高级中学数学竞赛平面几何中的几个重要定理.doc

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1、.平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理 1塞瓦定理及其证明定理:在ABC内一点P,该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F,且D、E、F三点均不是ABC的顶点,则有 证明:运用面积比可得根据等比定理有,所以同理可得,三式相乘得注:在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”2塞瓦定理的逆定理及其证明定理:在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F,且D、E、F均不是ABC的顶点,若,那么直线CD、AE、BF三线共点证明:设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交AB于点D/,则据塞瓦定理有

2、 因为 ,所以有由于点D、D/都在线段AB上,所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线注:利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证二、 梅涅劳斯定理3梅涅劳斯定理及其证明定理:一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F,且D、E、F均不是ABC的顶点,则有 证明:如图,过点C作AB的平行线,交EF于点G因为CG / AB,所以 (1)因为CG / AB,所以 (2)由(1)(2)可得,即得注:添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”,两次运用相似比得出两个比例等式,再拆去“桥梁”(CG)使得命题顺利获证4梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理:在ABC的边AB、BC上各

3、有一点D、E,在边AC的延长线上有一点F,若, 那么,D、E、F三点共线证明:设直线EF交AB于点D/,则据梅涅劳斯定理有因为 ,所以有由于点D、D/都在线段AB上,所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线注:证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙,注意分析其相似后面的规律三、 托勒密定理 5托勒密定理及其证明定理:凸四边形ABCD是某圆的内接四边形,则有 ABCD + BCAD = ACBD证明:设点M是对角线AC与BD的交点,在线段BD上找一点,使得DAE =BAM因为ADB =ACB,即ADE =ACB,所以ADEACB,即得,即 (1)由于DAE =BAM,所以DAM =BAE,即D

4、AC =BAE。而ABD =ACD,即ABE =ACD,所以ABEACD即得 ,即 (2)由(1)+(2)得 所以ABCD + BCAD = ACBD注:巧妙构造三角形,运用三角形之间的相似推得结论这里的构造具有特点,不容易想到,需要认真分析题目并不断尝试6托勒密定理的逆定理及其证明定理:如果凸四边形ABCD满足ABCD + BCAD = ACBD,那么A、B、C、D四点共圆证法1(同一法):在凸四边形ABCD内取一点E,使得,则可得ABCD = BEAC (1)且 (2)则由及(2)可得于是有 ADBC = DEAC (3)由(1)+(3)可得 ABCD + BCAD = AC( BE +

5、DE )据条件可得 BD = BE + DE,则点E在线段BD上则由,得,这说明A、B、C、D四点共圆 证法2(构造转移法) 延长DA到A/,延长DB到B/,使A、B、B/、A/四点共圆延长DC到C/,使得B、C、C/、B/四点共圆(如果能证明A/、B/、C/共线,则命题获证) 那么,据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆 因此, 可得 . 另一方面,即 欲证=,即证 即 据条件有 ,所以需证, 即证,这是显然的所以,即A/、B/、C/共线所以与互补由于,所以与互补,即A、B、C、D四点共圆7托勒密定理的推广及其证明 定理:如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上,那么就有 ABCD +

6、 BCAD ACBD证明:如图,在凸四边形ABCD内取一点E,使得,则可得ABCD = BEAC (1)且 (2)则由及(2)可得于是 ADBC = DEAC (3)由(1)+(3)可得 ABCD + BCAD = AC( BE + DE )因为A、B、C、D四点不共圆,据托勒密定理的逆定理可知ABCD + BCADACBD所以BE + DEBD,即得点E不在线段BD上,则据三角形的性质有BE + DE BD所以ABCD + BCAD ACBD四、 西姆松定理8西姆松定理及其证明定理:从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线,垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线证明:

7、如图示,连接PC,连接 EF 交BC于点D/,连接PD/因为PEAE,PFAF,所以A、F、P、E四点共圆,可得FAE =FEP因为A、B、P、C四点共圆,所以BAC =BCP,即FAE =BCP所以,FEP =BCP,即D/EP =D/CP,可得C、D/、P、E四点共圆所以,CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900,所以CD/P = 900,即PD/BC由于过点P作BC的垂线,垂足只有一个,所以点D与D/重合,即得D、E、F三点共线注:(1)采用同一法证明可以变被动为主动,以便充分地调用题设条件但需注意运用同一法证明时的唯一性(2)反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键,要掌握

8、好四点共圆的运用手法五、 欧拉定理9欧拉定理及其证明定理:设ABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示则有G、O、H三点共线(欧拉线),且满足 证明(向量法):连BO并延长交圆O于点D。连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点,连接OE和OC则 因为 CDBC,AHBC,所以 AH / CD同理CH / DA所以,AHCD为平行四边形从而得而,所以因为,所以 由得: 另一方面,而,所以 由得:结论得证注:(1)运用向量法证明几何问题也是一种常用方法,而且有其独特之处,注意掌握向量对几何问题的表现手法;(2)此题也可用纯几何法给予证明又证(几何法):连接OH,AE,两线段相交于点G/;连B

9、O并延长交圆O于点D;连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点,连接OE和OC,如图 因为 CDBC,AHBC,所以 AH / CD同理CH / DA所以,AHCD为平行四边形可得AH = CD而CD = 2OE,所以AH = 2OE因为AH / CD,CD / OE,所以AH / OE可得AHG/EOG/所以由,及重心性质可知点G/就是ABC的重心,即G/与点G重合所以,G、O、H三点共线,且满足六、 蝴蝶定理10蝴蝶定理及其证明定理:如图,过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF,连接CF和ED,分别交AB于P、Q,则PM = MQ证明:过点M作直线AB的垂线l,作直线CF关于直线l的对称直

10、线交圆于点C/、F/,交线段AB于点Q/连接FF/、DF/、Q/F/、DQ/据圆的性质和图形的对称性可知:MF/Q/ =MFP,F/Q/M =FPM;且FF/ / AB,PM = MQ/因为C、D、F/、F四点共圆,所以 CDF/ +CFF/ = 1800,而由FF/ / AB可得Q/PF +CFF/ = 1800,所以CDF/ =Q/PF,即MDF/ =Q/PF又因为Q/PF =PQ/F/,即Q/PF =MQ/F/所以有MDF/ =MQ/F/这说明Q/、D、F/、M四点共圆,即得MF/Q/ =Q/DM因为MF/Q/ =MFP,所以MFP =Q/DM而MFP =EDM,所以EDM =Q/DM这

11、说明点Q与点Q/重合,即得PM = MQ此定理还可用解析法来证明:想法:设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数证:以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,M点是坐标原点设直线DE、CF的方程分别为x = m1 y + n 1,x = m2 y + n 2;直线CD、EF的方程分别为 y = k1 x ,y = k2 x 则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为 (y k1 x )(y k2 x)+(x m1 yn1)(x m2 y n2)=0整理得(+k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2(k1+k2)+(m1+m2)xy (n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0由于C、D、E、F四点在一个圆上,说明上面方程表示的是一个圆,所以必须 + k1 k2 = 1 +m1 m2 0,且(k1+k2)+(m1+m2)=0若=0,则k1k2=1,k1+k2=0,这是不可能的,故0;又y轴是弦AB的垂直平分线,则圆心应落在y轴上,故有( n1 + n2 ) = 0,从而得n1 + n2 = 0这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数,即得PM = MQ

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