初二数学上期末能力提高检验测试题.doc

*- 初二数学上期末能力提高测试题 （120分,100分钟） 一、选择题（每题3分，共24分） 1.下列运算正确的是（ ） A． B．ab=a C． D． 2.若等腰三角形有两条边的长分别是3和1，则此等腰三角形的周长是（ ） A．5 B．7 C．5或7 D．6 3.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式．下列四个代数式：①；②；③；④．其中是完全对称式的是( ) A．①②④ B．①③ C．②③ D．①②③ 4.若,则的值是（ ） A． B． C． D． 5.若n为整数，则能使也为整数的n有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.〈湖北仙桃〉如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=120，BC=6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm 图1 图2 图3 7.如图2所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30，EF＝2，则DF的长是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 8.如图3所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②AD=BE；③∠AOB=60；④△CPQ是等边三角形．其中正确的是（ ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题（每题3分，共24分） 9.因式分解： =___________． 10.计算： =___________． 11.按图4所示程序计算： a→2→→a→→结果 图4 请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简：_________． 12.如图5，将△ABC纸片沿DE折叠，图中实 线围成的图形面积与原三角形面积之比为2∶3， 若图中实线围成的阴影部分面积为2，则 图5 重叠部分的面积为__________. 13.〈辽宁沈阳〉已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是__________． 14.在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），若△ABC的面积为6，且点C在坐标轴上，则符合条件的点C的坐标为___________． 15.如图6所示，在平面直角坐标系中，点A(2，2)关于y轴的对称点为B，点C关于y轴的对称点为D．把一条长为2 014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是__________． 图6 图7 16.如图7的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若，则∠A的度数是________． 三、解答题（17、18题每题5分，23、25题每题9分，24题8分，26题12分，其余每题6分，共72分） 17.如图8均为22的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在两个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形． 图8 18.如图9，△ABC中，∠A=40，∠B=76，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数． 图9 19.在解题目：“当a=2 014时，求代数式的值”时，小明认为a只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同的结果，你认为他说的有道理吗？请说明理由． 20.已知M=，当式中的、y各取何值时，M的值最小？求此最小值. 21.是否存在实数，使分式的值比分式的值大1？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 22.如图10所示，AB∥DC，AD⊥CD，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，试探求AB、CD与BC的数量关系，并说明你的理由. 图10 23.如图11，某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里 （1）判断△BCD的形状；. 图11 （2）求该船从A处航行至D处所用的时间； （3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，观测灯塔B，灯塔B在什么方向上？ 24.某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为300 m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务． (1)求原计划每天铺设路面的长度； (2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25 000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由． 