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1、. 高中数学竞赛资料高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年全日制普通高 级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适 当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几 个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、 平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法
2、，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三 角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函 数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因 式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3. 初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯
3、 函数x，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。 容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 三、高中数学竞赛基础知识 第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字 母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合 A 中，称属xx 于 A，记为，否则称不属于 A，记作。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别Ax
4、xAx 表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集， 用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如有理数，分别表示有理数集和正实数集。0xx 定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 则 A 叫做 B 的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是BA ZN . B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是
5、 B 的子集，而且 B 中存在元素不 属于 A，则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集，.BxAxxBA且 定义 4 并集，.BxAxxBA或 定义 5 补集，若称为 A 在 I 中的补集。, 1 AxIxxACIA且则 定义 6 差集，。,BxAxxBA且 定义 7 集合记作开区间，集合,baRxbxax),(ba 记作闭区间，R 记作,baRxbxax,ba).,( 定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有： （1） （2）；);()()(CABACBA)()()(CABACBA （3） （4）);( 111 BACBCAC).( 111 BACBCAC 【证明】这里仅证（1）
6、 、 （3） ，其余由读者自己完成。 （1）若，则，且或，所以或)(CBAxAxBxCx)(BAx ，即；反之，则)(CAx)()(CABAx)()(CABAx 或，即且或，即且，即)(BAx)(CAxAxBxCxAx)(CBx ).(CBAx （3）若，则或，所以或，所以BCACx 11 ACx 1 BCx 1 AxBx ，又，所以，即，反之也有)(BAxIx)( 1 BACx)( 111 BACBCAC .)( 111 BCACBAC 定理 2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法n 1 m 中有种不同的方法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有 2
7、 mn n m 种不同的方法。 n mmmN 21 定理 3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不n 1 m 2 m 同的方法，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有n n m . 种不同的方法。 n mmmN 21 二、方法与例题 1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例 1 设，求证：, 22 ZyxyxaaM （1）；)( ,12ZkMk （2）；)( ,24ZkMk （3）若，则 MqMp,.Mpq 证明（1）因为，且，所以Zkk1, 22 ) 1(12kkk.12Mk （2）假设，则存在，使，由于和)(24ZkMkZyx, 22 24yxkyx
8、有相同的奇偶性，所以是奇数或 4 的倍数，不可能等于yx )( 22 yxyxyx ，假设不成立，所以24 k.24Mk （3）设，则Zbayxbaqyxp, 2222 )( 2222 bayxpq 22222222 aybxbyaaMyaxbybxa 22 )()( （因为） 。ZyaxbZyaxa, 2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则 A=B。BA AB 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足 ，求集合 M（用 A，B 表示） 。BAMBABAMBMA, 【解】先证，若，因为，所以MBA)()(BAxBAMA ，所以； MxMAx,MBA)( 再证，若，则1）若，则)
9、(BAMMx.BAMBAxAx ；2）若，则。所以BAMAxBxBAMBx).(BAM 综上，.BAM 3分类讨论思想的应用。 例 3 ，若02,01,023 222 mxxxCaaxxxBxxxA ，求CCAABA,.,ma . 【解】依题设，再由解得或，2 , 1A01 2 aaxx1 ax1x 因为，所以，所以，所以或 2，所以或 3。ABAAB Aa111a2a 因为，所以，若，则，即，CCAAC C08 2 m2222m 若，则或，解得CC1C2. 3m 综上所述，或；或。2a3a3m2222m 4计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9
10、，0的子集， （1）若，IBA 求有序集合对（A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。 【解】 （1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于IBA, 其中一个子集，10 个元素共有 310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以 集合对有 310个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步， 1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种， 由乘法原理，子集共有个，非空真子集有 1022 个。1024210 5配对方法。 例 5 给定集合的个子集：，满足任何两个子
11、集的交集非, 3 , 2 , 1nIk k AAA, 21 空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。k 【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同 1 2 n 在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，k 1 2 n kk 若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设，则，从而可以在 1 AAACA 11 个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。kAC1 1 2 n k 1 2 n k 6竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素个数，则A,BABABA ，需要xy 此结论可CB
12、ACBCABACBACBA 以推广到个集合的情况，即n n i kji jinkji jii n i i AAAAAAA 111 .) 1( 1 1 n i i n A 定义 8 集合的划分：若，且，IAAA n 21 ),1 (jinjiAA ji . 则这些子集的全集叫 I 的一个-划分。n 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1mn) 1( nn 个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有1mmn 一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5
13、整除的数的个数。 【解】 记，（2（2,1001,100, 3 , 2 , 1xxxxAI记为整除能被且 ，由容斥原理，5 ,1001,3 ,1001xxxCxxxB 3 100 2 100 CBAACCBBACBACBA ，所以不能被 2，3，5 整除的数有74 30 100 15 100 10 100 6 100 5 100 个。26CBAI 例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最 多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组
