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1、/.第十四章 热力学基础14-1 一定量的气体，吸收了1.7110 3 J的热量，并保持在1.010 5 Pa的压强下膨胀，体积从1.010-2 m3增加到1.510-2 m3，问气体对外界作了多少功？它的内能改变了多少？解： 气体等压膨胀过程中对外作功为：W = P(V2-V1) = 5.0102 J其内能的改变为：E = Q-W = 1.21103 J14-2 2.0 mol的某种气体从热源吸收热量2.66105 J，其内能增加了4.18105 J，在这过程中气体作了多少功？是它对外界作功还是外界对它作功？解： 由热力学第一定律得气体所作的功为W = Q-E = -1.52105J负号表示
2、外界对气体作功。14-3 1mol范德瓦耳斯气体等温地由体积v1膨胀到v2的过程中对外作功多少？解： 由范德瓦耳斯方程可知P=等温过程中气体对外做的功为A=若式中a=b=0，则A=RTIn，即理想气体等温过程对外做功的表示式。14-4 压强为1.0105 Pa，体积为1.010-3 m3的氧气自0加热到100，问：（1）若为等压过程，则系统需要吸收多少热量？对外作功多少？（2）若为等体过程又如何？ 解： 查表知，氧气的定压摩尔热容Cp,m=29.44 Jmol-1 K-1，定体摩尔热容Cv,m=21.12J mol-1 K-1。根据所给初态条件，求得氧气的物质的量为=（1）等压过程等压过程系统
3、吸热QP = Cp,m(T2-T1) = 129.8 J等压过程系统作功WP=dW=(2)等体过程氧气吸热为QV = DE = Cv,m(T2-T1) = 93.1 J而在等体过程中，因气体的体积不变，故作功为0。0V/(1.010 -3m3)习题14-5图122ABP/(1.010 5Pa)13DBCB14-5 如图所示，一定量的理想气体，开始在状态A，其压强为2.0105 Pa，体积为2.010-3 m3，沿直线AB变化到状态B后，压强变为1.0105 Pa，体积变为3.010-3 m3,求此过程中气体所作的功。解： 气体作功的表达式为W=pdv。功的数值就等于pv图中过程曲线下所对应的面
4、积W SABCD = =150J14-6 一气缸内贮有10.0 mol的氦气，在将其压缩的过程中，外力作功209J，气体温度升高1K。计算气体内能的增量和所吸收的热量；若在压缩过程中系统的摩尔热容为常数，求其摩尔热容。解： DE=vCv,mDT=10.0Q=DE+W=124.7-209=-84.3JCm=负号表示物体温度升高，不仅不吸热，反而向外放热。14-7 除非温度很低，许多物质的定压摩尔热容都可以用下式表示：Cp,m=a+2bT-cT-2式中a、b和c是常量，T是热力学温度，求：（1）在恒定压强下，1 mol物质的温度从T1升高到T2时需要的热量；(2)在温度T1和T2之间的平均摩尔热容
5、；（3）对镁来说，若Cpm的单位为J mol-1 K-1,则a=25.7 J mol-1 K-1,b=3.1310-3 J mol-1K-2，c=3.27105 J mol-1 K-3，计算镁在300K时的摩尔热容量Cpm，以及在200K和400K之间Cpm的平均值。解： （1）1mol物质从温度T1等压升温至T2时吸热为Qp= =（2）在T1和T2间的平均摩尔热容为（3）镁在T=300K时的定压摩尔热容为Cp,m=a+2bT-cT-2=23.9Jmol-1k-1镁在200和400K之间Cp,m的平均值为14-8 将压强为1.01105 Pa、体积为1.010-4m3的氢气，经绝热压缩使体积变