25.如图12所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点． 图12 （1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 26.数学课上，老师出示了如下框中的题目， 在等边三角形ABC中，点E在AB上， 点D在CB的延长线上，且ED＝EC， 如图13，试确定线段 AE与DB的数量关 图13 系，并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图14（1），确定线段AE与DB的数量关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”）． 图14 （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的数量关系是：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”），理由如下：如图14（2），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．（请你直接写出结果） 参考答案及点拨 一、1.C 点拨：因为，所以A错误；因为ab=a=，所以Ｂ错误；因为，所以C正确；因为，所以D错误．应选C． 2.B 点拨：分底边长为3和底边长为1两种情况讨论． （1）若底边长为1，则这个等腰三角形的周长为7；（2）若底边长为3，这个等腰三角形不存在．故选B． 3.A 点拨：根据完全对称式的定义可知、、是完全对称式，而不是完全对称式，应选A． 解答本题的关键是按照新定义，将四个代数式进行变换，然后对照确定正确选项． 4.A 点拨：方法1:由得， 所以原式 方法2：由得，, 所以原式. 5.D 点拨：原式，要使为整数，则必须为整数，因此或或或，解得或或2或0；因此整数n的值有4个， 应选D． 6.C 点拨：如答图1，连接MA、NA.∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120，AB=AC，∴∠B=∠C=30，∴∠BAM=∠CAN=30，∴∠AMN=∠ANM= 60，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN=BC=2 cm，故选C． 答图1 7.B 点拨：在Rt△AED中，因为∠D＝30，所以∠DAE＝60；在Rt△ABC中，因为∠ACB＝90，∠BAC＝60，所以∠B＝30；在Rt△BEF中，因为∠B＝30，EF＝2，所以BF＝4； 连接AF，因为DE是AB的垂直平分线，所以FA＝FB＝４，∠FAB＝∠B＝30；因为∠BAC＝60，所以∠DAF＝30，因为∠D＝30，所以∠DAF＝∠D， 所以DF＝AF＝４.故应选B. 8. A 点拨：由正△ABC和正△CDE，可知AC=BC，∠ACB= ∠DCE=60，CD=CE，所以∠ACD=∠BCE，所以△ACD≌△BCE，从而AD=BE，∠CAD=∠CBE；在△ACP和△BPO中，因为∠APC=∠BPO，∠CAD=∠CBE，所以由三角形内角和定理可得∠AOB= ∠ACB＝60；由条件可证△PCD≌△QCE，所以PC＝QC，又∠PCQ＝60，所以△CPQ是等边三角形．应选A． 二、9. 点拨：原式．因式分解时，首先考虑提取公因式，再考虑运用乘法公式分解，同时注意要分解到不能分解为止． 10. 2 点拨：原式．在无括号的实数混合运算中，先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算． 11. 点拨：由流程图可得． 12. 2 点拨：设重叠部分的面积为, 则实线围成的图形面积为2+，三角形ABC面积为2+2．由题意得，解得=2． 13. 1和7 点拨：点P可在三角形内和三角形外，需要分情况求解．设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为，△ABC的高为h．（1）当点P在等边三角形ABC内时：连接PA、PB、PC，利用面积公式可得，则，所以点P到BC的最小距离是1；（2）当点P在等边三角形ABC外时（只考虑P离BC最远时的情况）：同理可得，此时.综上可知，点P到BC的最小距离和最大距离分别是1和7. 14.（）、（）、（）、（）点拨：分点C在轴上和点C在y轴上两种情况讨论，可得符合条件的点C的坐标．（1）当点C在轴上时，设点C的坐标为()，则，解得=6或，因此点C的坐标为（）、（）；（2）当点C在y轴上时，设点C的坐标为(0，y)，则，解得y=或9，因此点C的坐标为（）、（）；综上得点C的坐标为（）、（）、（）、（）. 15.（） 点拨：因为A(2，2)关于y轴的对称点为B，所以点B的坐标为（）；因为C（）关于y轴的对称点为D，所以点D的坐标为（），所以四边形ABCD的周长为20，因为2 01420=100……14，说明细线绕了100圈，回到A点后又继续绕了14个单位长度，故细线另一端到达点的坐标为（）.本题利用周期的规律求解，因此求得细线绕四边形ABCD一圈的长度是解题的关键. 16. 