14、，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个 数。又因为 2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另一方面，当 时，恰有，且 S 满足题目条,2004,10, 7 , 4 , 2 , 1,11NkrttkrrS912S 件，所以最少含有 912 个元素。 例 8求所有自然数，使得存在实数满足：)2( nn n aaa, 21 . 2 ) 1( , 2 , 11 nn njiaa ji 【解】 当时，；当时，；当时， 2n1, 0 21 aa3n3, 1,
15、0 321 aaa4n 。下证当时，不存在满足条件。1, 5, 2, 0 4321 aaaa5n n aaa, 21 令，则 n aaa 21 0. 2 ) 1( nn an 所以必存在某两个下标，使得，所以或ji 1 nji aaa 111 1 nnn aaaa ，即，所以或， 2 1aaa nn 1 2 a1, 2 ) 1( 1 nnn aa nn a 2 ) 1( nn an 。1 2 a . （）若，考虑，有或，1, 2 ) 1( 1 nnn aa nn a2 n a 2 2 nn aa 2 2aaa nn 即，设，则，导致矛盾，故只有2 2 a2 2 nn aa 121 nnnn a
16、aaa . 2 2 a 考虑，有或，即，设，则3 n a 2 3 nn aa 3 3aaa nn 3 3 a 2 3 nn aa ，推出矛盾，设，则，又推出矛 0221 2aaaa nn 3 3 a 231 1aaaa nn 盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。4, 22 naan5n （）若，考虑，有或，即1, 2 ) 1( 2 a nn an2 n a 1 2 nn aa 3 2aaa nn ，这时，推出矛盾，故。考虑，有2 3 a 1223 aaaa2 1 nn aa3 n a 或，即=3，于是，矛盾。因此 2 3 nn aa nn aa3 3 a 3 a 123 nn aaaa ，
17、所以，这又矛盾，所以只有，所以3 2 nn aa 1221 1aaaa nn 22 aan 。故当时，不存在满足条件的实数。4n5n 例 9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三个数，B 中取两个 数组成五个元素的集合，求的最小值。 i A.201 , 2,20, 2 , 1jiAAi ji n 【解】 .16 min n 设 B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（ i Ak4kmk ） ，则在出现的所有中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是4k.123 km i A 1，就有集合1，其中， 121 ,bmaa, 1, 1 36
18、5243 bmaabmaa61 ,iAai 为满足题意的集合。必各不相同，但只能是 2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能，所以 i a . 4k 20 个中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以。当时，如 i A16n16n 下 20 个集合满足要求： 1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10， 1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9， 1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11， 2，3，6，14，16
19、， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13， 3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。 . 例 10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，n,zyxzyx3 求满足条件的最小正整数. n 【解】 设其中第 个三元集为则 1+2+i, 2 , 1,nizyx ii n i i zn 1 ,43 所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有 n i i z nn 1 4 2 ) 13(3 nn388nn ，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，138n5n5n 9，12，7，
20、10，14，8满足条件，所以的最小值为 5。n 第二章 二次函数与命题 一、基础知识 1二次函数：当0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴a 为直线 x=-，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=-，下同。 a b 2a b 2 2二次函数的性质：当 a0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量 x 增大 函数值减小（简称递减） ，在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0
21、时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别 是x|xx2和x|x1xx2，二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2）当=0 时，方程有两个相等的实根 x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分别 a b 2 是x|x和空集，f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 a b 2 3）当5”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑 . 联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由 复合命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为
22、假，否则为真命题；“p 且 q”复合 命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中， 如果已知 pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 qp，则称 p 是 q 的必要条
23、件；如果 pq 但 q 不p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不q 但 pq，则 p 称为 q 的必要 非充分条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-）（+）a+b+1=0， 因为方程 x2-x+1=0 中0， 所以 ，所以(+)a+b+1=0. 又 +=1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1， 所以 c-
24、1=1，所以 c=2. 又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f()= 得 a2-(a+1)+2=, 所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0. 即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0， 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4f(1)=a-c-1, 所以 1-f(1)=c-a4. 又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1), 3 8 3 5 所以(-1)+f(3)5+4, 3 8 3
25、 5 3 8 3 5 所以-1f(3)20. 3利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 f(f(x) =x 也无实根。 【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口 向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。 所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。 . 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4利用二次函数表达式解题。 例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c
26、(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2满足 0x1x2, a 1 （）当 x(0, x1)时，求证：xf(x)x1； （）设函数 f(x)的图象关于 x=x0对称，求证：x0. 2 1 x 【证明】 因为 x1, x2是方程 f(x)-x=0 的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （）当 x(0, x1)时，x-x1x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以 f(x)x1. a 1 综上，x0, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20， 所以 f(x)在
27、区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 6定义在区间上的二次函数的最值。 例 6 当 x 取何值时，函数 y=取最小值？求出这个最小值。 22 24 ) 1( 5 x xx 【解】 y=1-,令u,则 0u1。 222 ) 1( 5 1 1 xx 1 1 2 x y=5u2-u+1=5, 20 19 20 19 10 1 2 u 且当即 x=3 时，ymin=. 10 1 u 20 19 . 例 7 设变量 x 满足 x2+bx-x(b-2 时，x2+bx 在0，-(b+1)上是减函数， 2 b 所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-,b=
