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第七章 空间解析几何与向量代数
教学目的：
1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、 掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、 会求点到直线以及点到平面的距离。
7、 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、 了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：
1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；
2、两个向量垂直和平行的条件；
3、平面方程和直线方程；
4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；
5、点到直线以及点到平面的距离；
6、常用二次曲面的方程及其图形；
7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：
1、向量积的向量运算及坐标运算；
2、平面方程和直线方程及其求法；
3、点到直线的距离；
4、二次曲面图形；
5、旋转曲面的方程；
7. 1 向量及其线性运算
一、向量概念
向量: 在研究力学、物理学以及其他应用科学时, 常会遇到这样一类量, 它们既有大小, 又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 这一类量叫做向量.
在数学上, 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.
向量的符号:
以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作. 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a、r、v、F或、、、.
自由向量: 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向, 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量, 并称这种向量为自由向量, 简称向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是相等的, 记为a = b. 相等的向量经过平移后可以完全重合.
向量的模: 向量的大小叫做向量的模.
向量a、、的模分别记为|a|、、.
单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.
零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.
向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a与b平行, 记作a // b. 零向量认为是与任何向量都平行.
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
类似还有共面的概念. 设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
二、向量的线性运算
1．向量的加法
向量的加法: 设有两个向量a与b, 平移向量使b的起点与a的终点重合, 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b .
三角形法则:
上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则.
平行四边形法则:
当向量a与b不平行时, 平移向量使a与b的起点重合, 以a、b为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.
A
B
C
A
B
C
D
向量的加法的运算规律:
(1)交换律a+b=b+a;
(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).
由于向量的加法符合交换律与结合律, 故n个向量a1, a2, , an(n 3)相加可写成
a1+a2+ +an,
并按向量相加的三角形法则, 可得n个向量相加的法则如下: 使前一向量的终点作为次一向量的起点, 相继作向量a1, a2, , an, 再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向量, 这个向量即为所求的和.
负向量:
设a为一向量, 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a.
向量的减法:
我们规定两个向量b与a的差为
b-a=b+(-a).
即把向量-a加到向量b上, 便得b与a的差b-a.
特别地, 当b=a时, 有
a-a=a+(-a)=0.
-
-
-
显然, 任给向量及点O, 有
,
因此, 若把向量a与b移到同一起点O, 则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差b-a .
三角不等式:
由三角形两边之和大于第三边的原理, 有
|a+b||a|+|b|及|a-b||a|+|b|,
其中等号在b与a同向或反向时成立.
2．向量与数的乘法
向量与数的乘法的定义:
向量a与实数l的乘积记作la, 规定la是一个向量, 它的模|la|=|l||a|, 它的方向当l>0时与a相同, 当l<0时与a相反.
当l=0时, |la|=0, 即la为零向量, 这时它的方向可以是任意的.
特别地, 当l=1时, 有
1a=a, (-1)a=-a.
运算规律:
(1)结合律 l(ma)=m(la)=(lm)a；
(2)分配律 (l+m)a=la+ma；
l(a+b)=la+lb.
例1. 在平行四边形ABCD中, 设=a, =b.
试用a和b表示向量、、、, 其中M是平行四边形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以
A
B
C
D
M
a+b, 即 -(a+b),
于是 (a+b).
因为, 所以(a+b).
又因-a+b, 所以(b-a).
由于, 所以(a-b).
例1 在平行四边形ABCD中, 设, . 试用a和b表
示向量、、、, 其中M是平行四边形对角线的交点.
A
B
C
D
M
解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以
,
于是; .
因为, 所以;
向量的单位化:
设a0, 则向量是与a同方向的单位向量, 记为ea.
于是a=|a|ea.
向量的单位化:
设a0, 则向量是与a同方向的单位向量, 记为ea.
于是a = | a | ea.
定理1 设向量a 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要条件是:
存在唯一的实数l, 使 b = la.
证明: 条件的充分性是显然的, 下面证明条件的必要性.
设b // a. 取, 当b与a同向时l取正值, 当b与a反向时l取负值, 即b=la. 这是因为此时b与la同向, 且
|la|=|l||a|.
再证明数l的唯一性. 设b=la, 又设b=ma, 两式相减, 便得
(l-m)a=0, 即|l-m||a|=0.
因|a|0, 故|l-m|=0, 即l=m.
