随机变量及其分布数学期望方差概率例题.doc

.\ 2010年优秀模拟试卷分类汇编 第五部分：随机变量及其分布、数学期望、方差、概率 1.（2010丹东一模） 符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取： ①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）； ②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）； ③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）． 某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试． 已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3． （I）求这名同学参加考试次数的分布列及数学期望； （II）求这名同学被该大学录取的概率． 2.（2010丹东二模） 为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种． （I）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率； （II）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为，求的数学期望． 3.（2010抚顺模拟） 某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示： 组别 理科 文科 性别 男生 女生 男生 女生 人数 5 4 3 2 学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有． (Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率？ (Ⅱ)设文科男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 4.（2010沈阳一模） A B 某超市为促销商品,特举办“购物有奖100﹪中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中,落入A袋为一等奖，奖金为2元，落入B袋为二等奖，奖金为1元．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是． （Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率； （Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望； (Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算. 5.（2010沈阳三模） 一个口袋中装有大小相同的个红球（且）和个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖． （Ⅰ）试用表示一次取球中奖的概率； （Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为，求的最大值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当m取得最大值时将个白球全部取出后，对剩下的个红球作如下标记：记上号的有个（），其余的红球记上号，现从袋中任取一球,X表示所取球的标号，求X的分布列、期望． 6.（2010高.考.资.源.网预测） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （3）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。 7.（2010大连二模） 某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于 区间[60，110]。将成绩按如下方式分成五组： 第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组 [80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]。 部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不 小于90分）的人数为20。 （1）请补全频率分布直方图； （2）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中任取 两人，成绩记为，求的概率； （3）在该班级中任取4人，其中及极格人数记为随机变 量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数 表示），并求出期望E（X）。 8.（2010东北育才、大连育明三模） 单位为30元/件的日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），按照指针所指区域的数字购买商品的件数，在摇动转盘之前，顾客可以购买20元/张的代金券（限每人至多买12张），每张可以换一件该产品，如果不能按照指针所指区域的数字将代金券用完，那么余下的不能再用，但商场会以6元/张的价格回收代金券，每人只能参加一次这个活动，并且不能代替别人购买。 （1）如果某顾客购买12张代金券，最好的结果是什么？出现这种结果的概率是多少？ （2）求需要这种产品的顾客，能够购买到该产品件数的分布列及均值； （3）如果某顾客购买8张代金券，求该顾客得到优惠的钱数的均值。 9.（2010东北育才、大连育明二模） 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数； （Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率； （Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望． 10.（2010东北三省四市联考） 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表： 药物效果试验列联表 患病 未患病 总计 没服用药 20 30 50 服用药 x y 50 总计 M N 100 工作人员曾用分层抽样的方法从50只服用药的动物中抽查10个 进行重点跟踪试验．知道其中患病的有2只． （I）求出列联表中数据，，M，N的值； （II）画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效； （III）能够以97．5％的把握认为药物有效吗? 参考数据： 0．50 0．40 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 0．455 0．708 1．323 2．072 2．706 3．841 5．204 6．635 7．879 10．8282 11.（2010银川一中二模） 某单位为加强普法宣传力度，增强法律意识，举办了“普法知识竞赛”，现有甲、乙、丙三人同时回答一道有关法律知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是． （1）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。 （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。 12.（2010银川一中一模） 有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用表示更换费用。 (1)求①号面需要更换的概率； (2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率； (3)写出的分布列，求的数学期望。 13.（2010吉林市二模） 道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q<80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车. 某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题： （Ⅰ）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数； （Ⅱ）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求期望的实际意义； （Ⅲ）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的。依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率。（精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议. 14.（2010海南五校联考） 如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止． （Ⅰ）求点P恰好返回到A点的概率； （Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求的数学期望． 15.（2010东北三校一模） 甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下， 甲运动员 射击环数 频数 频率 7 10 0.1 8 10 0.1 9 0.45 10 35 合计 100 1 乙运动员 射击环数 频数 频率 7 8 0.1 8 12 0.15 9 10 0.35 合计 80 1 若将频率视为概率，回答下列问题， （1）求甲运动员击中10环的概率 （2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率 （3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及. 16.（2010东北三校三模） 第11届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪建筑华章，欢乐相约世界”为主题，于2009年12月24日正式开园。在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的松花江中采出尺寸相同的冰块。在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整块冰块就不能使用，定义：冰块利用率=假设甲、乙丙工作队所采冰块分别占采冰总量的25%、35%、40%，各队采出的冰块利用率分别为0.8，0.6，0.75， （1）在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块数记为，求的分布列及其数学期望； （2）在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率。 17.（2010大连双基测试） 一个口袋中有2个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。 （1）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率P； （2）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，最大。 18.（2010吉林十一校联考） 甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列如下： 射手甲 射手乙 环数 8 9 10 环数 8 9 10 概率 概率 （Ⅰ）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率； （Ⅱ）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为，求的分布列和期望． 19.（2010高.考.资.源.网模拟） 为了迎接2009年10月1日建国60周年，某城市为举办的大型庆典活动准备了四种保证安全的方案，列表如下： 方案 A B C D 经费 300万元 400万元 500万元 600万元 安全系数 0.6 0.7 0.8 0.9 其中安全系数表示实施此方案能保证安全的系数，每种方案相互独立，每种方案既可独立用，又可以与其它方案合用，合用时，至少有一种方案就能保证整个活动的安全。 （I）若总经费在1200万元内（含1200万元），如何组合实施方案可以使安全系数最高？ （II）要保证安全系数不小于0.99，至少需要多少经费？ 20.（2009丹东二模） 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示． （I）估计这次测试数学成绩的平均分； （II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望． 2010年优秀模拟试卷分类汇编 第五部分：随机变量及其分布、数学期望、方差、概率 详解答案 1. 解：（I）， …………（2分） …………（3分） …………（4分） （或） 2 4 P 0.55 0.45 …………（6分） （II）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是、，则 …………（8分） ………（10分） 该同学被该校录取的概率0.723 …………（12分） 2. 解：（I）三个区选择疫苗的批号的种数是， …………（2分） 恰好有两个区选择的疫苗批号相同种数是， …………（3分） 三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率是；…………（6分） （II）选择疫苗批号相同的区的个数可能的取值为0，2，3， …………（8分） ，，， …………（10分） （或者，，） 分布列是 0 2 3 ． …………（12分） 3. 解：(Ⅰ)记“理科组恰好记4分”的事件为A，则A为“在理科组选出2名男生、1名女生或选出2名女生”……2分 共有种选法，基本事件数为……2分 所以……2分 (Ⅱ) 由题意得，所以，，， ， ……2分 于是的分布列为 0 1 2 3 ……2分 （直接写出正确分布列的给4分） 的数学期望为 ……2分 4. 解：记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故 ， …………………2分 (I) 获得两次一等奖的概率为 . …………………4分 （II）X可以取2,3,4 P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= …………………8分 分布列为： 2 3 4 所以E=2+3+4=2.5. …………………10分 (Ⅲ)参加摇奖,可节省2.5元，打折优惠,可节省2.4元,当然参加摇奖. ……12分 5. （Ⅰ）每次从个球中任取两个，有种方法． 它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种， 一次取球中奖的概率为．……4分 （Ⅱ）设每次取球中奖的概率为，三次取球中恰有一次中奖的概率是： （）． 对的导数． ……6分 因而在上为增函数，在上为减函数． ∴当，即，时，．……… 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：红球共20个，则记上号的有个红球，从中任取一球，有种取法，它们是等可能的．故X的分布列是： X ………10分 ． ……12分 6. 【解析】记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品， 记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种。（2分） （1） （6分） （2） （9分） （3），故的分布列 所以 （12分） 7. 解：（1）由图得，成绩在的人数为4人， 所以在的人为16人， 所以在的频率为， 在的频率为．………2分 补全的频率分布直方图如图所示．………4分 （2）由题得：成绩在的有8人， 在的为16人． 所以的概率为．………6分 （3） 的分布列为: 0 1 2 3 4 ……………9分 随机变量服从的是M=50,N=20,n=4的超几何分布，所以期望．…………12分 8. 