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1、.-相交线、三线八角知识回顾一、什么是相交线？如果直线与直线只有一个公共点，则称直线与直线相交，为交点，其中一条是另一条的相交线相交线的性质：两直线相交只有一个交点二、什么是对顶角？一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.三、什么是邻补角？两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.知识讲解1.相交线如图所示，直线与直线只有一个公共点，称直线与直线相交，为交点，其中一条是另一条的相交线相交线的性质：两直线相交只有一个交点2.邻补角如图中，和，和，和，和互为邻补角.互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。3.对顶角（
2、1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，和，和是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。 4.垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“于”（2）垂线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分
3、别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，1与5，2与6，3与7，4与8都是同位角.内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，3与5，4与6都是内错角同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，3与6，4与5都是同旁内角.看图识角：（1）“”型中的同位角.如图. （2）“”字型中的内错角，如图. （3）“U”字型中的同旁内角.如图. 同步练习板块一 相交线【例1】 判断正误： 三条直线两两相交有三个交点
4、（） 两条直线相交不可能有两个交点（） 在同一平面内的三条直线的交点个数可能为，（） 同一平面内的条直线两两相交，其中无三线共点，则可得个交点（） 同一平面内的条直线经过同一点可得个角（平角除外）（）【解析】 因为“两两相交”包含三条直线交于一点的情况 假设两条直线有两个交点，这说明经过两点的直线有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以两条直线相交只能有一个交点，不可能有两个 因为如下图三直线的位置关系如下： 【答案】；【例2】 平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？【解析】很容易得到最少的交点个数是个；对于最多的情况，不妨从简单情况入手，画图探索规律，从中发现
5、规律，平面内条直线两两相交最多有：个交点，那么平面内两两相交的6条直线最多有15个交点.【答案】最少有1个，最多有15个交点板块二 对顶角和邻补角【例3】 下列四个命题：如果两个角是对顶角，则这两个角相等如果两个角相等，则这两个角是对顶角如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角 其中正确的命题有 ( )A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【例4】 下列说法中正确的有（ ）一个角的邻补角只有一个；一个角的补角必大于这个角；若两角互补，则这两个角一定是一个锐角、一个钝角；互余的两个角一定都是锐角。A0个 B1个 C2个 D3个【解析】B; 一个角有两个邻补角
6、，所以是错的；一个角的补角可能大于、小于或是等于这个角，所以是错的；两个直角互补，所以是错的；是正确的【答案】B【例5】 如图所示，直线，相交于点，若，则_，_.【解析】， ，答案：， 【答案】，【例6】 下列图中和是对顶角的有（ ） A1对 B0对C2对D3对【解析】对顶角的识别：有公共顶点；两边均互为反向延长线邻补角的识别：有公共顶点；有一公共边；另一边互为反向延长线【答案】B【例7】 下列四个图中，与成邻补角的是（ ） A B C D【解析】C对顶角的识别：有公共顶点；两边均互为反向延长线邻补角的识别：有公共顶点；有一公共边；另一边互为反向延长线【答案】C【例8】 三条直线两两相交于同一
7、点时，对顶角有对，交于不同三点时，对顶角有对，则与的关系（ ）A B C D【解析】三条直线两两相交于同一点时，对顶角有6对，交于不同三点时，对顶角有6对，所以【答案】D【例9】 如图所示，两条直线相交，有 对对顶角，三条直线相交于同一点，有 对顶角；四条直线相交于同一点，有 对对顶角，条直线相交于同一点有 对对顶角【解析】两，六，十二，掌握探索方法，在探索过程中适时进行类比、归纳、概括这是一道探索规律题，要注意观察寻找变化的特征直线、相交，有两对对顶角；直线分别与、又各组成两对对顶角，所以、相交于同一点，有对对顶角；直线分别与、各组成两对对顶角，所以、相交于同一点有对对顶角；、相交于同一点，