6、为2.010-5m3，求压缩过程中气体所作的功。（氢气的摩尔热容比=1.41）解： 设p、v分别为绝热过程中任一状态的压强和体积，则由P1V1g=PVg得P=P1V1gV-g氢气绝热压缩作功为W=pdv=14-9 如图所示，使1 mol氧气（1）由A等温的变到B；（2）由A等体的变到C，再由C等压地变到B，试分别计算氧气所作的功和吸收的热量。（3）若一热机按路径ABCA进行循环，计算热机的效率。0V/(2.010 -2m3)习题14-9图122ABP/(1.010 5Pa)1C分析：从PV图上可以看出，氧气在AB 及ACB的两个过程中所作的功是不同的，但内能是状态的函数，其变化值与过程无关，仅
7、取决于始末两态，所以这两个不同过程的内能变化是相同的，而因初、末状态温度相同TA=TB，故DE=0，利用热力学第一定律Q=W+DE，可求出每一过程所吸收的热量解： （1）沿AB作等温膨胀的过程中，系统作功WAB = 而在等温过程中，氧气吸收的热量为QAB=WAB=2.77103J（2）沿A到C再到B的过程中系统作功和吸热分别为WACB = WAC+WCB = WCB = PC(VB-VC)2.0103JQACB = WACB = 2.0103J（3）热机的效率 14-10 一卡诺热机的低温热源温度为27，效率为30。（1）若要将其效率提高到50，高温热源的温度需提高多少开？（2）若保持高温热源
8、的温度不变，将其效率也提高到50，低温热源的温度应为多少开？分析一下哪种情况更易实现。(1)已知h=30% ，T2=273+27=300K根据公式h=1-，可得： T1=当h50%时，设高温热源温度提高为DT1，则有0.5 =1-得： DT1=171K，即高温热源的温度需提高171开。（2）设此时高温热源温度为T2，则0.5=1-易得 T2=214K由于升高高温热源T1的温度较降低低温热源的温度T2更方便，更省功，则前一种情况更易实现。14-11 一定量的理想气体经图示循环，试完成下表： 过 程内能增量E/J作功W/J吸收热量Q/JAB50BC50CD-100-150DAABCDA循环效率=0
9、V习题14-11图APCD等温B绝热解： 本循环由四个特殊过程组成，等温过程DE=0，绝热过程Q=0，等体过程W=0，整个循环内能变化DE=0，再根据热力学第一定律，完成后的表格为： 过 程内能增量E/J作功W/J吸收热量Q/JAB05050BC-50500CD-100-50-150DA1500150ABCDA循环效率=250V习题14-12图ABCDP14-12 以理想气体为工质的热机，经历由两个等压过程和两个绝热过程构成的图示循环。已知B点温度TBT1,C点温度TcT2，（1）证明该热机的效率为1-T2/T1，(2)整个循环中最低温度是T2吗？ 分析： 首先分析判断循环中各过程的吸热、放热
10、情况。BC和DA是绝热过程，故QBC、QDA均为零；而AB为等压膨胀过程，系统吸热，CD为等压压缩过程，系统放热，这两个过程所吸收和放出的热量均可表达为相关的温度的函数。再利用绝热和等压的过程方程，建立四点温度之间的联系，最终可得到求证的形式。证（1）根据分析可知h=1-=1- （1）对AB、CD、BC、DA分别列出过程方程如下 VA/TA=VB/TB （2） VC/TC=VD/TD (3) VBg-1/TB=VCg-1TC （4） VDg-1TD=VAg-1TA （5）联立求解上述各式，可证得h=1-TC/TB=1-T2/T1（2）虽然该循环效率的表达式与卡诺循环相似，但并不是卡诺循环，其原
11、因是：卡诺循环是由两条绝热线和两条等温线构成，而这个循环则与卡诺循环不同；另外式中T1、T2的含意不同，本题中T1、T2只是温度变化中两特定点的温度，不是两等温热源的恒定温度。14-13 一台利用地热发电的热机工作于温度为227的地下热源和温度为27的地表之间。（1）假设该热机每小时能从地下热源吸收1.81011J的热量，热机效率按可逆机计，其最大功率可达到多少？（2）若一个热机循环真正为可逆循环，其功率会是多少？ 解： （1）热机工作在最高的循环效率时，热功转换的效率最高；在此情况下在一定的时间内转化为功的热量越多，功率越大。根据卡诺定理可知，热机获得的最大功率为P=hQ/t=(1-T2/T
