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1、精品名师归纳总结第三章 习 题1. 甲乙两人进行某种竞赛，设每局竞赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 r ，其中p, q, r0, pqr1 ，设每局竞赛后，胜者得1 分，负者得1分，平局不记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分，当两个人中有一个人得到2 分时竞赛终止，以X n 表示竞赛至第 n 局时甲获得的分数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 X n , n1 是一齐冯马尔可夫链 .可编辑资料 -
2、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结1写出状态空间。2求一步转移概率矩阵。3求在甲获得1 分的情形下，再赛2 局甲胜的概率 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解1 X n , n0 的状态空间为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S2,1,0,1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 X n , n0 的一步转移概率矩阵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10000qrp00P0qrp000qrp3由于两步转移概率矩阵为0000110000qrqr 2pq2 prp20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P2P 2q22rqr
3、 22 pq2 prp2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0q22qrpqr 2ppr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00001所以在甲获得1 分的情形下，再赛2 局甲胜的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p212pprp1r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 Yi ,i1,2,为相互独立的随机变量序列，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 Yi ,i1,2,是否为 Markov 链？可编辑资料 - - -
4、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2令 X nnYi ，问 X i , ii 11,2, 是否为 Markov 链？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解1由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PYj Yi ,Yi ,YiPY1i1, Y2i2 ,Yn 1i ,Ynj 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1122n 1PYi ,Yi , Yi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PY1i1PY2i2 PYn 1i PYnj PYj PYj Yi
5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PY1i1,Y2i 2,Yn 1i nnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此， Yn , n1,2,是马尔可夫链 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2取f1U 1 X 1U 1 ，当 U 1i1 时， X 2U 1U 2 是U 2 的函数，记为f2 U 2 . 依可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次类推， X n 1U 1U 2U n 1 为U n1 的
6、函数， 记为fn 1U n1, X nU 1U 2U n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 U n的 函 数 ， 记 为f nU n . 由 于U 1,U 2,U n,相 互 独 立 ， 那 么 其 相 应 的 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f1 U 1,f 2U 2,fn U n,也相互独立，从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xnj X1i1 , X 2i2 , Xn 1ni) PYii
7、1j X1i1, X 2i2 , Xn 1i 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xn 1Ynj X1i1, X 2i2 , Xn 1iPYnji 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xnj Xn 1i 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 X n , n1,2,是马尔可夫链 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 设 X i , i1,2,是相互独立的随机变量，且使得P X ij a j , j0,1,，如 果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢
8、迎下载精品名师归纳总结X nmaxX i ,i1,2,n1 ，其中 X 0，就称在时刻 n 产生了一个记录 .假设在时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结刻 n 产生了一个记录，就称X n 为记录值，以Rn 表示第 n 个记录值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1证明， Rn , n1,2,是 Markov 链，并求其转移概率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2以 Ti 表示第 i 个与第 i1记录之间的时
9、间， 问 Tn, n1, 2,是否是 Markov 链，假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是，那么运算其转移概率.证 明 ： a 根 据 题 意 有 ： R1Xn1 , R2Xn2 ,.RkX nk， 满 足可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12X nX n .X n .且1n1n2.nk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k故 P Rk 1z | Rkik , Rk 1i k 1 ,.R1i1P Rk
10、1z | jikik 1.i1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Rk 1z | jikP Rk 1z | Rkik 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 Ri , i1 是一个马尔可夫链且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Rk 1z | Rki k P Xnz | X ni k a j , ji可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 1k0, ji可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 Xi 的独立性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b记 Ti为第 i 个记
11、录与第 i1 个记录之间的时间，Ti 是相互独立的随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iii机变量，由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P TitP Ri 1X ntz | RiX ni ,且X n ki, k1,2., t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Ri 1X ni tz =a j , j 0, ji由于iX i 的独立性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 Ti ， i1 是一个马尔可夫链令 Zi Ri ,Ti , i1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么