给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. 设点O及单位向量i确定了数轴Ox, 对于轴上任一点P, 对应一个向量, 由//i, 根据定理1, 必有唯一的实数x, 使=xi(实数x叫做轴上有向线段的值), 并知与实数x一一对应. 于是
点P向量= xi实数x ,
从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系. 据此, 定义实数x为轴上点P的坐标.
由此可知, 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是
= xi .
三、空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;
(2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上, 而z轴则是铅垂线;
(3)数轴的的正向通常符合右手规则.
坐标面:
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面.
x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面, 另两个坐标面是yOz面和zOx面.
卦限:
三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy面的下方, 与第一卦限对应的是第五卦限, 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示.
向量的坐标分解式:
任给向量r, 对应有点M, 使. 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有
,
设 , , ,
则 .
上式称为向量r的坐标分解式, xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
显然, 给定向量r, 就确定了点M及, , 三个分向量, 进而确定了x、y、z三个有序数; 反之, 给定三个有序数x、y、z也就确定了向量r与点M. 于是点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系
.
据此, 定义: 有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标, 记作r=(x, y, z); 有序数x、y、z也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标, 记为M(x, y, z).
向量称为点M关于原点O的向径. 上述定义表明, 一个点与该点的向径有相同的坐标. 记号(x, y, z)既表示点M, 又表示向量.
坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M在yOz面上, 则x=0; 同相, 在zOx面上的点, y=0; 在xOy面上的点, z=0. 如果点M在x轴上, 则y=z=0; 同样在y轴上,有z=x=0; 在z轴上 的点, 有x=y=0. 如果点M为原点, 则x=y=z=0.
四、利用坐标作向量的线性运算
设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)
即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk ,
则 a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk)
=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k
=(ax+bx, ay+by, az+bz).
a-b=(axi+ayj+azk)-(bxi+byj+bzk)
=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k
=(ax-bx, ay-by, az-bz).
la=l(axi+ayj+azk)
=(lax)i+(lay)j+(laz)k
=(lax, lay, laz).
利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 向量b//ab=la , 即b//a(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是.
例2 求解以向量为未知元的线性方程组,
其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2).
解 如同解二元一次线性方程组, 可得
x=2a-3b, y=3a-5b .
以a、b的坐标表示式代入, 即得
x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10),
y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16).
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数l-1,
在直线AB上求一点M, 使.
解 由于, ,
因此 ,
从而
. ,
这就是点M的坐标.
另解 设所求点为M (x, y, z), 则, . 依题意有, 即
(x-x1, y-y1, z-z1)=l(x2-x, y2-y, z2-z)
(x, y, z)-(x1, y1, z1)=l(x2, y2, z2)-l(x, y, z),
,
, , .
点M叫做有向线段的定比分点. 当l=1, 点M的有向线段的中点, 其坐标为
, , .
五、向量的模、方向角、投影
1．向量的模与两点间的距离公式
设向量r=(x, y, z), 作, 则
,
按勾股定理可得
,
设 , , ,
有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|,
于是得向量模的坐标表示式
.
设有点A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 则
=(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=(x2-x1, y2-y1, z2-z1),
于是点A与点B间的距离为
.
例4 求证以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 因为 | M1M2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14,
| M2M3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6,
| M1M3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6,
所以|M2 M3|=|M1M3|, 即D M1 M2 M3为等腰三角形.
例5 在z轴上求与两点A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距离的点.
解 设所求的点为M(0, 0, z), 依题意有|MA|2=|MB|2,
即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
解之得, 所以, 所求的点为.
例6 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求与方向相同的单位向量e.
解 因为,
,
所以 .
2．方向角与方向余弦
当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过p的夹角称为向量a与b的夹角, 记作或. 如果向量a与b中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与p之间任意取值.
类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.
非零向量r与三条坐标轴的夹角a、b、g称为向量r的方向角.
向量的方向余弦:
设r=(x, y, z), 则
x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg .
cosa、cosb、cosg 称为向量r的方向余弦.
, , .
从而 .
上式表明, 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r . 因此
cos2a+cos2b+cos2g=1.
例3 设已知两点)和B (1, 3, 0), 计算向量的模、方向余弦和方向角.
解 ;
;
, , ;
, , .
3．向量在轴上的投影
设点O及单位向量e确定u轴.
任给向量r, 作, 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M(点M叫作点M在u轴上的投影), 则向量称为向量r在u轴上的分向量. 设, 则数l称为向量r在u轴上的投影, 记作Prjur或(r)u .