12、1)Q/t=2.0107Js-1（2）可逆卡诺循环是无限缓慢的循环，其效率虽高，但功热转化的速度却是无限缓慢，单位时间内作功为0，功率亦为0。14-14夏季室外温度为37.0，启动空调使室内温度始终保持在17.0，如果每天有2.51108J的热量通过热传导等方式自室外传入室内，空调器的致冷系数为同温度下卡诺致冷机的60%。（1）空调一天耗电多少？（2）若将室内温度设置为27.0 ，每天可节电多少？ 解： （1）卡诺致冷机的致冷系数为 = T2 / (T1-T2)，依题意空调的致冷系数应为 = 60%=0.6T2 / (T1-T2) =8.7另一方面，由致冷系数的定义，有 = Q2 / WW为空
13、调器消耗的电功，Q2是空调从房间内吸取的总热量。若Q为室外传进室内的热量，则在热平衡时，即保持室内温度恒定时，Q2=Q。可得空调运行一天所耗电功W = Q2/ = Q2 / = 2.89107 J=8.0KWh(2) 空调的致冷系数应为= 60%W=DW = 8.0-3.86 = 4.14KWh可见，在使用空调时将室内温度适当设置高一些，节能效果非常显著。p0V习题14-15图V1BV2CADV314-15 如图所示为理想的狄塞尔内燃机循环过程，它由两绝热线AB与CD、等压线BC及等体线DA组成，试证明内燃机的效率为证：由于该循环仅在等体过程中放热、等压过程中吸热，则热机效率为 h=1- (1
14、)在绝热过程AB中，有TAV1g-1=TBV2g-1，即 TB/TA=(V1/V2)g-1 (2)在等压过程BC中，有TC/V3=TB/V2，即 TC/TB=V3/V2 （3） 再利用绝热过程CD，得 TD/V1g-1=TC/V3g-1 （4）解上述各式，可得h=1-证讫。0V习题14-16图pA2DPVcBCAVAVDPD14-16 有1.0 mol的 Cvm=3R/2的理想气体，从状态A（pA,VA,TA）分别经如图所示的ADB及ACB过程，到达状态B（pB,VB,TB），通过具体计算，求出在这两个过程中气体的熵变各为多少？所得结果表现了熵的什么性质？图中AD为等温线。解： （1）ADB过
15、程的熵变 DSADB =D SAD+DSDB = （1）在等温过程DA中，有TD=TA；等压过程BD中，有VB/TB=VD/TD；而Cp,m=Cv,m=R，故式上式可改写为DSADB=R ln (TDVB/TBVA)+ Cp,m ln (TB/TA)= Rln(VB/VA)+ Rln(TB/TA)（2）ACB过程的熵变为DSACB= （2）利用VC=VB、PC=PA、TC/VC=TA/VA及TB/PB=TC/PC，则式（2）可写为DSACB= (Cv,m+R)ln(VB/VA)+ Cv,mln(PB/PA)=Rln(VB/VA)+ Cv,mln(PBVB/PAVA)=Rln(VB/VA)+Rl
16、n(TB/TA)通过上述计算可看出，虽然ADB及ACB两过程不同，但因两个过程系统的始、末状态相同，熵变也相同。因此，在计算熵变时，可选取比较容易计算的途径进行。14-17 成年人每天向体外散热约为8106J，试估算一个成人因正常身体散热导致人体及环境的熵变。设人体温度为36，环境温度为27。解： 人体是恒温，人体在散热过程中的熵变可利用等温可逆的放热过程计算出来。DS人周围环境也可视为恒温，其熵变为 DS=14-18 有一体积为1.3610-2 m3的绝热容器，用一隔板将其分为左、右两部分，开始时左侧（体积V15.010-3m3）充有1 mol理想气体，右侧为真空，现打开隔板让气体自由膨胀而
