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1、高三数学复习课教学设计 利用空间向量求直线与平面所成的角 教学目标： 1、知识目标：会根据向量的坐标求直线与平面所成角的大小； 2、能力目标：通过复习指导，进一步提高学生灵活利用空间向量的坐标运算规律求空间角的大小，进一步提高学生空间想象能力、推理运算能力和分析解决问题能力。 3、情感目标：1、通过立体图形感知，感受利用空间向量坐标法求空间角的好处； 2、感知事物在一定的条件下可以互相转化，学会矛盾转化的辩证思维； 3、培养学生勤动口、勤动手、勤动脑的良好习惯和奋发向上的精神。 教学重点：利用向量的坐标求直线与平面所成角的大小； 教学难点：向量坐标的确定，立体几何问题的化归。 教学关键：如何恰
2、当建立空间直角坐标系及正确求出平面的一个法向量。 教学过程： 一、复习引入新课： 1、令 、 是空间两个非零向量， =（x1、y1、z1）， =（x2、y2、z2），则 . = 0 x1. x2+ y1 y2+ z1 z2=0 cos = = . 2、若 ，则向量 叫做平面 的一个法向量。 二、讲授新课： 前面我们用向量法求异面直线所成角的大小，感到十分方便。那么，利用向量法是否也能求直线与平面所成角的大小呢？由于直线与平面所成的角是用两直线所成的角来度量的，因此，我们可以象用向量法求异面直线所角的大小那样，用向量法求线面角的大小。 （一）利用空间向量求直线与平面所成角的大小 1、探究：如图，
3、直线 与平 所成的角为 ，直线 的方向向量 与平面 的法向量 所成的角为 , sin = 2、范例分析：（2005年广州二模第17题） 如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC， BAC=90，D、E、F分别是棱AB、BC、CP 的中点，AB=AC=1，PA=2。 求直线PA与平面DEF所成角的大小。 思路点拨：求直线PA与平面DEF所在成的角 可以转化为求直线PA的方向向量与该平面DEF的 一个法向量（或是直线PA在平面DEF内射影的方 向向量），但需要建立适当的空间直角坐标系。 解：以A为原点，AB、AC、AP所在 直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标 系A-xyz，如图示： 由AB
4、=AC=1，PA=2，得A（0，0，0） B（1，0，0） C（0，1，0） P（0，0，2） D（ ，0，0） E（ ， ，0） F（0， ，1） =（0，0，-2） =（0， ，0） =（- ， ，1） 设平面DEF的法向量为 =（x，y，z） 且 即 取z=1，则平面DEF的一个法向量为 =（2，0，1），设PA与平面DEF所成的角为 ，则 sin = 故直线PA与平面DEF所成的角为arcsin 反思、归纳：传统几何中直线与平面所成角的求法分三步：作角证明计算，而这里用向量法是把角的求解转化为向量的运算。用向量法求直线与平面所成角的解题步骤可分解为： 根据题设条件、图形特征建立适当的空
5、间直角坐标系； 设或得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标； 采用公式 进行计算，其中向量 是直线l方向向量， 可以是平面的一个法向量（也可以是直线l在平面内射影的方向向量）。 3、范例相关题巩固练习： A组： 1、（2004年江苏）在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1=4CP。求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小。 方法一： 解：以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图示： 则A（4，0，0）、B（4，4，0）、C（0，4，0） C1（0，4，4）、P（0，4、1） 易知平面BCC1B1的一个单
6、位法向量为 , 设AP与平面BCC1B1所成的角为， 则 直线AP与平面BCC1B1所成的角为 方法二： 解：以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图示： AB面BCC1B1， AP与平面BCC1B1所成的角就是APB 则A（4，0，0），P（0，4，1），B（4，4，0） 直线AP与平面BCC1B1所成的角为 2、（2004年广州二模第17题） 如图，在几何体ABCDE中，ABC是等腰三角形，ABC=90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点。 求AB与平面BDF所成角的大小。 解：以点B为原点，BA
7、、BC、BE所在的直 线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系B-xyz， 如图示：则B（0，0，0）， A（2，0，0）， C（0，2，0）， D（0，2，1）， E（0，0，2） F（1，0，1） =（0，2，1） =（1，-2，0） 设平面BDF的一个法向量为 =（x、y、z） 即： 取y=1，则平面BDF的一个法向量 =（2，1，-2） 设AB与平面BDF所成的角为 ,则 故直线AB与平面BDF所成的角为arcsin 3、（2002年上海）在直三棱柱ABOA1B1O1中，OO1=4，OA=4，OB=3，AOB=90，D是A1B1的中点，P是侧棱BB1上的一点，若OPBD，求OP与底面A
8、OB所成的角（结果用反三角函数表示）。 解：以点O为原点，OB、OA、OO1 所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间 直角坐标系O-xyz，如图示： 则B（3，0，0）， A（0，4，0）， A1（0，4，4）， D（ ）， 设点P（3，0，z），由 得 即P 即 容易看出平面AOB的法向量为 ， 设OP与面AOB所成的角为 ，则 OP与平面AOB所成的角为 。 B组： 1、（2004年韶关一模）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱B1C1和AD的中点。 求直线AD与平面BM D1N所成角的余弦值。 2、（2004年佛山一模）在以边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F
9、分别是BC和C1D1上的点， 。 求EF与平面A1BD所成的角的余弦值。 C组： 1、如图，已知直角梯形ABCD中， AB=BC=2AD，AS面ABCD，ADBC， ABBC，且AS=AB。 求直线SC分底面ABCD的夹角 的余弦。 2、（2006年惠州调研题第17题） 如图，直四棱柱ABDCA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB=2AD=2DC=2，E是B D1的中点，F为AB的中点。 求证：EF平面ADD1 A1； 建立空间直角坐标系Dxyz （DG为AB边上的高），若 ， 求A1F与平面DEF所成角的大小。 3、（2005年浙江） 如图，在三棱锥PABC中，ABBC， AB = BC = kPA，点O、D分别是AC、PC的 中点，OP底面ABC。 求证：OD平面PAB； 当 时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； 当k取何值时，O在面 PBC内的射影恰好为PBC 的重心？ 三、课堂小结 1、利用空间向量求直线与平面所成的角； 2、利用空间向量的坐标求空间的角关键是建立恰当的空间直角坐标系，建系的原则是使尽可能多的点在坐标轴上。 四、布置作业：