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最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案
第一讲 不等式和绝对值不等式
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|y＝log2(4－2x－x2)}，B＝，则A∩B等于( )
A．{x|－1
0可转化为
x2＋2x－4<0，解得－1－1} B．{x|0，②a>|a－b|－b，
③a2＋b2>4ab－3b2，④ab＋>2
恒成立的序号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析： ≤＝，即≥，故①不正确，排除A、B；∵ab＋≥2>2，即④正确．
答案： D
4．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
解析： ∵a>b，b>0，∴＋≥，当且仅当a＝b时取等号，
∴＋＋2≥＋2≥2＝4.
当且仅当a＝b＝1且＝2时成立，能取等号，故＋＋2的最小值为4，故选C.
答案： C
5．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|＞2
B．|a＋b|＋|a－b|＜2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2
D．不可能比较大小
解析： 当(a＋b)(a－b)≥0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2，
当(a＋b)(a－b)＜0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.
答案： B
6．设x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析： ∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，
∴＋＝＋＝log3a＋log3b
＝log3ab≤log3＝log33＝1，故选C.
答案： C
7．02
B．|log1＋a(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)|
C．|log(1＋a)(1－a)＋log(1－a)(1＋a)|<|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|
D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|
解析： 令a＝，代入可排除B、C、D.
答案： A
8．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )
A．18 B．6
C．2 D.
解析： 3a＋3b≥2＝2＝2＝6.
答案： B
9．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．m≤n
解析： ∵|a|－|b|≤|ab|≤|a|＋|b|，
∴m＝≤＝1，
n＝≥＝1，∴m≤1≤n.
答案： D
10．某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分率为p2，第四年比第三年增长的百分率为p3，则年平均增长率p的最大值为( )
A. B.
C. D．2
解析： ∵(1＋p)3＝(1＋p1)(1＋p2)(1＋p3)，
∴1＋p＝≤，
∴p≤.
答案： B
11．若a，b，c>0，且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值是( )
A．2 B．3
C．2 D.
解析： a2＋2ab＋2ac＋4bc
＝a(a＋2c)＋2b(a＋2c)
＝(a＋2c)(a＋2b)
≤2，
∴(a＋b＋c)2≥12，又a，b，c>0，
∴a＋b＋c≥2.
答案： A
12．当00，且tan x＝时取等号．
方法二：f(x)＝＝(0<2x<π)．
令μ＝，有μsin 2x＋3cos 2x＝5.
sin(2x＋φ)＝5,
∴sin(2x＋φ)＝.
∴≤1，得μ2≥16.
∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0.
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知－≤α＜β≤，则的取值范围是________．
解析： 利用不等式的性质进行求解．由－≤α＜β≤可得．
答案： －≤＜0.
14．设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a3，
∴x－2>3或x－2<－3，
∴x>5或x<－1，
即S＝{x|x>5或x<－1}．
又∵T＝{x|a－1，求函数y＝的最小值为________．
解析： ∵x>－1，∴x＋1>0，
y＝＝
＝(x＋1)＋5＋≥2＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
∴y的最小值是9.
答案： 9
16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在500)的最值．
解析： 由已知x>0，
∴y＝3x＋＝＋＋
≥3＝3，
当且仅当＝＝，即x＝时，取等号．
∴当x＝时，函数y＝3x＋的最小值为3.
21．(12分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长s(m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为s(m)，且车速为50 km/h时车距恰为车身长s，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q最大？
解析： 由题意，知车身长s为常量，车距d为变量．且
d＝kv2s，把v＝50，d＝s代入，得k＝，把d＝s代入
d＝ v2s，得v＝25.所以
d＝则车流量
Q＝＝
当025时，
Q2＝＝
≤＝.
当且仅当＝，即v＝50时，等号成立．即当v＝50时，Q取得最大值Q2＝.因为Q2>Q1，所以车速规定为50km/h时，该地段的车流量Q最大．
22．(14分)已知函数f(x)＝ax2－4(a为非零实数)，设函数F(x)＝.
(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，解不等式1≤|F(x)|≤2；
(3)设mn<0，m＋n>0，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?
解析： (1)∵f(－2)＝0，∴4a＋4＝0，
得a＝－1，∴f(x)＝－x2＋4，
F(x)＝.