28、-. 2 1 2 3 综上，b=-. 2 3 7.一元二次不等式问题的解法。 例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。 12 0 22 ax aaxx 【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a0，则 x1x2.的解集为 a0，）当 0a时，x1x2,的解集为 ax1-a. 2 1 因为 0ax1-a，由得 x1-2a， 2 1 所以不等式组的解集为 1-ax1 且 a-(1-a)3， 所以 1a2，并且当 10，则由知0，所以成立，所以成立。 综上，充分性得证。 9常用结论。 定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|
29、a|+|b|. 【证明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|, 所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x|m）. 又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y.2 xy (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 第三章 函数 一、基础知识 定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之
30、对应，则称 f: AB 为一个映射。 定义 2 单射，若 f: AB 是一个映射且对任意 x, yA, xy, 都有 f(x)f(y)则称之为单射。 定义 3 满射，若 f: AB 是映射且对任意 yB，都有一个 xA 使得 f(x)=y，则称 f: AB 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射，若 f: AB 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1构成的映射，记作 f-1: AB。 定义 5 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的 定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（
31、即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。 集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有 意义的未知数的取值范围，如函数 y=3-1 的定义域为x|x0,xR.x 定义 6 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如： 函数 y=的反函数是 y=1-(x0). x
32、1 1 x 1 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 7 函数的性质。 （1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，总有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的 xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是 偶函数。奇函
33、数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 （3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个 . 数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在 最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b） ，集合 x|axb,xR记作闭区间a,b，集合x|a0)；（1）向右平 移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下 平移 b 个单位得到
34、y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函 数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称； （7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y=, u=2-x 在 x2 1 （-,2）上是减函数，y=在（0，+）上是减函数，所以 y=在（-,2）上是增函 u 1 x2 1 数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1数形结合法。 例 1 求方程|x-
35、1|=的正根的个数. x 1 【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=的图象，由图象可知两者有 x 1 唯一交点，所以方程有一个正根。 例 2 求函数 f(x)=的最11363 2424 xxxxx 大值。 【解】 f(x)=，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ， 222222 )0() 1()3()2(xxxx B（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2的交点10) 12(3 22 时等号成立。 所以 f(x)max=.10 2.函数性质的应用。 x y x 1 1 x . 例
36、 3 设 x, yR，且满足，求 x+y. 1) 1(1997) 1( 1) 1(1997) 1( 3 2 yy xx 【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设 f(1-a)f(a2-1)。 又 f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa
37、2-11，解得 0a1。 例 5 设 f(x)是定义在（-，+）上以 2 为周期的函数，对 kZ, 用 Ik表示区间(2k-1, 2k+1，已知当 xI0时，f(x)=x2，求 f(x)在 Ik上的解析式。 【解】 设 xIk，则 2k-10，则由得 n0，设 f(t)=t(+1),则 f(t)在（0，+）上是增函数。又 f(m)4 2 t =f(-n)，所以 m=-n，所以 3x-1+2x-3=0，所以 x=. 5 4 )若 m0。同理有 m+n=0,x=,但与 m0 矛盾。 5 4 综上，方程有唯一实数解 x=. 5 4 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+的值域。12 x 【解】 y=
38、x+=2x+1+2+1-112 x 2 1 12 x =(+1)-1-1=-. 2 1 12 x 2 1 2 1 当 x=-时，y 取最小值-，所以函数值域是-，+） 。 2 1 2 1 2 1 4换元法。 例 8 求函数 y=(+2)(+1),x0,1的值域。x1x1 2 1x 【解】令+=u，因为 x0,1，所以 2u2=2+24,所以u2,x1x1 2 1x2 . 所以2，12，所以 y=,u2+2，8。 2 22 2 2u 2 2 u 2 2u 2 所以该函数值域为2+，8。2 5判别式法。 例 9 求函数 y=的值域。 43 43 2 2 xx xx 【解】由函数解析式得(y-1)x
39、2+3(y+1)x+4y-4=0. 当 y1 时，式是关于 x 的方程有实根。 所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1. 7 1 又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立， 所以函数值域为，7。 7 1 6关于反函数。 例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-,+ )上递增，求证： y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。 【证明】设 x1x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1y2，则因为 f(x)在(- ,+ )上递增，所以 x1x2与假设矛盾，所以 y1y2
40、。 即 y=f-1(x)在(-,+ )递增。 例 11 设函数 f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x). 4 23 14 x x 【解】 首先 f(x)定义域为（-，-）-，+） ；其次，设 x1, x2是定义域内变量， 3 2 4 1 且 x1x20, 3 2 23 14 2 2 x x 23 14 1 1 x x )23)(23( )(5 12 12 xx xx 所以 f(x)在（-，-）上递增，同理 f(x)在-，+）上递增。 3 2 4 1 在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以 x,y
41、-，+）. 4 1 若 xy，设 x0，所以 x=1. 第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为 . （0，+） ，当 00, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为 （0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 00, N0） ； 1）ax=Mx=logaM(a0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； 3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；， N M 5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1). n M n 1 a b c c log log 5. 函数 y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为 x a a,a 和。 （请读者自己用定义证明） 0 , aa