求二；2、方法小结：从特殊到一般的方法；错位相减法；方程与函数的思想方法3、作业布置：优化训练P17 思考：求和1324321nnnxxxxS鼓励学生积极回答，以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力，也为了加深印象。作业布 置 帮 助 学 生 巩 固 所学，思考题的给出有助于学生克服疲倦及自满心理，继续探究。七、教学反思本节教学设计重视“过程与方法”。符合新课标理念，把重点放在公式的推导及应用上。一、创设教学情境，引起学生的兴趣情境创设是为了发展
19、学生的心理机能，激发学生的兴趣、求知欲等来增强教学效果而营名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载造的课堂氛围。 创设教学情境，让学生“触境生情”，既可以掌握数学知识和技能，又可以体验教学内容中的情感，使原本枯燥抽象的数学知识变得生动有趣。本节课通过数学史料引进课题，即可以扩展学生的数学视野，又能提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。二、不断探索讨论，激活学生的思想高中数学新课程的基本理念
20、是要丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法。 在教学中，教师鼓励学生积极参与教学活动，教授过程中要有教师的讲授和指导，更要有学生的自主探索与合作交流。鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。等比数列前n 项和公式的推导用了错位相减法，这种方法学生很难想到，求和都是用加，怎么会变成减法了呢？如果课上有足够的时间，可以让学生充分思考，说不定可以得到其他解答方法。比如：qaaaaaann12312qaaaaaann12132即qaSaSnnn1)1(11qqqaaSnn或者：112111nnnqaqaqaaSqaqSaaSqaqSaqaqaaqannnnnn11112111
21、1qaaqSSnnn1)1(11qqqaaSnn三、例题设计层层深入，有效地帮助学生掌握公式例题设计由浅入深，采用变式教学题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式变式运用公式研究公式特点循序渐进，让全体学生都参与其中，调动思维， 勇于回答。四、归纳小结，帮助学生巩固所学以问题的形式出现，引导学生回顾公式的生成过程、推导方法，鼓励学生积极回答，培养口头表达能力。然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。这节课在民主和谐的课堂气氛里，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索，不断创新的思维品质。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -