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绝密★启用前
广东省2019届高三六校第一次联考试题
理科数学
命题学校：深圳实验学校
本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选项出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则∁
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的共轭复数的虚部为
A． B． C． D．
3．记为等差数列的前项和．若，，则
A． B． C． D．
4．在区间上随机取两个实数，记向量，，则的
概率为
A． B． C． D．
5．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交
于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
6．在△中，为的中点，点满足，则
A． B．
C． D．
7．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是
A． B．
C． D．
8．已知是函数的最大值，
若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为
A． B． C． D．
9．定义在上的函数满足及，且在上有，
则
A． B． C． D．
10．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为
A． B． C． D．
11．已知三棱锥中，，，，，且二面角
的大小为，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
12．已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若满足约束条件 则的最大值为 ．
14．若，则的展开式中常数项为 ．
15．已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为 ．
16．已知函数满足，则的单调递减区间是
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在△中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，，求△的面积．
18．（12分）
如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．
19．（12分）
某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：
出厂续驶里程(公里)
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：
（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；
（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：
辆数
天数
20
30
40
10
（同一组数据用该区间的中点值作代表）
2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．
该企业现有两种购置方案：
方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；
方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．
假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．
20．（12分）
已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．
21．（12分）
已知函数．
（1）求函数在上的值域；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．
（1）求曲线的参数方程；
（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．
23．[选修4 ― 5：不等式选讲]（10分）
已知，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．
2019届高三六校第一次联考理科数学试题参考答案
一、选择题
1．A 2．C3．D4．B 5．D 6．A7．C 8．B 9．D10．A11．D 12．C
二、填空题
13． 14． 15． 16．（注意：写闭区间也给分）
三、解答题
17．解析：（1）因为，由余弦定理，得
，所以 …………………………………………………… 2分
，由正弦定理，得
， …………………………… 4分
又，，所以
，， …………………………………………………… 5分
所以 ． …………………………………………………… 6分
（2）由，，得，， …………………… 7分
所以， ……… 8分
由正弦定理，得
， …………………………………………………… 10分
所以△的面积为． …………………………… 12分
18．解析：（1）在图甲中，易知，从而在图乙中有，
平面，平面，
平面． …………………………………………………… 4分
（2）法一：（传统几何法）略解如下：
过点作于，连接，
易证（略），即为所求二面角的平面角，
易求得：，，
，
在中，． …………………………………………………… 12分
法二：（向量法）
如图，在图乙中作,垂足为,
连接,由于平面，则,
平面,则，图甲中有，
又，则、、三点共线．
设的中点为,则,可证，
，则，
又由，得，，
于是, ，
在中, ， ……………………………………………… 8分
作交于点，则．
以点为原点,分别以、、所在直线为、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系，
则, , , ，
则, ,是平面的一个法向量，
易求得平面的一个法向量, ………………………………………… 10分
设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，
，
所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．……………………………… 12分
19．解析：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
概 率
0.2
0.5
0.3
…………………………………………………… 3分
纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)．
…………………………………………………… 4分
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
辆 数
6000
7000
8000
9000
概 率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为
(辆）； …………………………………………………… 6分
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
实际充电辆数
6000
6600
概 率
0.2
0.8
于是方案一下新设备产生的日利润均值为
(元）；…………………………… 8分
若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）； …………………………………………………… 10分
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
实际充电辆数
6000
7000
7600
概 率
0.2
0.3
0.5
于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)．……………… 12分
20．解析：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：
，，
所以，， …………………………………………………… 3分
由椭圆定义知点的轨迹为以 为焦点的椭圆，且
进而，故轨迹方程为：． …………………………………………… 5分
（2）当直线斜率不存在时，，或，，
此时弦长． …………………………………………… 6分
当直线斜率存在时，设的方程为：，
由 消去得：，
由△ 得，
设、，可得：
，， …………………………………………………… 7分
，………9分
令，则，
，，
当时，此时，． ………………………………………… 11分
综上，弦长的最大值为． …………………………………………………… 12分
21．解析：（1）易知，………………………………………… 1分
在上单调递减，， ………………………………………… 3分
时，， ………………………………………… 4分
在上的值域为． ………………………………………… 5分
（2）令，
则，…………………… 6分
①若，则由（1）可知，，在上单调递增，
，与题设矛盾，不符合要求； ……………… 7分
②若，则由（1）可知，，在上单调递减，
，符合要求； ………………………………… 8分
③若，则，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
，………………………………………… 9分
，
．
由题：，即，，
即． ………………………………………… 10分
且由（1）可知在上单调递减，
． ………………………………………… 11分
综上，． ………………………………………… 12分
22．解析：（1）的普通方程为，………………………………… 2分
经过变换后的方程为 ，此即为曲线的普通方程，…………………………… 4分
曲线的参数方程为(为参数). …………………………………………5分
（2）设四边形的周长为，设点，
，……………………… 6分
且，， ………………………………………………… 7分
，
． ………………………………………… 9分
且当时，取最大值，此时，
所以，，，此时. …………… 10分
23．解析：（1）当时，不等式即为， ……………1分
①当时，不等式化为，解得； ……………2分
②当时，不等式化为，解得； …………3分
③当时，不等式化为，无解； ……………………4分
综上，不等式的解集为． ……………………………………5分
（2）当时，， ……………………………………………6分
即为， …………………………………………………… 7分
而，所以在上恒成立，
即，所以，只需 …………………………………………………… 8分
，解得， …………………………………………………… 9分
所以的取值范围为． ……………………………………………………10分
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