解：（1）最好的结果是：摇动游戏转盘，指针指有12的区域，概率为（2分） （2）可能的取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12， 且取其中每个值的概率为 的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P （5分） （3）设指针所指数字为，得到优惠的钱数为Y元。 购买8张代金券， 即 （9分） （12分） 9. 解：（Ⅰ）众数：4.6和4.7；中位数：4.75 …………………………2分 （Ⅱ）设表示所取3人中有个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件，则 ……………6分 （Ⅲ）的可能取值为0、1、2、3 …………………7分 分布列为 ………………………10分高考资源网 . ……………………12分 10. （1） P=， P= ------- 1分 --------- 2分 -----------3分 画出列联表的等高条形图 -------4分 由列联表的等高条形图可以初步判断药物有效 ----5分 （2）取值为0，1，2高.考.资/源/网 P==， P==， P==， 0 1 2 -----7分 P== P== P== 0 1 2 ------9分 说明药物有效 ----10分 （3） ---------11分 由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有效。 ------12分 11. 解：（I）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C， 则，且有 即 （Ⅱ）由（I） “甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题”记为事件： ，其中概率为P 12. (1)因为①号面不需要更换的概率为： 所以①号面需要更换的概率为：P=1-= (2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为： P6(2)= (3)因为，又P6(0)=，P6(1)= ，P6(2)= ，P6(3)= ，P6(4)= ，P6(5)= ，P6(6)= 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 P =100，E=100E=300 13. 解：（Ⅰ） ； 25% （2分） （Ⅱ） 解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量，则可能取到的值有0，1，2 ，，. 0 1 2 P 则分布列如下 ，实际意义：在抽取的两人中平均含有0.5个醉酒驾车人员. （8分） （Ⅲ） （10分） 一句话倡议：答案开放，教师酌情给分 （12分） 14. 解：（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为 因为只投掷一次不可能返回到A点； 若投掷两次点P就恰能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为： （1，3）．（3，1）．（2，2）三种结果，其概率为 若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为： （1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三种结果，其概率为 若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1） 其概率为 所以，点P恰好返回到A点的概率为 ┅┅┅┅┅┅7分 （Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种， 因为，，， 所以， ┅┅┅┅┅┅┅┅12分 15. 解： （1）设“甲运动员击中10环”为事件, 甲运动员击中10环的概率为0.35. ……… （2）设甲运动员击中9环为事件，击中10环为事件 则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率 ………… 甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率 答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0.992. …… （3）的可能取值是0，1，2，3 所以的分布列是 0 1 2 3 0.01 0.11 0.4 0.48 ………… . ………… 16. 解：(1)任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为 依题意， 且 ………1分 的分布列为 0 1 2 3 ……… 5分 ……… 6分 （2）用表示事件“冰块是由甲工作队采出的”；表示事件“冰块是由乙工作队采出的”；表示事件“冰块是由丙工作队采出的”，用表示事件“采出的冰块能被利用”， ……… 8分 则， ，, ,, ……… 10分 答：采出的冰块能被利用的概率是. ……… 12分 17. 解：（1）一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；一次摸球中奖的概率 4分 （2）若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是 8分 （3）设一次摸球中奖的概率是，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，， 在是增函数，在是减函数， 当时，取最大值 10分 ， ，故时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。 12分 18. 解 （Ⅰ）记事件甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件；甲命中2次10环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件 …………6分 （Ⅱ）的取值分别为16，17，18，19，20， …………………… 9分 …12分 19. 解：记P(A)表示实施A方案且保证安全的概率，表示实施A方案且不保证安全的概率，又记P(ABC)表示合用A，B，C方案且保证安全的概率，其它表示方法意义类似。 （I）若合用两种方案，就选择C和D方案，安全系数最高， P(CD)=1-=1-(1-0.8)(1-0.9)=0.98; 若合用三种方案，就只有选择A、B、C才能保证总经费在1200万元内（内含1200万元），P(ABC)=1-=1-(1-0.6)(1-0.7)（1-0.8）=0.976， 显然，合用C、D方案安全系数最高。（6分） （II）由（I）得要保证安全系数不小于0.99，至少需要三种方案合用，共有4中选择，由（I）知，ABC合用不行，所以可以考虑ABC、ACD、BCD三种方案，从经费节约的角度考虑，先考虑ABD，若不行，再考虑ACD，若不行，再考虑BCD。P(ABD)=1-=1-(1-0.6)(1-0.7)（1-0.9）=0.988,不行，P(ACD)=1-=1-(1-0.6)(1-0.8)（1-0.9）=0.992,可以。所以，选择A、C、D合用，可保证安全系数不小于0.99，且经费最少，共需要1400万元。（12分） 20. 解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分： 450.05+550.15+650.2+750.3+850.25+950.05 =72. …………（4分） 所以，估计这次考试的平均分是72分． …………（6分） （II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是， 有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.0051080=4（人）， 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是， 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 …………（8分） 随机变量的可能取值为0、1、2、3，且． ∴ ∴变量的分布列为： 0 1 2 3 P …………（10分） …………（12分） （或)