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1、4.概率与统计1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.(1)记甲班“口语王”人数为m，乙班“口语王”人数为n，比较m，n的大小；(2)随机从“口语王”中选取2人，记X为来自甲班“口语王”的人数，求X的分布列和期望.解(1)因为甲80，所以m4，乙79，所以n5，所以mn.(2)X取0，1，2，所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以X的分布列为X012P所以E(X)012.2.(2017届重庆市第一中学月考)为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全
2、年级2 000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：校区愿意参加不愿意参加重庆一中本部校区220980重庆一中大学城校区80720(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S的概率满足：P(S6k)，k1，2，3，假设解答各题之间没有影响，对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E(S)；试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望.解(1)大学城校区应抽取154(人).(2)由题知
3、：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P(S6k)，k1，2，3，即S61218P所以对于一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为E(S)6121810.记为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和，则12，18，24，30，36，P(12)；P(18)2；P(24)2；P(30)2；P(36)；E()121824303620.所以“如花姐”最后得分的期望为203E()80.3.(2017云南大理检测)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人
4、中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.(1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和期望.下面的临界值表仅供参考：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2，其中nabcd.解(1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概
5、率为，所以喜欢游泳的学生人数为10060.其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生203050合计6040100因为K216.6710.828.所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.(2)喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，从而需抽取男生4人，女生2人.故X的所有可能取值为0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以X的分布列为X012PE(X)012.4.(2017全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经
6、验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.()试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得i9.97，s0.212，其中x
7、i为抽取的第i个零件的尺寸，i1，2，16.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3Z3)0.997 4，0.997 4160.959 2，0.09.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.002 6，故XB(16，0.002 6).因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的期望E(X)160.002 60.041 6.(2)()如
8、果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.()由9.97，s0.212，得的估计值9.97，的估计值0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(169.979.22)10.02.因此的估计值为10.02.160.21221
9、69.9721 591.134.剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估计值为0.09.5.(2017重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有5人，不超过100 km/h的有15人.(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h的人
10、与性别有关；平均车速超过100 km/h人数平均车速不超过100 km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和期望.参考公式：K2，其中nabcd.参考数据：P(K2k0)0.1500.1000.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)平均车速超过100 km/h人数平均车速不超过100 km/h人数合计男性驾驶员人数2
11、01030女性驾驶员人数51520合计252550K28.3337.879，有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h与性别有关.(2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的车辆的概率为.的可能取值为0，1，2，3，且B，P(0)C03，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C30，的分布列为0123PE()01230.9或E()np30.9.6.(2017届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均
12、值85，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于3或车速大于2是需矫正速度.(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；(2)从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列和期望.解(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”.因为378.4，289.4，由样本条形图可知，所求的概率为P(A)P(x3)P(x2)P(x78.4)P(x89.4).(2)记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P(B).(3)需矫正速度的个数服从二项分布，即B，所以PC02，PC11，PC20，因此的分布列为012P由B知，期望E()2.