12 点拨：设∠A=，∵， ∴∠A=∠=∠=，∴∠=∠=2， ∴∠=∠=3，…，∠=∠=7， ∴∠=7，∠=7， 在△中，∠A+∠+∠=180，即+7+7=180， 解得=12，即∠A=12． 三、17. 解：如答图2所示，画出其中任意两个即可． 答图2 点拨：对称轴可以是过正方形对边中点的直线，也可以是正方形对角线所在的直线．本题可以通过折叠操作找到对称轴，从而确定轴对称图形． 18. 解：∵∠A=40，∠B=76，∴∠ACB=， ∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32，∴∠CED=∠A+∠ACE=40+32=72，∵DF⊥CE，CD⊥AB，∴∠CFD =∠CDE=90， ∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90，∴∠CDF=∠CED =72． 19. 解：小明说的有道理． 理由： 所以只要使原式有意义，无论a取何值，原式的值都相同，为常数3． 20. 解：M， 因为≥0，≥0，所以当且，即且时，M的值最小，最小值为5. 21. 解：不存在. 理由：若存在，则. 方程两边同乘，得， 解这个方程，得. 检验：当时，，原方程无解． 所以，不存在实数使分式的值比分式的值大1． 点拨：先假设存在，得到分式方程，再解分式方程，由分式方程的结果可说明理由. 22. 解：AB+CD=BC. 理由：如答图3，过点E作EF⊥BC于点F. 因为AB∥DC，AD⊥CD， 所以AD⊥AB. 因为BE平分∠ABC，所以EA=EF. 在Rt△ABE和Rt△FBE中，因为EA=EF，BE=BE， 所以Rt△ABE≌Rt△FBE. 所以AB=BF. 因为E是AD的中点，所以AE=ED，所以ED=EF. 在Rt△EDC和Rt△EFC中，因为ED=EF，EC=EC， 所以Rt△EDC≌Rt△EFC. 所以DC=FC. 所以AB+DC=BF+CF=BC，即AB+CD=BC. 答图3 23. 解：（1）由题意得：∠BCD=∠BDC=60，∴∠CBD=60. ∴△BCD是等边三角形. （2）由题意得：∠BAC=30，∠ACB=120， ∴∠ABC=∠BAC=30， ∴AC=BC= BD=60海里， ∴AD= AC+ CD=60+60=120（海里）， ∴t=12015=8（小时）. ∴该船从A处航行至D处所用的时间为8小时. （3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，连接BE. 此时AE=156=90（海里），∴CE=90-60=30（海里）. ∴CE=DE=30海里. ∵△BCD是等边三角形， ∴BE是CD的垂直平分线. ∴灯塔B在该船的正北方向上. 24. 解：(1)设原计划每天铺设路面的长度为 m． 根据题意得．解之得＝9． 经检验：＝9是原方程的根,且符合题意． 答：原计划每天铺设路面的长度为9 m． (2) 所准备的流动资金够支付工人工资． 理由：共支付工人工资为 (元) ． 因为＜，所以所准备的流动资金够支付工人工资． 25. 解：（1）①因为t=3秒， 所以BP=CQ=13=3(厘米)， 因为AB=10厘米，点D为AB的中点， 所以BD=5厘米． 又因为PC=，BC=8厘米， 所以PC=(厘米)， 所以PC=BD． 因为AB=AC，所以∠B＝∠C， 所以△BPD≌△CQP． ②因为≠，所以BP≠CQ， 当△BPD≌△CPQ时，因为∠B＝∠C，AB=10厘米，BC=8厘米， 所以BP=PC=4厘米,CQ=BD=5厘米， 所以点P，点Q运动的时间为4秒， 所以厘米/秒，即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使 △BPD与△CQP全等. （2）设经过秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得， 解得． 所以点P共运动了80厘米． 因为80=228+24，所以点P、Q在AB边上相遇， 所以经过80秒点P与点Q第一次在△ABC的边AB上相遇. 26. 解：（1）＝ （2）＝； 在等边三角形ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60，AB=BC=AC， 因为EF∥BC， 所以∠AEF=∠AFE =60=∠BAC． 所以△AEF是等边三角形， 所以AE=AF=EF， 所以，即BE=CF. 因为ED=EC， 所以∠EDB=∠ECB， 又因为∠ABC=∠EDB+∠BED=60, ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60, 所以∠BED=∠FCE， 所以△DBE≌△EFC， 所以DB=EF， 所以AE=DB. (3)1或3. 点拨：(1)利用等边三角形三线合一知，∠ECB=30，又ED=EC，则∠D=30，所以 ∠DEC=120，则∠DEB=30=∠D,所以DB＝EB＝AE；(2)先证 △AEF为等边三角形，再证△EFC≌△DBE，可得AE=DB；(3)当E在射线AB上时，如答图4（1），AB＝BC＝EB＝1，∠EBC＝120，所以∠BCE＝30，因为ED＝EC，所以∠D＝30，则∠DEB＝90，所以DB＝2EB＝2，所以CD＝2+1＝3； 当E在射线BA上时，如答图4（2），过点E作EF⊥BD于点F，则∠BEF＝30，所以BF＝BE＝1.5, 所以CF＝0.5，因为EC＝ED，EF⊥CD， 所以CD＝2CF＝1. 综上，CD的长为1或3． 答图4