12、P Zi1 Zi , Zi1, Z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Ri1, ti1 Ri ,ti , Ri1, ti1, , R1, t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P X1 t+t, ti1 X 1 t. +t,ti ,X 1 t. +t,ti1, , X 1 t t,t 2,X 1, t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1i 11i1i 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P X1 t+t, ti1 X 1 t. +t,
13、 ti 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1i 11i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P X1 t+tz, ti1 X 1 t. +ti ,ti 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1i 11ij , ji0, ji故 Ri ,Ti , i1 是一个马尔可夫链。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 考虑一个具有状态0,1,2,的 Markov链，其转移概率满意pi ,i 1pi1pi,i1 ，其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p01 ，请找出为了使该 Markov 链正常返， 全部的这种情形下的转移概率.pi 所应当满意
14、的充要条件，并运算其在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：依据题意知，要满意马尔可夫链为正常返约，当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ji Pyij =0，1，2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有一组解 j 0,j1j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据 Pi , i 1Pi1Pi ,i 1，方程可重写为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结01q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ii 1Pi 1i 1qi1, i1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么可编辑资料 - - - 欢迎下载
15、精品名师归纳总结i 1qi 1i Pi , i0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 iP0Pi10 q .q, i0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而，随机游动为正常返约的充要条件是P0Pii 0 q1.qi1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 捕获苍蝇的一只蜘蛛依循一个Markov 链在位置 1，2 之间移动， 其初始位置是 1，转移矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0.70.3阵为0.30.7，未觉察到蜘蛛的苍蝇的初始位
16、置是2，并依照转移矩阵为0.40.6的0.60.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Markov 链移动，只要它们在同一个位置相遇，蜘蛛就会捉住苍蝇而终止捕获.1证明：在捕获的过程中，除非知道它终止的位置，否那么都必需用三个状态的Markov链来描述，其中一个是吸取状态，表示终止捕获，另外两个代表蜘蛛与苍蝇处在不同位置， 对此求转移矩阵。2求在时刻 n 蜘蛛与苍蝇都处在各自初始位置的概率。3求捕获过程的平均连续时间.证明：捕获过程中， 除非知道它终止时的位置， 可用三个状态的马尔可夫链来描述，其中一个是吸取状态代表捕获终止， 而另外的两个代表植蜘蛛与苍蝇处在不同的位置，对此链求转
17、移概率矩阵。求在时刻 n 蜘蛛与苍蝇都处于各自的出事位置的概率， 捕获过程的平均持续时间是多少？解：1依据题意可知，在捕获过程中共有三个状态，我们分别令为1，2，3那么 1= 蜘蛛为 1，苍蝇在 22=蜘蛛为 2，苍蝇在 13=蜘蛛，苍蝇在同一位置 0.280.180.54其中状态 3 也代表着捕获终止，那么转移概率矩阵为0.180.280.54001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2分别设 X n ， Yn 代表时刻 n 蜘蛛和苍蝇的位置。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令PP X1,Y2PP X2,Y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn
18、nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么有 PnP X n1,Yn2 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P X1,Y2 | X1,Y2 P+P X1,Y2 | X1,Y2 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n 1n 1nnn 1n 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=0.28P+0.18 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理 Pn =0.28
19、Pn1+0.18 Pn 1且 P1=0.28,P1 =0.18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 苍蝇被吃掉的概率为 P = P 蜘蛛不动，苍蝇动 P 苍蝇不动，蜘蛛动 故P 0.7*0.6+0.4*0.3=0.54故捕获过程的平均时间为 1.856 在一个分枝过程中，每个个体的后代个数听从参数为2， p 的二项分布，从一个个体开头，运算：1灭亡概率。2到第三代群体灭亡的概率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3假设开头时不是一个个体，初始的群体总数Z0 是一个随机变量， 听从均值为的泊松可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
20、下载精品名师归纳总结分布，证明：此时对于p1 ，灭亡概率为2exp12 p /p 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 a设 0= P 灭亡的概率 =2p 灭亡的概率 |X 1j 0j P X 1j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故有 01p22 p 1p02j20j 0jp220p j 1p 2 j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 012 p1p14 p 12 p 2p|12 p |12 p 2
21、 p22 p 21 p12p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 E X 2 p ，依据定理 4.5.1可知，假设 P0.5时 ， 0 =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P 0.5时 ， 0 = p12p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1, p0.5即 0 p1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 , pp0.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b= 第三代群体首次灭亡 =2p 第三代群体首次灭亡 | x2j 1j x2j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
22、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结jj2= C2j 1jp 1p2 j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 = 2 p 2 +2p1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*c = p 群体灭亡 =kp 群体灭亡 | Z 00k p Z 0k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=p 群体灭亡 | Z 0 k 0kk ek.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢
23、迎下载精品名师归纳总结kk=0e=ek 0k.exp0 =exp12 p p2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 一辆出租车流淌在三个位置之间，当它到达位置 1 时，然后等可能的去位置2 或 3.当它到达位置 2 时，将以概率 1/3 到位置 1，以概率 2/3 到位置 3.但由位置 3 总是开往位置1.在位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结置 i 和位置 j 之间的平均时间是t1220,t1330,t2330 ，且 tijt ji .求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1此出租车最近停的位置是i 的极限概率是多少？i1,2,3 。2此出租车朝位置
24、2 开的极限概率是多少？3有多少比例的时间此出租车从位置2 开到位置 3.留意，以上均假定出租车到达一个位置后立刻开出.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：依据题意有P12 =1/2 ， P13 =1/2 ，P21 =1/3 ，P23 =2/3 ， P32 =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t12 = t21 =20， t13t31 =30， t23 =3012311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(a) 依据2313pjiiji1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1i1221231223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
25、纳总结1373解得2143514(b) 此出租汽车朝位置 2 开的极限概率是 1 p123 p32 ，为 3/143230可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2 p23t2314312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j p ji t ji31 30203 12023053076可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ij7214 3314可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 转移矩阵称为双随机的，假设对于一切j ，ipij01 ，设一个具有双随机转移矩阵的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Markov 链，有 n 个状态，且是遍
26、历的，求它的极限概率.解：由于 Markov 链是状态有限的遍历链，极限分布是唯独的平稳分布，满意12.n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ji pij , j1,2,., n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1解得.1111。故极限分布为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nn,.,nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 设齐次 Markov 链的状态空间为 1,2,3 ，一步转移概率矩阵为1pp0P1p0p0 1pp其中， 0p1 ，问该齐次 Markov 链是否是遍历的，假设是，那么求其极限分布.解： 解 记 q1
27、p ，由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P 2P 2q2pqpqp 2q 22 pqp 2q 2pqpqp 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并且 P 2的元素都大于零，所以该齐次马尔可夫链是遍历链. 由于齐次马尔可夫链是遍历可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结链，因而其极限分布就是平稳分布. 设平稳分布为1,2 ,3 ，求解方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P,1231即q 1q 21p 1q 32p 2p 331231得1121
28、ppqqpq221ppqq2pq32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以极限分布为1ppqq2pp1,q,q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2221pp1pp1ppqqqqqq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 设一个单细胞生物处于两个状态A, B 之一，处于状态A的一个个体以指数率变到状可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结态 B 。处于状态 B 的一个个体以指数率分裂成两个新的 A 型个体 .请为这样的生物群体定义一个相宜的连续时间Markov 链，并且确定这个模型的适当的参数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：
29、我们以X A t， X B t分别记 t 时刻群体中细胞和细胞的个数，那么链可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X A t, XBt ,t0 是连续时间马尔可夫链。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且依据题意：处于 A 的一个个体以指数率变到状态 B。处于状态 B的一个个体以指数率分裂成两个新的 A型个体，那么转移率为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q m, n , m1,n 1mq m,n , m2,n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 设系统的“状态可建模为两状态的连续时间M
30、arkov 链，其转移率为 v0, v1.当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系统状态是 i 时，“大事依据速率为i 的泊松过程发生， i0,1 .记N t为 0, t中大事的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个数，求1 limtN t 。t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假如初始状态是状态0，求 EN t .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： a 假设初始状态处于 1 并保持z1 时间，然后转到状态 0 并保持y1时间。然可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料
31、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结后再转到状态 1 并保持z2 时间，然后再转到状态0 并保持y2 时间。这样可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结循环往复下去，那么过程zi , yi构成一交替更新过程。假如初始状态1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结处于 0，那么过程zi , yi构成了一推迟交替更新过程。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设处于状态 1 时在zi 时间内得到累积酬劳为N i 在zi时间内大事发生的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结处于状态 0 时，在yi 时间内得到累积酬劳为Ni 在yi时间内大事发生的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设M t =到t 时刻为止更新的总个数，那么有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N tN1N1N 2N 2NM tNM t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N tN1N1N2