8、有对对顶角【答案】两，六，十二，【例10】 如图所示，直线两两相交，求的度数. 【解析】，【答案】【例11】 已知：如图，直线、交于点，且，求的度数【解析】由对顶角相等可知，又，故从而由、互为邻补角可知，【答案】【例12】 如图，、交于点，求的对顶角和邻补角的度数【解析】由对顶角相等可知，故由、互为邻补角可知，由对顶角相等可知，的对顶角【答案】的对顶角为，的对顶角板块三 垂直和垂线段【例13】 下列说法中正确的是（ ）点到直线的距离是点到直线所作的垂线;两个角相等，这两个角是对顶角;两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直;连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短.A. B. C
9、. D. 【答案】C【例14】 如图，已知，垂足为，则点到直线的距离为线段 的长；线段的长为点 到直线 的距离【解析】，初学的同学做此题很容易做错，有一种线段太多不易判断的感觉，实际上在看图时，只要把一相关的线暂时隐藏，问题就可以解决例如：观察点到直线的距离时，眼中只有点与，然后自己画出其垂线段，再看所画线段与谁重合【答案】，【例15】 如图，点处是一座小屋，是一条公路，一人在处，此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？ 【解析】 走线段，因为两点之间线段最短；如图，过点作，垂足为，走线段，因为垂线段最短.【答案】如图【例16】 如图，直线与相交于，求和的度
10、数【解析】（垂直定义）（对顶角相等），（垂直定义）本题综合运用了两角互余、对顶角相等等性质由已知条件和观察图形，可知与互余，与互余，和的对顶角，利用这些关系可解此题【答案】；板块四 三线八角【例17】 如图，填空：与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角【解析】让学生讲出来即可【答案】与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错
11、角与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角与是两条直线与被第三条直线所截构成的同旁内角【例18】 下列图中1和2是同位角的是（ ）A.、 B.、 C.、 D.、【解析】D判断什么是同位角，图（1）、（2）、(5)中的1和2是同位角【答案】D【例19】 如图，判断下列各对角的位置关系：1与4；2与6；5与8；4与；3与5.【答案】1与4是同位角，2与6是内错角，5与8是对顶角，4与BCD是同旁内角，3与5是内错角.【例20】 找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的【答案】与是直线、被直线所截形成的同位角；与是直线、被直线所截形成的内错角；与是直
12、线、被直线所截形成的同旁内角；与是直线、被直线所截形成的同旁内角；【例21】 找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】与是直线、被直线所截形成的同位角；与是直线、被直线【例22】 找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】图中，与是直线、被直线所截形成的内错角；【例23】 如下图，图中与1 成同位角的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【答案】B【例24】 下图有 对内错角【解析】做此类型题：第一、要找三种关系角（同位角、内错角、同旁内角）关键在于寻找线段；第二、不同的线段找出来的三种关系角是不会重复；第三、在线段很多的时
13、候，要找出相同特点的线段的条数，只需算出一条线段的关系角的对数，故该特点的线段的关系角为在本题中，线段、，每条线段都有对内错角；线段、，每条线段都只有对内错角；线段、，每条线段都只有对内错角；线段、，每条线段都有对内错角；故总的内错角为：【答案】24【例25】 若平面上有条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对.【解析】每条直线都与另条直线相交，有个交点 ，每两个交点决定一条线段，共有条线段，而每条线段两侧各有一对同旁内角，共有条线段，总共有对同旁内角.【答案】24课后练习【习题1】 找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】图中，与是直线、被直线所截
14、形成的同位角.【习题2】 如图，找出图中用数字标出的角中的同位角、内错角和同旁内角【答案】同位角有：与、与、与；内错角有：与、与、与、与；同旁内角有：与、与、与、与【习题3】 用数字标出图中与是同位角的所有角【解析】的两条边所在的直线是，若把看成是第三条直线，则有：1）截直线及，得的同位角为；2）截直线及，得的同位角为；3）截直线及，得的同位角为；若把看成第三条直线，则有4）截直线，及，得的同位角为；5）截直线及，得的同位角为；6）截直线及得的同位角为【答案】的同位角有，【习题4】 如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池中，问从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短?画图表示，并说明设计的理由。【解析】答案如图。点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】如图【习题5】 条直线最多可将平面分成几部分？ 【解析】仍可以从简单情况入手，画图探索规律，(图可用上图)：1条直线最多可将平面分成2部分；2条直线最多可将平面分成4部分；3条直线最多可将平面分成7部分；4条直线最多可将平面分成10部分；发现规律，条直线最多可将平面分成：部分.【习题6】 如图，直线、交于，平分，求的度数 【解析】由、互为邻补角可知，又，故，由对顶角相等可知，又平分，故，从而可知，【答案】