17、充满整个容器，求熵变。解： 理想气体绝热自由膨胀前后，系统的温度不变，可设计一个等温可逆膨胀过程将系统的始、末两态连接起来，计算系统的熵变。DS=14-19 理想气体在经历的热力学过程中如果其热容量为常数，则可称为多方过程。（1）证明多方过程的过程方程可以写作pVn = 常数，式中n称为多方指数。并说明多方过程与典型热力学过程的关系；（2）证明多方过程中系统作功可以写作。证明：（1）根据热力学第一定律，有 （1） 对理想气体状态方程微分，可得： （2） 由（2）解出dT并代入（1）整理后得： 若Cpm、Cvm及Cm均为常量，令n积分可得： PVn常量此即多方过程方程，式中n为多方指数。当CmC
18、pm 时，n0，为等压过程；当CmCVm时，n，为等体过程；当Cm时，n1，为等温过程；Cm0时，n，为绝热过程；当Cm为其它常数时，表示任意等热容过程。（2）多方过程中系统作的功为 14-20 如图所示，一容积为40L的绝热容器盛有2 mol的氧气，中间用一无摩擦的绝热活塞均分为A、B两部分。开始时两边的压强均为1.013105 Pa，现使电流I通过电阻r缓慢加热A部气体，直到B侧体积缩小一半。问：习题14-20图rABI（1）在无限短的时间dt内，针对A部气体的热力学第一定律的表达式形式如何？（2）两部分气体最后的温度各为多少？（3）A部气体吸热多少？解：（1）根据热力学第一定律dQdEd
19、w，在dt时间内dQI2rdt；dECvmdT5RdT/2；dwpdv，则有I2rdt = 5RdT/2+pdv 此即无限短的时间dt内，针对A部气体的热力学第一定律的表达式。（2）B部气体进行的是绝热过程，设开始时温度为T，体积为v,过程结束后B部温度为TB，体积vB=v/2,根据绝热过程方程，应有：A部气体进行的过程较为复杂，但A、B两侧的压强始终相等，两侧体积有简单的关系，可利用理想气体状态方程求出过程结束后A部气体的温度TA为：（3）A部气体吸收的热量，等于整个系统内能的增量，故有：0T习题14-21图AVBC14-21 图示为某理想气体循环过程的VT图，已知该气体的定压摩尔热容Cpm
20、=2.5R，定体摩尔热容Cv.m=1.5R，且Vc=2VA。问：图中所示循环是代表致冷机还是热机工作循环？如是热机循环（正循环），求出循环效率。解： （1）将V-T图转换为相应的P-V图，如图（b）所示。循环过程曲线行进方向是顺钟向的，表明循环为热机循环。0V习题14-21图（b）APBC（2）不难看出，AB为等压膨胀过程，为吸热过程；BC为等体降温过程，CA为等温压缩过程，均为放热过程，故系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为Q1=Q2=考虑到CA为等温线，有TA=TC；AB为等压线，且因VC=VB=2VA，则有TC=TB/2，故循环效率为h=1-Q2/Q1=1-(CV,mTA+RTAln2
21、)/(Cp,mTA)=12.3%14-22 汽油机可近似的看成如图所示的理想循环，这个循环也叫奥托循环，其中DE和BC是绝热过程。(1) 证明此热机的效率为0V习题14-22图VBDEPVCCBA(2) 利用，上述效率公式可写为证明： （1）该循环仅在过程CD中吸热，EB过程中放热，根据热机效率公式可得（2）在过程和BC中DE，分别应用绝热方程TVg-1=C，有TBVBg-1=TCVCg-1TEVBg-1=TDVCg-1由上述两式可得将结果代入（1），即可得h=1-(VC/VB)g-114-23 把两部卡诺热机组合起来，形成一个联合热机。设第一个热机工作在温度为T1和T2的两热源之间，其效率为
22、，而第二个热机工作在温度为T2和T3的两热源之间，其效率为，若两热机在一个循环中与热源T2交换的热量数值相等，联合热机的总效率以(W1W2)/Q1表示，试证总效率表达式为： 证明：根据热机效率的定义及h1=W1/Q1、h2=W2/Q2、，则组合热机效率h （1）以Q2=Q1-W1代入式（1），可得h=h1+h2(1-h1) （2）再将h1=1-T2/T1、h2=1-T3/T2代入式（2），可得h1T2/T1+(1-T3/T2)T2/T1=1-T3/T1 证讫。14-24 试用热力学第二定律证明卡诺定理。证明： 设有甲、乙两部可逆机，它们在相同的高温热源T1和相同的低温热源T2之间工作，热机甲在