按此定义, 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax, ay, az就是a在三条坐标轴上的投影, 即
ax=Prjxa, ay=Prjya, az=Prjza.
投影的性质:
性质1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j为向量与u轴的夹角;
性质2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub);
性质3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua);
7. 2 数量积 向量积
一、两向量的数量积
数量积的物理背景: 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移. 由物理学知道, 力F所作的功为
W = |F| |s| cosq ,
其中q 为F与s的夹角.
数量积: 对于两个向量a和b, 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角q 的
余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
ab=|a| |b| cosq .
数量积与投影:
由于|b| cosq =|b|cos(a,^ b), 当a0时, |b| cos(a,^ b) 是向量
b在向量a的方向上的投影, 于是ab = |a| Prj ab.
同理, 当b0时, ab = |b| Prj ba.
数量积的性质:
(1) aa = |a| 2.
(2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 ab =0, 则 a^b;
反之, 如果a^b, 则ab =0.
如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a^b ab =0.
数量积的运算律:
(1)交换律: ab = ba;
(2)分配律: (a+b)c=ac+bc .
(3) (la)b = a(lb) = l(ab),
(la)(mb) = lm(ab), l、m为数.
(2)的证明:
分配律(a+b)c=ac+bc的证明:
因为当c=0时, 上式显然成立;
当c0时, 有
(a+b)c=|c|Prjc(a+b)
=|c|(Prjca+Prjcb)
=|c|Prjca+|c|Prjcb
=ac+bc .
例1 试用向量证明三角形的余弦定理.
证: 设在ΔABC中, ∠BCA=q (图7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,
要证
c 2=a 2+b 2-2 a b cos q .
记=a, =b, =c, 则有
c=a-b,
从而 |c|2=c c=(a-b)(a-b)=a a+b b-2a b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos(a,^b),
即 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q .
数量积的坐标表示:
设a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 则
ab=axbx+ayby+azbz .
提示: 按数量积的运算规律可得
ab =( ax i + ay j + az k)(bx i + by j + bz k)
=ax bx ii + ax by ij + ax bz ik
+ay bx j i + ay by j j + ay bz jk
+az bx ki + az by kj + az bz kk
= ax bx + ay by + az bz .
两向量夹角的余弦的坐标表示:
设q=(a, ^ b), 则当a0、b0时, 有
.
提示: ab=|a||b|cosq .
例2 已知三点M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求AMB .
解 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角.
a={1, 1, 0}, b={1, 0, 1}.
因为
ab=11+10+01=1,
,
.
所以 .
从而 .
例3．设液体流过平面S 上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为（常
向量)v. 设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)）, 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为ρ).
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b)).
这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n的夹角q , 所以这柱体的高为| v | cosq, 体积为
A| v | cos q = A v n.
从而, 单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为
P=rAv n.
二、两向量的向量积
在研究物体转动问题时, 不但要考虑这物体所受的力, 还要分析这些力所产生的力矩.
设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处. F与的夹角为q .
由力学规定, 力F对支点O的力矩是一向量M, 它的模
,
而M的方向垂直于与F所决定的平面, M的指向是的按右手规则从以不超过p的角转向F来确定的.
向量积: 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:
c的模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角;
c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定.
那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即
c = ab.
根据向量积的定义, 力矩M等于与F的向量积, 即
.
向量积的性质:
(1) aa = 0 ;
(2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab = 0, 则a//b; 反之, 如果a//b, 则ab = 0.
如果认为零向量与任何向量都平行, 则a//b ab = 0.
数量积的运算律:
(1) 交换律ab = -ba;
(2) 分配律: (a+b)c = ac + bc.
(3) (la)b = a(lb) = l(ab) (l为数).
数量积的坐标表示: 设a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. 按向量积的运算规律可得
ab = ( ax i + ay j + az k) ( bx i + by j + bz k)
= ax bx ii + ax by ij + ax bz ik
+ay bx ji + ay by jj + ay bz jk
+az bx ki + az by kj + az bz kk.
由于ii = jj = kk = 0, ij = k, jk = i, ki = j, 所以
ab = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k.
为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成
=aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi
= ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. .
例4 设a=(2, 1, -1), b=(1, -1, 2), 计算ab .
解 =2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k.
例5 已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面积.
解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC的面积
.
由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此
=4i-6j+2k.
于是 .
例6 设刚体以等角速度w 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.
解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是w的方向.