(2)∵|F(－x)|＝|F(x)|，
∴|F(x)|是偶函数，
故可以先求x>0的情况．
当x>0时，由|F(2)|＝0，
故当02时，解不等式1≤x2－4≤2，得≤x≤；
综合上述可知原不等式的解集为
{x|≤x≤或≤x≤或－≤x≤－或－≤x≤－}．
(3)∵f(x)＝ax2＋4，
∴F(x)＝，
∵mn<0，不妨设m>0，则n<0.
又m＋n>0，∴m>－n>0，∴m2>n2，
∴F(m)＋F(n)＝am2＋4－an2－4
＝a(m2－n2)，
所以：当a>0时，F(m)＋F(n)能大于0，
当a<0时，F(m)＋F(n)不能大于0.
第二讲 证明不等式的基本方法
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知>，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2>b2 B．lg a>lg b
C.> D.b>a
解析： 从已知不等式入手：>⇔a>b(c≠0)，其中a，b可异号或其中一个为0，由此否定A、B、C，应选D.
答案： D
2．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a22 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析： 因为<<0⇔⇔⇔b0，y>0，x＋y＝1，＋的最大值是( )
A．1 B.
C. D.
解析： ∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2，
∴≥，
∴＋≤＝(当且仅当x＝y＝时取“＝”)．
答案： B
6．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C0 B．2a－b<
C．log2a＋log2b<－2 D．2＋<
解析： 方法一：特值法令a＝，b＝代入可得．
方法二：因为02所以2＋>4，
而ab<2＝，
所以log2a＋log2b<－2成立．
答案： C
8．a>0，b>0，则“a>b”是“a－>b－”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
解析： a－－b＋＝a－b＋＝(a－b).
∵a>0，b>0，
∴a>b⇔(a－b)>0⇔a－>b－.
可得“a>b”是“a－>b－”成立的充要条件．
答案： C
9．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是( )
A．(a＋b)≥4 B．a3＋b3≥2ab2
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D.≥－
解析： 因为(a＋b)≥22＝4，所以A正确．
a3＋b3≥2ab2⇔(a－b)(a2＋ab－b2)≥0，但a，b大小不确定，所以B错误．
(a2＋b2＋2)－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以C正确．
≥－⇔＋≥⇔≥0，所以D正确．
答案： B
10．设a，b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则( )
A．P>Q B．P≥Q
C．P0，∴P>Q.
答案： A
11．若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)b⇔＋>＋⇔8＋2>8＋2，同理可比较得b>c.
答案： a>b>c
14．已知三个不等式：
(1)ab>0；(2)－<－；(3)bc>ad.
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为________．
解析： 运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式(2)切入，去寻觅它与(1)的联系．
－<－⇔>⇔－>0
⇔>0⇔ab(bc－ad)>0.
答案： (1)、(3)⇒(2)；(1)、(2)⇒(3)；(2)、(3)⇒(1)
15．若f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小顺序为________．
解析： 因为f(n)＝－n＝，
g(n)＝n－＝.
又因为＋n<2n<＋n，
所以f(n)<φ(n)φ(n)>f(n)
16．完成反证法整体的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是1,2,3，……，7的一个排列，
求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：反设p为奇数，则________均为奇数． ①
因奇数个奇数的和还是奇数，所以有
奇数＝________. ②
＝________. ③
＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
解析： 反设p为奇数，则(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数．
因为数个奇数的和还是奇数，所以有
奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
答案： (a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)若a1＋.
证明： 用分析法证明
＋>1＋
⇐8＋3＋2>1＋10＋2
⇐2>2
⇐>.
最后一个不等式是成立的，故原不等式成立．
20．(12分)若x，y>0，且x＋y>2，则和中至少有一个小于2.
证明： 反设≥2且≥2，
∵x，y>0，
∴1＋y≥2x,1＋x≥2y两边相加，则
2＋(x＋y)≥2(x＋y)，可得x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，
∴和中至少有一个小于2.
21．(12分)已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，求证|ac＋bd|≤1.
证明： 证法一(综合法) 因为a，b，c，d都是实数，所以
|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋
＝.
又因为a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.
所以|ac＋bd|≤1.
证法二(比较法) 显然有
|ac＋bd|≤1⇔－1≤ac＋bd≤1.
先证明ac＋bd≥－1.
∵ac＋bd－(－1)
＝ac＋bd＋＋
＝ac＋bd＋＋
＝≥0.
∴ac＋bd≥－1.
再证明ac＋bd≤1.
∵1－(ac＋bd)＝＋－(ac＋bd)
＝＋－ac－bd
＝≥0，
∴ac＋bd≤1.