23、一个循环过程中，从高温热源吸取热量Q1，在低温热源处放热Q2，根据热力学第一定律它对外做功W=Q1-Q2。热机乙在一个循环过程中，由高温热源吸热Q1，在低温热源处放热Q2，对外做功W=Q1-Q2。如果甲、乙两热机都是可逆的，则我们可使乙做逆循环，每经过一逆循环，外界对它做功W，同时从低温热源处吸热Q2，在高温热源处放出热量Q1。这样，我们可以适当地调整甲、乙热机的循环次数，如N和N，使得甲机、乙机与低温热源处交换的总热量数值相等，即NQ2=NQ2。甲机的N次正循环和乙机的N次逆循环可以看作是一个总的联合循环，经过这样的循环后，系统复原，而且低温热源没有发生任何变化，相当于联合循环只与单一的高温
24、热源交换热量，因此，根据热力学第二定律的开尔文表述，这联合循环对外所作的功一定不能大于零，即NW-NW 0如果以h和h分别表示甲、乙两热机的效率，则有h=，h=由此可得W=，W=将W及W代入上面的不等式中，可得 0因为NQ2=NQ2，所以 0将上式化简，即得hh 0 （1）它表明，甲机的效率不可能大于可逆热机乙机的效率。若使甲机做逆循环，乙机做正循环，则同样可以证明， （2）hh 0因为甲、乙机均为可逆机，两个不等式应同时成立，因此，必然有hh即所有工作于相同的高温热源和相同的低温热源之间的一切可逆热机，其效率都相等。但如果甲机是不可逆热机，则仅有不等式（1）成立，即不可逆的效率不可能大于可逆
25、热机乙机的效率，这就证明了卡诺定理。14-25 试由熵增加原理推证出热力学第二定律的开尔文表述的正确性。证明： 采用反证法。（1）若开尔文表述不成立，则熵增加原理亦不成立。若开尔文表述不成立，则可以制造一单源热机，设在一个循环中热机从温度为T的热源吸热Q，并将其全部转化为功。把热源和热机看作一热力学系统，该系统为绝热系，在单源热机经历一个工作循环后，绝热系的熵变为这与熵增加原理相矛盾。它说明若开尔文表述不成立，则熵增加原理亦不成立。（2）若熵增加原理不成立，则开尔文表述亦不成立。设一热机工作在温度分别为T1和T2热源之间，在一个循环中热机从高温热源T1吸热Q1，向低温热源T2放热Q2，对外做功
26、Q1Q2，将两个热源和热机视为一个热力学系统，该系统在绝热过程中的熵变为若熵增加原理不成立，则有当Q20时，该热机即转变为单源热机，这与开尔文表述相悖。它表明若熵增加原理不成立，则开尔文表述亦不成立。由此可见，若熵增加原理成立，则开尔文表述必成立，反之亦然。二者等价。14-26 一只2500的电阻器通电2 min，电流为0.10A。若通电过程中用一恒温水箱保持电阻器的温度为27不变。问：电阻器的熵变是多少？恒温水箱的熵变是多少？解： 电阻器通电过程中，状态不变，其熵变为0，即 DS =0 恒温水箱的熵变为： DS=14-27 有质量为2.010-2kg、温度为10.0的冰，在压力为1.0110
27、5 Pa下转变成10.0的水，试计算在此过程中的熵变。（已知水的定压比热容Cp2=4.22103 JKg-1. K-1，冰的定压比热容Cp1=2.09103 J. Kg-1 K-1,冰的熔解热L3.34103 J. Kg-1）解： 14-28 用一个隔板把绝热容器分成体积为V1和V2的两部分，两部分初始温度均为T，初始压强均为p，但所盛气体种类不同。若将隔板抽开，让气体均匀混合，求混合前后系统的熵变。解： 气体混合前后的温度均不变，都等于室温，对内的气体用等温可逆过程代替，其熵变为dS1=DS1=1R对V2内的气体也用等温可逆过程代替，用同样的方法求得DS2=2Rln故总熵变为DS=DS1+DS2=