设点M到旋转轴l的距离为a , 再在l轴上任取一点O作向量r =, 并以q 表示w与r的夹角, 那么
a = |r| sinq .
设线速度为v, 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v的大小为
|v| =| w|a = |w| |r| sinq ;
v的方向垂直于通过M点与l轴的平面, 即v垂直于w与r, 又v的指向是使w、r、v符合右手规则. 因此有
v = wr.
;;
7. 3 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 在这样的意义下, 如果曲面S与三元方程
F(x, y, z)=0
有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)=0;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)=0,
那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)=0的图形.
常见的曲面的方程:
例1 建立球心在点M0(x0, y0, z0)、半径为R的球面的方程.
解 设M(x, y, z)是球面上的任一点, 那么
|M0M|=R.
即 ,
或 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2.
这就是球面上的点的坐标所满足的方程. 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程. 所以
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2.
就是球心在点M0(x0, y0, z0)、半径为R的球面的方程.
特殊地, 球心在原点O(0, 0, 0)、半径为R的球面的方程为
x2+y2+z2=R2.
例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2, -1, 4), 求线段AB的垂直平分面的方程.
解 由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有
|AM|=|BM|,
即 .
等式两边平方, 然后化简得
2x-6y+2z-7=0.
这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以这个方程就是所求平面的方程.
研究曲面的两个基本问题:
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程;
(2) 已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状.
例3 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面？
解 通过配方, 原方程可以改写成
(x-1)2+(y+2)2+z2=5.
这是一个球面方程, 球心在点M0(1, -2, 0)、半径为.
一般地, 设有三元二次方程
Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0,
这个方程的特点是缺xy , yz , zx 各项, 而且平方项系数相同, 只要将方程经过配方就可以化成方程
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2.
的形式, 它的图形就是一个球面.
二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴.
设在yO z 坐标面上有一已知曲线C, 它的方程为
f (y, z) =0,
把这曲线绕z轴旋转一周, 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面. 它的方程可以求得如下:
设M(x, y, z)为曲面上任一点, 它是曲线C上点M1(0, y1, z1)绕z轴旋转而得到的. 因此有如下关系等式
, , ,
从而得 ,
这就是所求旋转曲面的方程.
在曲线C的方程f(y, z)=0中将y改成, 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程.
同理, 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
.
例4 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角a ()叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为a的圆锥面的方程.
解 在yO z 坐标面内, 直线L的方程为
z=ycot a ,
将方程z=ycota 中的y改成, 就得到所要求的圆锥面的方程
,
或
z2=a2 (x2+y2),
其中a=cot a .
例5. 将zOx坐标面上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
解 绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为
;
绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为
.
这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面.
三、柱面
例6 方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？
解 方程x2+y2=R2在xOy 面上表示圆心在原点O、半径为R的圆. 在空间直角坐标系中, 这方程不含竖坐标z, 即不论空间点的竖坐标z怎样, 只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程, 那么这些点就在这曲面上. 也就是说, 过xOy 面上的圆x2+y2=R2, 且平行于z轴的直线一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xOy 面上的圆x2+y2=R2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x2+y2=R2叫做它的准线, 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线.
例6 方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？
解 在空间直角坐标系中, 过xOy 面上的圆x2+y2=R2作平行于z轴的直线l , 则直线l上的点都满足方程x2+y2=R2, 因此直线l一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xOy 面上的圆x2+y2=R2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x2+y2=R2叫做它的准线, 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线.
柱面: 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母线.
上面我们看到, 不含z的方程x2+y2=R2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z轴, 它的准线是xOy 面上的圆x2+y2=R2.
一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面上的曲线C: F(x, y)=0.
例如, 方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱面, 它的准线是xOy 面上的抛物线y2 =2x, 该柱面叫做抛物柱面.
又如, 方程 x-y=0表示母线平行于z轴的柱面, 其准线是xOy 面的直线 x-y=0, 所以它是过z 轴的平面.
类似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.
例如, 方程 x-z=0表示母线平行于y轴的柱面, 其准线是zOx 面上的直线 x-z=0. 所以它是过y轴的平面.
四、二次曲面
与平面解析几何中规定的二次曲线相类似, 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面.
怎样了解三元方程F(x, y, z)=0所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的立体形状. 这种方法叫做截痕法.
研究曲面的另一种方程是伸缩变形法:
设S是一个曲面, 其方程为F(x, y, z)=0, S 是将曲面S沿x轴方向伸缩l倍所得的曲面.
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