综上得|ac＋bd|≤1.
证法三(分析法) 要证|ac＋bd|≤1.
只需证明(ac＋bd)2≤1.
即只需证明a2c2＋2abcd＋b2d2≤1. ①
由于a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，因此①式等价于
a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2) ②
将②式展开、化简，得(ad－bc)2≥0. ③
因为a，b，c，d都是实数，所以③式成立，即①式成立，原命题得证．
22．(14分)数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1＝3，b1＝1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2＝64.
(1)求an，bn；
(2)求证：＋＋…＋<.
解析： (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
依题意有①
由(6＋d)q＝64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，
解①得d＝2，q＝8.
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)证明：∵Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．
∴＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝
＝<.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－2，2]
C．[－，] D．[－，]
解析： 由(a2＋b2)(1＋1)≥(a＋b)2，
所以a＋b∈[－2，2]，故选A.
答案： A
2．若x＋x＋…＋x＝1，y＋y＋…＋y＝1，则x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的最大值是( )
A．2 B．1
C．3 D.
解析： 由(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn)2≤(x＋x＋…＋x)(y＋y＋…＋y)＝1，故选B.
答案： B
3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )
A．300元 B．360元
C．320元 D．340元
解析： 由排序原理知，反序和最小为320，故选C.
答案： C
4．已知a，b，c为非零实数，则(a2＋b2＋c2)的最小值为( )
A．7 B．9
C．12 D．18
解析： 由(a2＋b2＋c2)
≥2
＝(1＋1＋1)2＝9，
∴所求最小值为9，故选B.
答案： B
5．设a，b，c≥0，a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为( )
A．0 B．1
C．3 D.
解析： 由排序不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
所以ab＋bc＋ca≤3.故应选C.
答案： C
6．表达式x＋y的最大值是( )
A．2 B．1
C. D.
解析： 因为x＋y≤
＝1，故选B.
答案： B
7．已知不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为( )
A．2 B．4
C. D．16
解析： 由(x＋y)≥(1＋1)2＝4，
因此不等式(x＋y)(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，
即a≤4，故应选B.
答案： B
8．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是( )
A. B.
C．2 D.
解析： 1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2
＝[()2＋()2＋(2)2](12＋12＋12)
≥(＋＋2)2，
∴(＋＋2)2≤3，即所求为.
答案： B
9．若a>b>c>d，x＝(a＋b)(c＋d)，y＝(a＋c)(b＋d)，
z＝(a＋d)(b＋c)，则x，y，z的大小顺序为( )
A．xd且b>c，
则(a＋b)(c＋d)<(a＋c)(b＋d)，
得xb且c>d，
则(a＋c)(b＋d)<(a＋d)(b＋c)，
得y1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
解析： n∈N*，n>1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
答案： B
2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，等式左边增加的项为( )
A．(2k)2 B．(2k＋3)2
C．(2k＋1)2 D．(2k＋2)2
解析： 把k＋1代入(2n－1)2得(2k＋2－1)2
即(2k＋1)2，选C.
答案： C
3．设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析： 凸n＋1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n－2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(n)＋n－1条对角线，故选C.
答案： C
4．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析： 观察归纳知选A.
答案： A
5．欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2n＞n3，那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是( )
A．1 B．9
C．10 D．n＞10，且n∈N＋
解析： 由210＝1 024＞103知，故应选C.
答案： C
6．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1(n∈N*，n≥2)时，由“k到k＋1”，不等式左端的变化是( )
A．增加一项
B．增加和两项
C．增加和两项，同时减少一项
D．以上都不对
解析： 因f(k)＝＋＋＋…＋，
而f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，
故f(k＋1)－f(k)＝＋－，故选C.
答案： C
7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证当n＝k＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )
A．5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．3434k＋1＋5252k
C．34k＋1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
解析： 由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1
＝8134k＋1＋2552k＋1＋2534k＋1－2534k＋1
＝5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)，故选A.
答案： A
8．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2n135(2n－1)(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1等式的左边需增乘代数式为( )
A．2k＋1 B.
C. D.
解析： 左边当n＝k时最后一项为2k.
左边当n＝k＋1时最后一项为2k＋2，又第一项变为k＋2，
∴需乘.
答案： C
9．数列an中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．3n－2 B．n2
C．3n－1 D．4n－3
解析： 计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.
可猜an＝n2故应选B.
答案： B
10．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．k2
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析： ∵当n＝k时，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故应选D.
答案： D
11．用数学归纳法证明“
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